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第十四章
全等三角形
八年級數(shù)學人教版·上冊
14.2 第2課時 角邊角和角角邊
教學目標
1．探索并正確理解三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”．
2．會用三角形全等的判定方法“ASA”和“AAS”證明兩個三角形全等．
新課導入
如圖,小明不慎將一塊三角形玻璃打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具 如果可以,帶哪塊去合適
你能說明其中理由嗎
情境引入
3
2
1
問題：如果已知一個三角形的兩角及一邊，那么有幾種可能的情況呢？
A
B
C
A
B
C
圖一
圖二
“兩角及夾邊”
“兩角和其中一角的對邊”
它們能判定兩個三角形全等嗎？
新知探究
一、三角形全等的判定（“角邊角”定理）
作圖探究
先任意畫出一個△ABC，再畫一個△A ′ B ′ C ′ ， 使A ′ B ′ =AB， ∠A ′ =∠A，∠B ′ =∠B (即兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等).把畫好的△A ′ B ′ C ′剪下，放到△ABC上，它們?nèi)葐幔?br/>A
C
B
新知探究
A
C
B
A′
B ′
C ′
E
D
作法：
（1）畫A'B'=AB ;
（2）在A'B '的同旁畫∠DA'B '=∠A，∠EB'A '=∠B，A'D，B'E 相交于點C'.
想一想：從中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
新知探究
新知探究
知識要點
“角邊角”判定方法
文字語言：有兩角和它們夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等(簡寫成“角邊角”或“ASA”）.
幾何語言：
∠A=∠A′ （已知），
AB=A′ B ′ （已知），
∠B=∠B ′ （已知），
在△ABC 和△A′ B′ C′ 中，
∴ △ABC ≌△A′ B′ C′ （ASA）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
新知探究
∠ABC＝∠DCB (已知），
BC＝CB （公共邊），
∠ACB＝∠DBC（已知），
證明：
在△ABC 和△DCB 中，
∴△ABC ≌△DCB（ASA ）.
典例精析
B
C
A
D
判定方法：兩角和它們的夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等．
如圖：已知∠ABC＝∠DCB，∠ACB＝∠DBC，求證△ABC ≌△DCB .
新知探究
例2 如圖，點D 在AB上，點E 在AC上，AB=AC , ∠B=∠C , 求證：AD=AE.
A
B
C
D
E
分析：證明△ACD ≌△ABE , 就可以得出AD=AE.
證明：在△ACD 和△ABE 中，
∠A=∠A（公共角 ），
AC=AB（已知），
∠C=∠B （已知 ），
∴ △ACD ≌△ABE（ASA)，
∴ AD=AE.
新知探究
若三角形的兩個內(nèi)角分別是60°和45°，且45°所對的邊為3cm，你能畫出這個三角形嗎
60°
45°
合作探究
二、用“角角邊”判定三角形全等
新知探究
60°
思考：這里的條件與1中的條件有什么相同點與不同點？你能將它轉(zhuǎn)化為1中的條件嗎？
75°
45°
兩角和其中一角的對邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等.
簡寫成“角角邊”或“AAS”.
歸納總結(jié)
∠A=∠A′（已知），
∠B=∠B′ （已知），
AC=A′C ′（已知），
在△ABC 和△A′B′C′中，
∴ △ABC ≌△ A′ B′ C′ （AAS）.
A
B
C
A ′
B ′
C ′
新知探究
例3 在△ABC 和△DEF 中，∠A＝∠D，∠B＝ ∠E，BC=EF .
求證：△ABC ≌△DEF．
∠B＝∠E，
BC＝EF，
∠C＝∠F.
證明：
在△ABC 中，∠A+∠B+∠C＝180°，
∴△ABC ≌△DEF（ASA ）.
∴ ∠C＝180°－∠A－∠B.
同理 ∠F＝180°－∠D－∠E.
又 ∠A＝∠D，∠B＝ ∠E,
∴ ∠C＝∠F.
