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第十四章
全等三角形
八年級數學人教版·上冊
14.2 第5課時 斜邊、直角邊
教學目標
1．探索并理解直角三角形全等的判定方法“HL”．（難點）
2．會用直角三角形全等的判定方法“HL”判定兩個直角三角形全等．（重點）
新課導入
我們學過的判定三角形全等的方法
SSS
SAS
ASA
AAS
回顧舊知
新課導入
如圖，Rt△ABC中，∠C =90°，直
角邊是_____，_____，斜邊是______.
C
B
A
AC
BC
AB
思考：
前面學過的四種判定三角形全等的方法,對直角三角形是否適用？
新知探究
A
B
C
A′
B′
C′
1.兩個直角三角形中，斜邊和一個銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？
2.兩個直角三角形中，有一條直角邊和一個銳角對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？
3.兩個直角三角形中，兩直角邊對應相等，這兩個直角三角形全等嗎？為什么？
口頭回答：
全等，AAS或ASA
全等，AAS
全等，SAS
新知探究
動腦想一想
如圖，已知AC=DF，BC=EF，∠B=∠E，
△ABC≌△DEF嗎？
我們知道，證明三角形全等不存在SSA定理.
A
B
C
D
E
F
新知探究
問題：
如果這兩個三角形都是直角三角形，
即∠B=∠E=90°，且AC=DF，BC=EF，
現在能判定△ABC≌△DEF嗎？
A
B
C
D
E
F
一、直角三角形全等的判定（“斜邊、直角邊”定理）
新知探究
任意畫出一個Rt△ABC , 使∠C=90°. 再畫一個Rt△A ′B ′C ′，使∠C ′=90 °,
B ′C ′=BC , A ′B ′=AB .把畫好的Rt△A′B ′C ′ 剪下來，放到Rt△ABC上，它們能重合嗎？
A
B
C
作圖探究
新知探究
畫圖思路
（1）先畫∠M C′ N=90°
A
B
C
M
C′
N
新知探究
（2）在射線C′M上截取B′C′=BC
M
C′
N
B′
M
C′
A
B
C
畫圖思路
新知探究
（3）以點B′為圓心，AB為半徑畫弧，交射線C′N于點A′
M
C′
N
B′
A′
A
B
C
畫圖思路
新知探究
（4）連接A′B′
M
C′
N
B′
A′
思考：通過上面的探究，你能得出什么結論？
A
B
C
畫圖思路
知識要點
“斜邊、直角邊”判定方法
文字語言：
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角
三角形全等（簡寫成“斜邊、直角邊”
或“HL”）.
幾何語言：
A
B
C
A ′
B′
C ′
在Rt△ABC和Rt△ A′B′C′ 中，
∴Rt△ABC ≌ Rt△ A′B′C′ (HL).
“SSA”可以判定兩個直角三角形全等，但是“邊邊”指的是斜邊和一直角邊，而“角”指的是直角.
AB=A′B′,
BC=B′C′,
新知探究
新知探究
典例精析
例1 如圖，AC⊥BC， BD⊥AD， AC﹦BD，求證：BC﹦AD.
證明：∵ AC⊥BC，BD⊥AD，
∴∠C與∠D都是直角.
AB=BA，
AC=BD ，
在 Rt△ABC 和Rt△BAD 中，
∴ Rt△ABC≌Rt△BAD (HL).
∴ BC﹦AD.
A
B
D
C
應用“HL”的前提條件是在直角三角形中.
這是應用“HL”判定方法的書寫格式.
利用全等證明兩條線段相等，這是常見的思路.
新知探究
變式1： 如圖， ∠ACB =∠ADB=90°，要證明△ABC≌ △BAD，還需一個
什么條件？把這些條件都寫出來，并在相應的括號內填寫出判定它們全
等的理由.
（1） （ ）
（2） （ ）
（3） （ ）
（4） （ ）
AD=BC
∠ DAB= ∠ CBA
BD=AC
∠ DBA= ∠ CAB
HL
HL
AAS
AAS
A
B
D
C
新知探究
變式2：如圖，AC，BD相交于點P,AC⊥BC，BD⊥AD，垂足分別
為C，D , AD=BC.求證：AC=BD.
HL
AC=BD
Rt△ABD ≌ Rt△BAC
變式3：如圖：AB⊥AD，CD⊥BC，AB=CD,判斷AD和BC的位置關系.
HL
∠ADB=∠CBD
Rt△ABD ≌ Rt△CDB
AD∥BC
新知探究
例2 如圖，已知AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，如果AD＝AF，
AC＝AE. 求證：BC＝BE.
證明：∵AD，AF分別是兩個鈍角△ABC和△ABE的高，且AD＝AF，AC＝AE，
∴Rt△ADC≌Rt△AFE(HL)．
∴CD＝EF.
