資源簡介

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第十四章
全等三角形
八年級數學人教版·上冊
14.2 第3課時 邊邊邊
教學目標
1.探索三角形全等條件.（重點）
2.“邊邊邊”判定方法和應用.（難點）
3.已知三邊會用尺規作一個三角形．
新課導入
兩邊和它們的夾角分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“邊角邊”或“SAS”）.
兩角和它們的夾邊分別相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“角邊角”或“ASA”）.
兩角分別相等且其中一組等角的對邊相等的兩個三角形全等（可以簡寫為“角角邊”或“AAS”）.
知識回顧
回顧三角形全等的判定方法
新課導入
當兩個三角形滿足6個條件中的3個時，有四種情況:
三角 ×
三邊 ？
兩邊一角 √
兩角一邊 √
除了這些外,還有其他情況嗎？
請你思考
新知探究
探究活動1：一個條件可以嗎？
（1）有一條邊相等的兩個三角形
不一定全等
（2）有一個角相等的兩個三角形
不一定全等
有一個條件相等不能保證兩個三角形全等.
三角形全等的判定（“邊邊邊”定理）
結論：
新知探究
有兩個條件對應相等不能保證三角形全等.
50°
30°
不一定全等
探究活動2：兩個條件可以嗎？
不一定全等
30°
50°
3cm
4cm
不一定全等
結論：
（1）有兩個角對應相等的兩個三角形
（2）有兩條邊對應相等的兩個三角形
（3）有一個角和一條邊對應相等的兩個三角形
3cm
4cm
30°
3cm
30°
3cm
新知探究
結論:三個內角對應相等的三角形不一定全等.
（1）有三個角對應相等的兩個三角形
60°
30°
30°
60°
90°
90°
探究活動3：三個條件可以嗎？
4cm
6cm
3cm
新知探究
（2）三邊對應相等的兩個三角形會全等嗎？
4cm
6cm
3cm
新知探究
先任意畫出一個△ABC，再畫出一個△A′B′C′ ,使A′B′= AB ,B′C′ =BC, A′ C′ =AC.把畫好的△A′B′C′剪下，放到△ABC上，他們全等嗎？
A
B
C
A ′
B ′
C ′
想一想：作圖的結果反映了什么規律？你能用文字語言和符號語言概括嗎？
作法：
（1）畫B ′C ′=BC；
（2）分別以B '， C '為圓心，線段AB,AC長為半徑畫弧，兩弧相交于點A'；
（3）連接線段A'B ',A 'C '.
新知探究
文字語言：三邊對應相等的兩個三角形全等.
（簡寫為“邊邊邊”或“SSS”）
知識要點
“邊邊邊”判定方法
A
B
C
D
E
F
在△ABC 和△ DEF中，
AB=DE，
BC=EF，
CA=FD，
幾何語言：
∴ △ABC ≌△ DEF（SSS）.
新知探究
例1 如圖，有一個三角形鋼架，AB =AC ，AD 是連接點A 與BC 中點D 的支架．求證：（1）△ABD ≌△ACD ．
C
B
D
A
典例精析
解題思路：
先找隱含條件
公共邊AD
再找現有條件
AB=AC
最后找準備條件
BD=CD
D是BC的中點
證明：∵ D 是BC的中點，
∴　BD =CD．
在△ABD 與△ACD 中，
∴ △ABD ≌ △ACD （SSS ）．
C
B
D
A
AB =AC (已知）
BD =CD （已證）
AD =AD （公共邊）
準備條件
指明范圍
擺齊根據
寫出結論
(2)∠BAD = ∠CAD.
由（1）得△ABD≌△ACD ，
∴ ∠BAD= ∠CAD.
（全等三角形對應角相等）
新知探究
①準備條件：證全等時要用的條件要先證好；
②指明范圍：寫出在哪兩個三角形中；
③擺齊根據：擺出三個條件用大括號括起來；
④寫出結論：寫出全等結論.
證明的書寫步驟：
新知探究
如圖, C是BF的中點，AB =DC,AC=DF.
求證:△ABC ≌ △DCF.
在△ABC 和△DCF中，
AB = DC，
∴ △ABC ≌ △DCF
(已知)
(已證)
AC = DF，
BC = CF，
證明：∵C是BF中點，
∴BC=CF.
(已知)
(SSS).
針對訓練：
新知探究
A
D
F
C
B
如圖,點B、E、C、F在同一直線上 , AB = DE , AC = DF ,BE = CF .
求證: （1）△ABC ≌ △DEF；
（2）∠A=∠D.
證明:
∴ △ABC ≌ △DEF ( SSS ).
在△ABC 和△DEF中，
AB = DE，
AC = DF，
BC = EF，
(已知)
(已知)
(已證)
∵ BE = CF，
∴ BC = EF.
∴ BE+EC = CF+CE，
（1）
（2）∵ △ABC ≌ △DEF（已證），
∴ ∠A=∠D（全等三角形對應角相等）.
E
變式題：
新知探究
A
D
F
C
B
E
新知探究
根據三角形全等的判定條件，已知三邊、兩邊及其夾角、兩角及其夾邊，都可以確定唯一的一個三角形.
·
·
·
·
·
·
c
b
a
思考：怎么根據這些定理用尺規來作三角形呢？
新知探究
已知三角形的三邊求作三角形
已知:線段a,b,c
求作:△ABC,使BC＝a,AC＝b,AB＝c
作法：(1)作線段BC＝a
B
M
A
C
(2)以C為圓心, b為半徑畫弧
(3)以B為圓心, C為半徑畫弧
兩弧相交于點A
(4)連接AB,AC
則△ABC為所求作的三角形
·
·
·
·
·
·
c
b
a
課堂小結
邊邊邊
內容
有三邊對應相等的兩個三角形全等（簡寫成 “SSS”)
應用
思路分析
書寫步驟
結合圖形找隱含條件和現有條件，證準備條件
注意
四步驟
1. 說明兩三角形全等所需的條件應按對應邊的順序書寫
2. 結論中所出現的邊必須在所證明的兩個三角形中
課堂小測
BF=CD
A
E
=
=
×
×
B
D
F
C
2.如圖，AB＝CD，AD＝BC, 則下列結論：①△ABC ≌ △CDB；②△ABC ≌ △CDA；
③△ABD ≌△CDB；④BA∥DC. 正確的個數是 ( )
A . 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
O
A
B
C
D
C
=
=
×
×
1.如圖，D、F 是線段BC上的兩點，AB=CE，AF=DE，要使△ABF ≌ △ECD ，還需要條件 (填一個條件即可）.
第1題圖
第2題圖
課堂小測
3.如圖 ，AB=AE，AC=AD，BD=CE，
求證：△ABC ≌ △AED.
證明：∵BD=CE,
∴BD－CD=CE－CD .
∴BC=ED .
×
×
=
=
在△ABC和△AED中，
AC=AD（已知），
AB=AE（已知），
BC=ED（已證），
∴△ABC≌△AED（SSS）.
課堂小測
4.如圖 ，AC=FE，AD=FB,BC=DE.
求證：(1)△ABC ≌ △FDE ; (2) ∠C= ∠E.
證明：(1)∵ AD=FB，
∴ AB=FD（等式性質）.
在△ABC 和△FDE 中，
AC=FE（已知），
BC=DE（已知），
AB=FD（已證），
∴ △ABC ≌ △FDE（SSS）.
A
C
E
D
B
F
=
=


