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第十四章
全等三角形
八年級數(shù)學(xué)人教版·上冊
14.3 第2課時 角的平分線的判定
教學(xué)目標(biāo)
1.理解角平分線判定定理.(難點）
2.掌握角平分線判定定理內(nèi)容的證明方法并應(yīng)用其解題.（重點）
3.學(xué)會判斷一個點是否在一個角的平分線上.
新課導(dǎo)入
回顧舊知
P到OA的距離
P到OB的距離
角平分線上的點
幾何語言描述：
∵ OC 平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB.
∴ PD= PE.
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
1.敘述角平分線的性質(zhì)定理
不必再證全等
O
D
P
A
C
B
E
新課導(dǎo)入
2.我們知道，角平分線上的點到角的兩邊的距離相等.那么到角的兩邊的距
離相等的點是否在角的平分線上呢？
到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
新課導(dǎo)入
P
A
O
B
C
D
E
角的內(nèi)部到角的兩邊距離相等的點在角的平分線上．
交換角的平分線的性質(zhì)中的已知和結(jié)論，能得到什么結(jié)論，這個新結(jié)論正確嗎？
角平分線的性質(zhì)：
角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等.
∵ OC平分∠AOB，
且PD⊥OA， PE⊥OB，
∴ PD= PE.
幾何語言：
猜想:
思考：這個結(jié)論正確嗎？
一、角平分線的判定
新課導(dǎo)入
已知：如圖，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分別是D、E，PD=PE.
求證：點P在∠AOB 的平分線上.
證明：
作射線OP.
∴點P在∠AOB 的平分線上.
在Rt△PDO 和Rt△PEO 中,
（全等三角形的對應(yīng)角相等）,
OP=OP（公共邊）,
PD= PE（已知 ）,
B
A
D
O
P
E
∵PD⊥OA,PE⊥OB,
∴∠PDO=∠PEO=90°.
∴Rt△PDO ≌Rt△PEO（ HL）,
∴∠AOP=∠BOP
證明猜想
新知探究
判定定理：角的內(nèi)部到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上.
P
A
O
B
C
D
E
應(yīng)用所具備的條件：
（1）位置關(guān)系：點在角的內(nèi)部；
（2）數(shù)量關(guān)系：該點到角兩邊的距離相等.
定理的作用：判斷點是否在角平分線上.
應(yīng)用格式：
∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴點P 在∠AOB 的平分線上.
知識總結(jié)
新知探究
典例精析
例1 如圖，要在S區(qū)建一個集貿(mào)市場，使它到鐵路和公路距離相等， 并且離公路與鐵路的交叉處500米，這個集貿(mào)市場應(yīng)建在何處（比例尺為1︰20000）？
D
C
S
解：作夾角的角平分線OC，
截取OD=2.5cm ,D即為所求.
O
方法點撥：根據(jù)角平分線的判定定理，要求作的點到兩邊的距離相等，一般需作這兩邊直線形成的角的平分線，再在這條角平分線上根據(jù)要求取點.
新知探究
活動1 分別畫出下列三角形三個內(nèi)角的平分線，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：三角形的三條角平分線相交于一點
二、三角形的內(nèi)角平分線
新知探究
活動2 分別過交點作三角形三邊的垂線，用刻度尺量一量每組垂線段，你發(fā)現(xiàn)了什么？
發(fā)現(xiàn)：過交點作三角形三邊的垂線段相等
你能證明這個結(jié)論嗎？
新知探究
如圖，△ABC 的角平分線BM，CN 相交于點P.
求證：點P 到三邊AB，BC，CA 的距離相等.
證明結(jié)論
證明：過點P 作PD，PE，PF分別垂直于AB，
BC，CA，垂足分別為D，E，F(xiàn).
∵BM 是△ABC 的角平分線，
點P 在BM上，
∴PD=PE.同理PE=PF.
∴PD=PE=PF.
即點P 到三邊AB，BC，CA的距離相等.
D
E
F
A
B
P
N
M
C
C
B
N
M
新知探究
想一想：點P在∠A的平分線上嗎？這說明三角形的三條角平分線有什么關(guān)系？
點P在∠A的平分線上.
結(jié)論：三角形的三條角平分線交于一點，并且這點到三邊的距離相等.
