資源簡介

(共22張PPT)
第4章 一元二次方程
九年級上冊
4.5 一元二次方程根的判別式
課前小測
1．一元二次方程的一般形式是什么？有哪些解法？
如果方程有括號，先不要去括號，看能否用直接開平方法，不能用再看能否用因式分解法，再不能用就去掉括號整理成一般式，用公式法或配方法.
ax2+bx+c = 0 (a≠0).直接開平方法，配方法，公式法，因式分解法.
2.一元二次方程按照什么順序來選擇方法會更簡便？
課前小測
3.解方程x2＋21x－22＝0（用你認為最簡便的方法）：
解：（x+22）（x-1）=0，
x+22=0或x-1=0，
x1=-22，x2=1.
情境引入
問題：
求出方程的解：2x2－6x－1＝0（公式法）．
我們在運用公式法求解一元二次方程 ax2+bx+c = 0 (a≠0)時，總是要求b2-4ac≥0.這是為什么？
情境引入
b2-4ac值的正負與方程的根有什么關系呢？
合作探究
探究：一元二次方程根的判別式
探究：一元二次方程根的判別式
問題1： 解方程x 2 + 2x + 5 = 0.
方法一：因為 22 - 4× 1× 5 < 0，所以無法用公式法解這個方程.
方法二：把方程ax2+bx+c = 0 (a≠0)配方，得（x+1）2 = -4 .
因為任何實數(shù)的平方都不可能是負數(shù)，所以任何實數(shù)都不會是原方程的根.
合作探究
探究：一元二次方程根的判別式
問題2：b2 - 4ac的值的正負與一元二次方程的根有什么關系呢？
我們知道,任何一個一元二次方程
ax2+bx+c = 0(a≠0)
配方法
∵a≠0，∴ 4a2＞0 ，
合作探究
所以
（1）當b2-4ac>0時，方程有兩個不相等的實數(shù)根：
（2）當b2-4ac=0時，方程有兩個相等的實數(shù)根：
（3）當b2-4ac<0時，
而
不可能是負數(shù)，
所以方程沒有實數(shù)根.
探究：一元二次方程根的判別式
合作探究
探究：一元二次方程根的判別式
一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 是否有實根，有實根時兩個實根是否相等，均取決于一個含有該方程各項系數(shù)的代數(shù)式 b 2 - 4ac 的值的符號，因而把b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的根的判別式，通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac .
歸納小結
一元二次方程ax 2 + bx + c = 0
（1）當Δ > 0 時有兩個不相等的實根；
一元二次方程ax 2+ bx + c = 0
（1）如果有兩個不相等的實根，那么Δ > 0；
（2）如果有兩個相等的實根，那么Δ = 0；
（3）如果沒有實根，那么Δ < 0 .
上面結論的逆命題也是正確的. 你能說出它的逆命題嗎？
（3）當Δ < 0 時沒有實根.
（2）當Δ = 0 時有兩個相等的實根；
典例分析
[例1]
不解方程，判斷下列方程根的情況：
（1） 2x 2 + x - 4 = 0；
（2） 4y 2 + 9 = 12y；
（3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 .
解 ：（1）這里 a = 2， b = 1， c = -4 .
∵Δ = b 2 - 4ac = 12 - 4× 2× -4） = 33 > 0，
∴ 方程有兩個不相等的實根.
典例分析
不解方程，判斷下列方程根的情況：
（1） 2x 2 + x - 4 = 0；
（2） 4y 2 + 9 = 12y；
（3） 5（ t 2 + 1） - 6t = 0 .
（2）把原方程化為一般形式，得
4y 2 - 12y + 9 = 0 .
這里 a = 4， b = -12， c = 9 .
∵Δ = b 2 - 4ac =（-12）2 - 4× 4× 9 = 0，
∴ 原方程有兩個相等的實根.
（3）把原方程化為一般形式，得
5t 2 - 6t + 5 = 0 .
這里 a = 5， b = -6， c = 5 .
∵Δ = b 2 - 4ac =（-6）2 - 4× 5× 5 = -64 < 0，
∴ 原方程沒有實根.