。
。
（2）∵ △ABC ≌ △FDE（已證）,
∴ ∠C=∠E（全等三角形的對應角相等）.
5.如圖,AD＝BC,AC＝BD.求證:∠C＝∠D .(提示: 連接A，B)
證明：連接A，B兩點.
∴△ABD≌△BAC(SSS),
AD=BC，
BD=AC，
AB=BA，
在△ABD和△BAC中，
∴∠D=∠C.
課堂小測
思維拓展
6.如圖，AB＝AC，BD＝CD，BH＝CH，圖中有幾組全等的三角形？它們全等的條件是什么？
H
D
C
B
A
△ABD ≌ △ACD (SSS)
AB=AC，
BD=CD，
AD=AD，
△ABH ≌ △ACH (SSS)
AB=AC，
BH=CH，
AH=AH，
△BDH ≌ △CDH (SSS)
BH=CH，
BD=CD，
DH=DH，
課堂小測
課堂小測
7.如圖，CA=CB,AD=BD, M，N分別是CA，CB的中點，
求證：DM=DN.
在△ACD與△BCD中,
證明:
CA=CB (已知）,
AD=BD （已知）,
CD=CD （公共邊）,
∴△ACD≌△BCD（SSS）,
能力提升
連接CD，如圖所示.
∴∠A=∠B.
又∵M，N分別是CA，CB的中點，
∴AM=BN.
課堂小測
在△AMD與△BND中,
AM=BN (已證）,
∠A=∠B （已證）,
AD=BD （已知）,
∴△AMD≌△BND（SAS）,
∴DM=DN.

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