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第十四章
全等三角形
八年級數學人教版·上冊
14.3 第1課時 角的平分線的性質
教學目標
1.通過操作、驗證等方式，探究并掌握角平分線的性質定理.（難點）
2.能運用角的平分線性質解決簡單的幾何問題. （重點）
新課導入
問題1：在紙上畫一個角，你能得到這個角的平分線嗎？
用量角器度量，也可用折紙的方法．　　
問題2：如果把前面的紙片換成木板、鋼板等，還能用對折的方法得
到木板、鋼板的角平分線嗎？
情景導入
新課導入
問題3：如圖，是一個角平分儀，其中AB=AD,BC=DC.將點A放在角的頂點,AB和AD沿著角的兩邊放下,沿AC畫一條射線AE,AE就是角平分線，你能說明它的道理嗎
A
B
C
(E)
D
其依據是SSS，兩全等三角形的對應角相等.
情景導入
新知探究
問題：如果沒有此儀器，我們用數學作圖工具，能實現該儀器的功能嗎？
A
B
O
做一做：請大家找到用尺規作角的平分線的方法，并說明作圖方法與儀器的關系.
提示：
(1)已知什么？求作什么？
(2)把平分角的儀器放在角的兩邊，儀器的頂點與角的頂點重合，且儀器的兩邊相等，怎樣在作圖中體現這個過程呢
(3)在平分角的儀器中，BC=DC，怎樣在作圖中體現這個過程呢？
(4)你能說明為什么OC是∠AOB的平分線嗎？
一、尺規作角平分線
新知探究
A
B
M
N
C
已知:∠AOB.
求作：∠AOB的平分線.
仔細觀察步驟
作角平分線是最基本的尺規作圖,大家一定要掌握噢!
作法：
（1）以點O為圓心，適當長為半徑畫弧，交OA于點M，交OB于點N.
（2）分別以點M，N為圓心，大于 MN的長為半徑畫弧，兩弧在∠AOB的內部相交于點C.
（3）畫射線OC.射線OC即為所求.
新知探究
已知：平角∠AOB.
求作：平角∠AOB的角平分線.
結論：作平角的平分線的方法就是過直線上一點作這條直線的垂線的方法.
A
B
O
C
新知探究
1. 操作測量：取點P的三個不同的位置，分別過點P作PD⊥OA，PE ⊥OB,點D、E為垂足，測量PD、PE的長.將三次數據填入下表：
2. 觀察測量結果，猜想線段PD與PE的大小關系，寫出結論：__________
PD PE
第一次
第二次
第三次
C
O
B
A
PD=PE
P
D
E
實驗：OC是∠AOB的平分線，點P是射線OC上的任意一點
猜想：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
二、角平分線的性質
新知探究
驗證猜想
如圖， ∠AOC= ∠BOC,點P在OC上，PD⊥OA,PE⊥OB,
垂足分別為D,E. 求證：PD=PE.
P
A
O
B
C
D
E
證明：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，
∴ ∠PDO= ∠PEO=90 °.
在△PDO 和△PEO 中，
∠PDO= ∠PEO，
∠AOC= ∠BOC，
OP= OP，
∴ △PDO ≌△PEO (AAS).
∴PD=PE.
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等
一般情況下，我們要證明一個幾何命題時，可以按照類似的步驟進行，即
1.明確命題中的已知和求證；
2.根據題意，畫出圖形，并用數學符號表示已知和求證；
3.經過分析，找出由已知推出要證的結論的途徑，寫出證明過程.
新知探究
性質定理：角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
應用所具備的條件：
（1）角的平分線；
（2）點在該平分線上；
（3）垂直距離.
定理的作用：
證明線段相等.
應用格式：
∵OP 是∠AOB 的平分線，
∴PD = PE
知識要點
PD⊥OA,PE⊥OB，
B
A
D
O
P
E
C
推理的理由有三個，
必須寫完全，不能
少了任何一個.
新知探究
新知探究
判一判：（1）∵ 如下左圖，AD平分∠BAC（已知），
∴ = ，( )
角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
BD CD
×
B
A
D
C
（2）∵ 如上右圖， DC⊥AC，DB⊥AB （已知）.
