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(共20張PPT)
第4章 一元二次方程
九年級上冊
*4.6 一元二次方程根與系數的關系
課前小測
1.一元二次方程的一般形式是什么？
2.一元二次方程的求根公式是什么？
ax2+bx+c=0
3.一元二次方程的根的情況怎樣確定？
一元二次方程ax 2 + bx + c = 0
（1）當Δ > 0 時有兩個不相等的實根；
（2）當Δ = 0 時有兩個相等的實根；
（3）當Δ < 0 時沒有實根.
情境引入
問題：你能迅速求出下列方程的根嗎？不用寫步驟.
① x 2 + 3x + 2 = 0.
② x 2 - 5x + 6 = 0.
③ 3x 2 + x - 2 = 0.
④ 2x 2 - 4x + 1 = 0 .
x1= - 1 , x2= - 2
x1= 2, x2= 3
x1= - 1, x2=
情境引入
你知道一元二次方程的根與系數有什么關系嗎
合作探究
探究：一元二次方程根與系數的關系
問題1：根據情境導入中所求出的每個方程的根，分別計算兩根之和與兩根之積，并把結果填入下表：
一元二次方程 x1 x2 x1+ x2 x1x2
① x 2 + 3x + 2 = 0
② x 2 - 5x + 6 = 0
③ 3x 2 + x - 2 = 0
④ 2x 2 - 4x + 1 = 0
-1
-2
-3
2
2
3
5
6
-1
2
合作探究
探究：一元二次方程根與系數的關系
問題2：觀察上表，你發現在上面的四個方程中，兩根之和與兩根之積的值分別與相應的方程的系數之間有怎樣的關系？
方程③④的二次項系數不是 1 時，化成二次項系數是 1的情況后，可把上面的發現進一步推廣.
發現方程①②的二次項系數為 1 時，一元二次方程的兩根之和等于一次項系數的相反數，兩根之積等于常數項.
合作探究
探究：一元二次方程根與系數的關系
問題3：由此你猜想一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的兩個根 x 1， x 2 與方程的系數 a， b， c 之間有什么關系？能證明你的猜想是正確的嗎？與同學交流.
當 b 2 - 4ac ≥ 0 時，一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0的兩個實數根是
于是，兩個根的和為
合作探究
探究：一元二次方程根與系數的關系
兩個根的積為
歸納小結：一元二次方程的根與系數有以下的關系：
.
如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的兩個根是 x 1， x 2，那么
x1 x2 =
x 1 + x 2 =
典例分析
[例1]
關于 x 的方程 3x 2 + mx - 4 = 0有一個根是 2，求另一個根及 m 的值.
解 設方程的另一個根為x1 ，則由一元二次方程根與系數的關系，得
典例分析
[例1]
關于 x 的方程 3x 2 + mx - 4 = 0有一個根是 2，求另一個根及 m 的值.
對于例 1，你還有其他的解法嗎？
分析：可以把已知的根2代入原方程先求出m，再把m代入原方程，解方程求根.
典例分析
[例2]
設 x 1， x 2 是方程 2x 2 + 5x + 1 = 0 的兩個根，求下列各式的值：
（1）（ x 1 + 1）（ x 2 + 1）； （2）
.
解： 由一元二次方程根與系數的關系，得
拓展
能利用例2求出 x12 + x22，（ x1 - x2 ）2 的值嗎？
歸納小結
如果要求與一元二次方程的兩個根有關系的代數式的值，可以先把要求的代數式轉化
成含有 x 1 + x 2 和 x1 x2 的形式，再利用x 1 + x 2 =
和 x1 x2 =
求出值，代入計算
即可
隨堂檢測
一元二次方程根與系數的關系 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
3
1
0
16
D
隨堂檢測
4.已知x1，x2是關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩實數根．
(1)若(x1－1)(x2－1)＝28，求 m 的值；
(2)已知等腰 △ABC 的一邊長為7，若 x1，x2 恰好是△ABC 另外兩邊的邊長，求這個三角形的周長.
解：(1)∵x1，x2是關于x的一元二次方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0的兩個實數根，
∴x1＋x2＝2(m＋1)，x1·x2＝m2＋5，
∴(x1－1)(x2－1)＝x1·x2－(x1＋x2)＋1.
即m2＋5－2(m＋1)＋1＝28，
解得：m＝－4或m＝6.
∵m＝－4時原方程無解，
∴m＝6；
隨堂檢測
(2)①當7為底邊時，
此時方程x2－2(m＋1)x＋m2＋5＝0有兩個相等的實數根，
∴Δ＝4(m＋1)2－4(m2＋5)＝0，
解得：m＝2.
∴方程變為x2－6x＋9＝0，解得x1＝x2＝3.∵3＋3＜7，∴不能構成三角形；
②當7為腰時，
設x1＝7，代入方程得：49－14(m＋1)＋m2＋5＝0，解得：m＝10或4.
當m＝10時，方程變為x2－22x＋105＝0，解得：x＝7或15.
∵7＋7＜15，不能組成三角形；
當m＝4時方程變為x2－10x＋21＝0，解得：x＝3或7，
此時三角形的周長為7＋7＋3＝17.
課堂小結
1.一元二次方程的根與系數有以下的關系：
如果一元二次方程 ax 2 + bx + c = 0 的兩個根是 x 1， x 2，
那么x 1 + x 2 =
, x1 x2 =
.
2.常見的形式：
3.利用兩根的和與積求一元二次方程ax 2 + bx + c = 0的字母系數的值，要在a≠0和Δ≥0的前提下.
作業布置
詳見教材練習題
P149 T1-4
謝
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