∵AD＝AF，AB＝AB，
∴Rt△ABD≌Rt△ABF(HL)．
∴BD＝BF.
∴BD－CD＝BF－EF，
即BC＝BE.
新知探究
方法總結：證明線段相等可通過證明三角形全等解決，作為“HL”公理
就是直角三角形獨有的判定方法．所以直角三角形的判定方法最多，使
用時應該抓住“直角”這個隱含的已知條件．
新知探究
例3 如圖，有兩個長度相同的滑梯，左邊滑梯的高度AC與右邊滑梯水平方向
的長度DF相等，兩個滑梯的傾斜角∠B和∠F的大小有什么關系？
解：在Rt△ABC和Rt△DEF中,
BC=EF,
AC=DF .
∴ Rt△ABC≌Rt△DEF (HL).
∴ ∠B=∠DEF (全等三角形對應角相等).
∵ ∠DEF+∠F=90°,
∴∠B+∠F=90°.
新知探究
課堂小結
斜邊
直角邊
內容
斜邊和一條直角邊對應相等的兩個直角三角形全等
前提
條件
在直角三角形中
使用
方法
只須找除直角外的兩個條件即可（兩個條件中至少有一個條件是一對對應邊相等）
課堂小測
D
A
1.判斷兩個直角三角形全等的方法不正確的有（ ）
A.兩條直角邊對應相等
B.斜邊和一銳角對應相等
C.斜邊和一條直角邊對應相等
D.兩個銳角對應相等
2.如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，CE⊥AB于點E ，AD，CE交于
點H，已知EH＝EB＝3，AE＝4，則 CH的長為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
課堂小測
4.如圖，在△ABC 中，已知BD⊥AC，CE ⊥AB，BD=CE.
求證：△EBC ≌△DCB.
A
B
C
E
D
證明： ∵ BD⊥AC，CE⊥AB，
∴∠BEC=∠BDC=90 °.
在 Rt△EBC 和Rt△DCB 中，
CE=BD,
BC=CB .
∴ Rt△EBC ≌Rt△DCB (HL).
3.如圖，△ABC中，AB=AC，AD是高，則△ADB與△ADC （填“全等”或“不全等”），根據 （用簡寫法）.
全等
HL
課堂小測
A
F
C
E
D
B
5.如圖，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求證：BF=DE.
證明: ∵ BF⊥AC,DE⊥AC, ∴∠BFA=∠DEC=90 °.
∵AE=CF，
∴AE+EF=CF+EF.
即AF=CE.
在Rt△ABF 和Rt△CDE 中，
AB=CD,
AF=CE.
∴ Rt△ABF ≌ Rt△CDE (HL).
∴BF=DE.
課堂小測
變式訓練1：如圖，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF. 求證：BD平分EF.
A
F
C
E
D
B
G
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF ≌Rt△CDE (HL).
BF=DE
Rt△GBF ≌ Rt△GDE (AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
課堂小測
變式訓練2：如圖，AB=CD, BF⊥AC,DE⊥AC,AE=CF.想想：BD平分EF嗎
C
AB=CD,
AF=CE.
Rt△ABF ≌ Rt△CDE (HL).
BF=DE
Rt△GBF ≌ Rt△GDE (AAS).
∠BFG=∠DEG
∠BGF=∠DGE
FG=EG
BD平分EF
課堂小測
6.如圖，有一直角三角形ABC，∠C＝90°，AC＝10cm，BC＝5cm，
一條線段PQ＝AB，P、Q 兩點分別在AC上和過A點且垂直于AC 的射線AQ上運動，
問P 點運動到AC上什么位置時△ABC 才能和△APQ 全等？
【分析】本題要分情況討論：①Rt△APQ ≌ Rt△CBA，此時AP＝BC＝5cm，可據此求出P 點的位置．②Rt△QAP ≌ Rt△BCA，此時AP＝AC，P，C 重合．
解：①當P 點運動到AP＝BC時，
∵∠C＝∠QAP＝90°.
在Rt△ABC 與 Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝BC，
∴Rt△ABC ≌ Rt△QPA(HL)，
∴AP＝BC＝5cm；
能力拓展
課堂小測
②當P 點運動到與C 點重合時，AP＝AC.
在Rt△ABC 與Rt△QPA中，
∵PQ＝AB，AP＝AC，
∴Rt△QAP ≌ Rt△BCA(HL)，
∴AP＝AC＝10cm，
∴當AP＝5cm或10cm時，△ABC 才能和△APQ 全等．
【方法總結】判定三角形全等的關鍵是找對應邊和對應角，由于本題沒有
說明全等三角形的對應邊和對應角，因此要分類討論，以免漏解．

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