∴ = , ( )
角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等
BD CD
×
B
A
D
C
例1：如圖，在△ABC 中，AD是它的角平分線，且BD=CD,
DE⊥AB, DF⊥AC.垂足分別為E,F.
求證：EB=FC.
A
B
C
D
E
F
證明：∵AD是∠BAC 的角平分線， DE⊥AB, DF⊥AC，
∴ DE=DF, ∠DEB=∠DFC=90 °.
在Rt△BDE 和 Rt△CDF 中，
DE=DF，
BD=CD，
∴ Rt△BDE ≌ Rt△CDF (HL).
∴ EB=FC.
典例精析
新知探究
新知探究
例2: 如圖，AM是∠BAC的平分線，點P在AM上，PD⊥AB，
PE⊥AC，垂足分別是D、E，PD=4cm，則PE=______cm.
B
A
C
P
M
D
E
4
溫馨提示：存在兩條垂線段———直接應用
典例精析
新知探究
A
B
C
P
變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，
若PC＝4, AB=14.
（1）則點P到AB的距離為_______.
D
4
溫馨提示：存在一條垂線段———構造應用
新知探究
A
B
C
P
變式：如圖，在Rt△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC交BC于點P，若PC＝4，AB=14.
（2）求△APB的面積.
D
（3）求△PDB的周長.
由垂直平分線的性質可知，PD=PC=4，
=
·AB·PD=28.
△APB
S
=
△
1.應用角平分線的性質：
存在角平分線
涉及距離問題
2.聯系角平分線的性質：
面積
周長
條件
利用角平分線的性質所得到的等量關系進行轉化求解
新知探究
2.△ABC中, ∠C=90°,AD 平分∠CAB ,且BC=8,
BD=5,則點D 到AB 的距離是 .
A
B
C
D
3
E
1. 如圖，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分別是E，
F，DE =DF，∠EDB= 60°，則∠EBF= 度，
BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
新知探究
課堂小結
角平分線
尺規作圖
屬于基本作圖，必須熟練掌握
性質定理
一個點：角平分線上的點；
二距離：點到角兩邊的距離；
兩相等：兩條垂線段相等
輔助線
添加
過角平分線上一點向兩邊作垂線段
課堂小測
1.用尺規作圖作一個已知角的平分線的示意圖如圖所示，則能說明∠AOC=∠BOC的依據是（ ）
A.SSS B.角平分線上的點到角兩邊的距離相等
C.AAS D. ASA
A
B
M
N
C
O
A
課堂小測
2.如圖，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，垂足為E，S△ABC＝7，DE＝2，
AB＝4，則AC的長是(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
D
B
C
E
A
D
F
解析：過點D作DF⊥AC于F，
∵AD是△ABC的角平分線，
DE⊥AB，
∴DF＝DE＝2，
解得AC＝3.
方法總結：利用角平分線的性質作輔助線構造三角形的高，再利用三角形的面積公式求出線段的長度是常用的方法．
課堂小測
E
D
C
B
A
6
8
10
3.在Rt△ABC中，BD平分∠ABC，DE⊥AB于E，則：
(1)哪條線段與DE相等？為什么？
(2)若AB＝10，BC＝8，AC＝6，求BE，AE的長和△AED的周長.
解：(1)DC=DE.理由：角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
(2)在Rt△CDB 和Rt△EDB 中，
DC=DE，DB=DB，
∴Rt△CDB ≌ Rt△EDB(HL)，
∴BE＝BC=8.
∴ AE＝AB-BE=2.
∴△AED 的周長=AE+ED+DA=2+6=8.
課堂小測
4.如圖，OD平分∠POQ，在OP、OQ邊上取OA＝OB，點C在OD上，CM⊥AD于點M，CN⊥BD于點N.求證：CM＝CN.
證明：∵OD平分∠POQ，
∴∠AOD=∠BOD.
在△AOD與△BOD中，
∵OA=OB，∠AOD=∠BOD，OD=OD，
∴△AOD≌△BOD.
∴∠ADO=∠BDO.
∵CM⊥AD，CN⊥BD，
∴CM=CN.

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