[例1]
典例分析
[例2]
已知關于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有兩個不相等的實根.
（1）求 k 的取值范圍；
（2）選擇一個 k 的正整數(shù)值，并求出方程的根.
解 （1）∵ 關于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有兩個不相等的實根，
∴ Δ =（-3）2 - 4k > 0，即 9 - 4k > 0 .
解不等式，得k <
∵ kx 2 - 3x + 1 = 0 是一元二次方程，∴ k≠ 0 .
故 k 的取值范圍是 k <
且 k≠ 0 .
典例分析
[例2]
已知關于 x 的一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0有兩個不相等的實根.
（1）求 k 的取值范圍；
（2）選擇一個 k 的正整數(shù)值，并求出方程的根.
（2）取不等式 k <
的一個正整數(shù)解 k = 2，則方程為2x 2 - 3x + 1 = 0 .
解這個方程，得x1 = 1 ， x2=
.
例2中k是 一元二次方程kx 2 - 3x + 1 = 0的二次項系數(shù)，k的范圍可以在數(shù)軸上表示出來，更加直觀，范圍內包含0，所以要強調不等于0.
挑戰(zhàn)自我
有一邊長為 3 的等腰三角形，它的另兩邊長分別是關于 x 的方程x 2 - 12x + k = 0的兩根. 求 k 的值.
（2）若邊長3為底邊，則方程有兩個相等的實數(shù)根. 由Δ =0，求得k=36.這時方程x 2 - 12x + 36 = 0的解為6,6.符合題意，故k=36.
（1）若邊長3為等腰三角形的腰長，則3是方程x 2 - 12x + k = 0的一個根，代入求值得k=27.這時方程x 2 - 12x + k = 0的解為3和9，由于3,3,9不能構成三角形，所以舍去.
分析：分類討論
隨堂檢測
一元二次方程根的判別式
課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
1.一元二次方程2x2﹣3x+1=0的根的情況是（　　）
A．有兩個相等的實數(shù)根 B．有兩個不相等的實數(shù)根
C．只有一個實數(shù)根 D．沒有實數(shù)根
2.下列一元二次方程沒有實數(shù)根的是（　　）
A．x2+2x+1=0 B．x2+x+2=0 C．x2﹣1=0 D．x2﹣2x﹣1=0
3.若一元二次方程x2-ax+1=0的兩實根相等，則 a 的值是( )
A. a=0 B. a=2或a=-2 C. a=2 D. a=2或a=0
A
B
B
隨堂檢測
4.當 k為何值時，關于 y 的方程（k - 1）y 2 - 2ky + k = 3，
（1）有兩個不相等的實根；
（2）有兩個相等的實根；
（3）沒有實根.
解 ：把方程化為一般形式，得（k - 1）y 2 - 2ky + k - 3=0.
這里，a= k – 1，b= - 2k，c= k – 3，
Δ = b 2 - 4ac=（-2k）2 – 4（k – 1）（k – 3）=16 k – 12.
∴當
時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（1）∵方程有兩個不相等的實數(shù)根，
∴Δ =16 k – 12 > 0，解得
隨堂檢測
4.當 k為何值時，關于 y 的方程（k - 1）y 2 - 2ky + k = 3，
（1）有兩個不相等的實根；
（2）有兩個相等的實根；
（3）沒有實根.
（2）∵方程有兩個相等的實數(shù)根，
∴ Δ =16 k – 12 =0 解得
∴當
時，方程有兩個不相等的實數(shù)根；
（3）∵方程沒有實數(shù)根，
∴ Δ =16 k – 12<0 解得
∴當
時，方程沒有實數(shù)根.
課堂小結
1. b 2 - 4ac叫做一元二次方程 ax 2 + bx+ c = 0 的根的判別式，
通常用Δ表示，即Δ = b 2 - 4ac .
2.一元二次方程ax 2 + bx + c = 0 (a≠0)
（1）當Δ > 0 時有兩個不相等的實根；
（2）當Δ = 0 時有兩個相等的實根；
（3）當Δ < 0 時沒有實根.
反之，也成立.
作業(yè)布置
詳見教材練習題
P145 T1-2
謝
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