D
E
F
A
B
P
N
M
C
新知探究
變式1：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝90°，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點O，過點O作OM⊥AC,若OM＝4.
(1)求點O到△ABC三邊的距離和;
溫馨提示：不存在垂線段———構(gòu)造應(yīng)用
M
E
N
A
B
C
P
O
D
解：∵AP平分∠BAC，OE⊥AB，OM⊥AC
∴OE=OM=4
同理OE=ON
∴OE=OM=ON=4
∴點O到△ABC三邊的距離和為12.
新知探究
解：連接OC
變式1：如圖，在直角△ABC中，AC=BC,∠C＝900，AP平分∠BAC，BD平分∠ABC;AP,BD交于點O，過點O作OM⊥AC,若OM＝4.
(2)若△ABC的周長為32，求△ABC的面積.
M
E
N
A
B
C
P
O
D
AC·OM
BC·ON
AB·OE
AC + BC + AB
新知探究
例2 如圖，在△ABC中，點O是△ABC內(nèi)一點，且點O到△ABC三邊的距離相等．若∠A＝40°，則∠BOC的度數(shù)為(　　)
A．110° B．120° C．130° D．140°
A
解析：由已知，O到三角形三邊的距離
相等，所以O(shè)是內(nèi)心，即三條角平分線
的交點，AO，BO，CO都是角平分線，
所以有∠CBO＝ ∠ABO＝ ∠ABC，
∠BCO＝∠ACO＝ ∠ACB，
∠ABC＋∠ACB＝180°－40°＝140°，
∠OBC＋∠OCB＝70°，
∠BOC＝180°－70°＝110°.
新知探究
由已知，O 到三角形三邊的距離相等，得O是內(nèi)心，再利用三角形內(nèi)角和
定理即可求出∠BOC的度數(shù)．
方法總結(jié)
新知探究
歸納總結(jié)
角的平分線的性質(zhì)
圖形
已知 條件
結(jié)論
P
C
P
C
OP平分∠AOB
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
PD=PE
OP平分∠AOB
PD=PE
PD⊥OA于D
PE⊥OB于E
角的平分線的判定
1. 如圖，某個居民小區(qū)C的附近有三條兩兩相交的道路MN、OA、OB，擬在MN上建造一個大型超市，使得它到OA、OB的距離相等，請確定該超市的位置P.
小區(qū)C
P
A
O
B
M
N
新知探究
2. 如圖所示，已知△ABC中，PE∥AB交BC于點E，PF∥AC交BC于點F，點P是AD上一點，且點D到PE的距離與到PF的距離相等，判斷AD是否平分∠BAC，并說明理由．
解：AD 平分∠BAC．理由如下：
∵D 到PE 的距離與到PF 的距離相等，
∴點D 在∠EPF 的平分線上．
∴∠1＝∠2．
又∵PE∥AB，∴∠1＝∠3．
同理，∠2＝∠4．
∴∠3＝∠4，∴AD 平分∠BAC．
A
B
C
E
F
D
(
(
(
(
3
4
1
2
P
新知探究
課堂小結(jié)
角平分線
的判定定理
內(nèi)容
角的內(nèi)部到角兩邊距離相等的點在這個角的平分線上
作用
判斷一個點是否在角的平分線上
結(jié)論
三角形的角平分線相交于內(nèi)部一點
課堂小測
1.如圖，已知∠CBD 和∠BCE 的平分線相交于點F，
求證：點F 在∠DAE 的平分線上．
證明：
過點F 作FG⊥AE 于G，F(xiàn)H⊥AD于H，F(xiàn)M⊥BC于M.
∵點F 在∠BCE 的平分線上，
FG⊥AE， FM⊥BC.
∴FG＝FM.
又∵點F 在∠CBD 的平分線上，
FH⊥AD， FM⊥BC，
∴FM＝FH，
∴FG＝FH.
∴點F 在∠DAE 的平分線上.　　　
G
H
M
A
B
C
F
E
D
課堂小測
拓展思維
2.如圖, 直線l1、l2、l3表示三條互相交叉的公路, 現(xiàn)要建一個貨物中轉(zhuǎn)站, 要求它到三條公路的距離相等, 可選擇的地址有幾處 畫出它的位置.
課堂小測
P1
P2
P3
P4
l1
l2
l3

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