在△ABC 和△DEF 中，
新知探究
例4 如圖，已知：在△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC，直線m經(jīng)過點A，
BD⊥直線m，CE⊥直線m，垂足分別為點D、E. 求證：(1)△BDA≌△AEC；
證明：(1)∵BD⊥m，CE⊥m，
∴∠ADB＝∠CEA＝90°，
∴∠ABD＋∠BAD＝90°.
∵∠BAC＝90°，
∴∠BAD＋∠CAE＝90°，
∠ABD＝∠CAE.
在△BDA和△AEC中，
∠ADB=∠CEA=90°，
∠ABD＝∠CAE,
AB＝AC，
∴△BDA ≌△AEC (AAS).
新知探究
新知探究
(2)DE＝BD＋CE.
∴BD＝AE，AD＝CE，
∴DE＝DA＋AE＝BD＋CE.
（2）∵△BDA ≌△AEC,
方法總結(jié)：利用全等三角形可以解決線段之間的關(guān)系，比如線段的相等關(guān)系、和差關(guān)系等，解決問題的關(guān)鍵是運用全等三角形的判定與性質(zhì)進行線段之間的轉(zhuǎn)化．
學以致用：如圖,小明不慎將一塊三角形模具打碎為三塊,他是否可以只帶其中的一塊碎片到商店去,就能配一塊與原來一樣的三角形模具 如果可以,帶哪塊去合適 你能說明其中理由嗎
3
2
1
答：帶1去，因為有兩角且夾邊相等的兩個三角形全等.
新知探究
能力提升：如圖，△ABC ≌△A′B ′C′ ，AD、A′ D ′ 分別是△ABC 和△A′B ′C′的高.試說明AD＝ A′D ′ ，并用一句話說出你的發(fā)現(xiàn) .
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
新知探究
解：∵△ABC ≌△A′B ′C ′ ，
∴AB=A'B'（全等三角形對應(yīng)邊相等），
∠ABD=∠A'B'D'（全等三角形對應(yīng)角相等）.
∵AD⊥BC，A'D'⊥B'C'，∴∠ADB=∠A'D'B'.
在△ABD 和△A'B'D' 中，
∠ADB=∠A'D'B'（已證），
∠ABD=∠A'B'D'（已證），
AB=AB（已證），
∴△ABD ≌△A'B'D‘ ，∴AD=A'D'.
A
B
C
D
A ′
B ′
C ′
D ′
全等三角形對應(yīng)邊上的高也相等.
新知探究
課堂小結(jié)
邊角邊
角角邊
內(nèi)容
有兩角及夾邊對應(yīng)相等的兩個三角形全等，（簡寫成 “ASA”)
應(yīng)用
為證明線段和角相等提供了新的證法
注意
注意“角角邊”“角邊角”中兩角與邊的區(qū)別
1. 在△ABC和△DEF中，AB＝DE，∠B＝∠E，要使△ABC≌△DEF ，則下列補充的條件中錯誤的是（ ）
A．AC＝DF B．BC＝EF
C．∠A＝∠D D．∠C＝∠F
2. 在△ABC與△A′B′C′中，∠A＝44°，∠B＝67°，∠C′＝69° ，∠A′＝44°，且AC＝A′C′，那么這兩個三角形（　）
A．一定不全等　 B．一定全等　 　
C．不一定全等　　 D．以上都不對
A
B
課堂小測
A
B
C
D
E
F
3.如圖，∠ACB=∠DFE，BC=EF，那么應(yīng)補充一個條件 ，才能使△ABC ≌△DEF （寫出一個即可）.
∠B=∠E
或∠A=∠D
或 AC=DF
（ASA）
（AAS）
（SAS）
AB=DE 可以嗎？
×
AB∥DE
課堂小測
4.如圖， AB⊥BC，AD⊥DC，∠1=∠2, 求證：AB=AD.
A
C
D
B
1
2
證明： ∵ AB⊥BC，AD⊥DC，
∴ ∠ B=∠D=90 °.
在△ABC 和△ADC 中，
∠1=∠2 （已知），
∠ B=∠D（已證），
AC=AC （公共邊），
∴ △ABC ≌△ADC（AAS)，
∴AB=AD.
課堂小測

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