資源簡介

(共32張PPT)
第十五章
軸對稱
八年級數學人教版·上冊
15.1.2 第1課時 線段的垂直平分線的性質與判定
教學目標
1.理解并掌握線段的垂直平分線的性質和判定方法．(重點）
2.會用尺規過一點作已知直線的垂線.
3.能夠運用線段的垂直平分線的性質和判定解決實際問題．（難點）
4.理解互逆命題與互逆定理.
新課導入
問題引入
某區政府為了方便居民的生活，計劃在三個住宅小區A、B、C之間修建一個購物中心，試問該購物中心應建于何處，才能使得它到三個小區的距離相等？
A
B
C
新知探究
如圖，直線l垂直平分線段AB，P1，P2，P3，…是l 上的點，請你量一量線段P1A，P1B，P2A，P2B，P3A，P3B的長，你能發現什么？請猜想點P1，P2，P3，… 到點A 與點B 的距離之間的數量關系．
A
B
l
P1
P2
P3
探究發現
P1A ____P1B
P2A ____ P2B
P3A ____ P3B
＝
＝
＝
一、線段垂直平分線的性質
新知探究
猜想：點P1，P2，P3，… 到點A 與點B 的距離分別相等．
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
由此你能得到什么結論？
你能驗證這一結論嗎？
新知探究
如圖，直線l⊥AB，垂足為C，AC =CB，點P 在l 上．
求證：PA =PB．
　證明：∵　l⊥AB，
∴ ∠PCA =∠PCB．
　　 又 AC =CB，PC =PC，
　　 ∴ △PCA ≌△PCB（SAS），
　　 ∴ PA =PB．
P
A
B
l
C
驗證結論
新知探究
例1 如圖，在△ABC 中，AB＝AC＝20cm，DE 垂直平分AB，垂足為E，交AC 于D，若△DBC 的周長為35cm，則BC 的長為(　　)
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
典例精析
C
新知探究
解析：∵△DBC 的周長為BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE 垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35－20＝15(cm).
方法歸納：利用線段垂直平分線的性質，實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．
新知探究
練一練：1.如圖①所示，直線CD是線段AB 的垂直平分線，點P 為直線CD上的一點，且PA=5，則線段PB 的長為（ ）
A. 6 B. 5 C. 4 D. 3
2.如圖②所示，在△ABC 中，BC=8cm,邊AB 的垂直平分線交AB 于點D，交邊AC 于點E, △BCE 的周長等于18cm,則AC的長是 .
B
10cm
P
A
B
C
D
圖①
A
B
C
D
E
圖②
新知探究
例2 尺規作圖：經過已知直線外一點作這條直線的垂線.
A
B
C
D
E
K
已知：直線AB 和AB 外一點C .
求作：AB 的垂線，使它經過點C .
作法：（1）任意取一點K，使點K 和點C 在AB的兩旁.
（2）以點C 為圓心，CK 長為半徑作弧，交AB 于點D 和點E.
（4）作直線CF.
直線CF 就是所求作的垂線.
（3）分別以點D 和點E 為圓心，大于 DE 的長為半徑作弧，兩弧相交于點F.
F
新知探究
（2）為什么要以大于 的長為半徑作??？
（3）為什么直線CF 就是所求作的垂線？
想一想：
（1）為什么任意取一點K ，使點K 與點C 在直線兩旁？
新知探究
例3 如圖,在ΔABC中,邊AB，BC的垂直平分線交于P.求證：PA=PB=PC.
B
A
C
M
N
M'
N'
P
PA=PB=PC
PB=PC
點P在線段BC的垂直平分線上
PA=PB
點P在線段AB的垂直平分線上
解析：
新知探究
證明：
∵點P在線段AB的垂直平分線MN上，
∴PA=PB.
同理 PB=PC.
∴PA=PB=PC.
結論： 三角形三邊的垂直平分線交于一點，這一點到三角形三個頂點的距離相等.
現在你能想到方法確定購物中心的位置，使得它到三個小區的距離相等嗎？
新知探究
例4 如圖，在四邊形ABCD 中，AD∥BC，E 為CD 的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE 交BC 的延長線于點F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根據AD∥BC 可知∠ADC＝∠ECF，再根據
E 是CD 的中點可得出△ADE ≌△FCE，根據全等三角
形的性質即可解答．
(2)先根據線段垂直平分線的性質得出AB＝BF，再
結合（1）即可解答．
新知探究
證明：(1)∵AD∥BC，
∴∠ADC＝∠ECF.
∵E 是CD 的中點，
∴DE＝EC.
又∵∠AED＝∠CEF，
∴△ADE ≌△FCE，
∴FC＝AD.
(2)∵△ADE ≌△FCE，
∴AE＝EF，AD＝CF.
∵BE⊥AE，
∴BE 是線段AF 的垂直平分線，
∴AB＝BF＝BC＋CF.
∵AD＝CF，
∴AB＝BC＋AD.
新知探究
想一想：如果PA=PB,那么點P是否在線段AB的垂直平分線上呢？
P
A
B
合作探究
已知：如圖，PA =PB．
求證：點P 在線段AB 的垂直平分線上．
二、線段垂直平分線的判定
新知探究
證明：過點P 作AB 的垂線PC，垂足為點C．
則∠PCA =∠PCB =90°．
在Rt△PCA 和Rt△PCB 中，
PA =PB，PC =PC，
∴ Rt△PCA ≌Rt△PCB（HL）．
∴ AC =BC．
又 PC⊥AB，
∴ 點P 在線段AB 的垂直平分線上．
P
A
B
C
知識要點
線段垂直平分線的判定
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
應用格式：
∵　PA =PB，
∴　點P 在AB 的垂直平分線上．
P
A
B
作用：判斷一個點是否在線段的垂直平分線上.
新知探究
　這些點能組成什么幾何圖形？
你能再找一些到線段AB 兩端點的距離相等的點嗎？能找到多少個到線段AB 兩端點距離相等的點？
　 與A，B 的距離相等的點都在直線 l 上，所以直線 l 可以看成與A、B兩點的距離相等的所有點的集合.
P
A
B
C
l
新知探究
新知探究
應用格式：
∵　AB =AC，MB =MC，
∴　直線AM 是線段BC 的垂直平分線．
A
B
C
D
M
這是判斷一條直線是線段的垂直平分線的方法.
新知探究
例5 如圖，點E是∠AOB 的平分線上一點，EC⊥OA,ED⊥OB,垂足分別為C,D，連接CD.
求證：OE 是CD 的垂直平分線.
A
B
O
E
D
C
證明：
∵OE 平分∠AOB,EC⊥OA,ED⊥OB,
∴DE=CE.
∴ OE 是CD 的垂直平分線.
又∵OE=OE，
∴Rt△OED ≌Rt△OEC.
∴DO=CO.
從上面兩個結論可以看出，線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等；反過來，與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上.所以線段的垂直平分線可以看成與這條線段兩個端點距離相等的所有點的集合.
三、互逆命題與互逆定理
線段垂直平分線上的點與這條線段兩個端點的距離相等.
與線段兩個端點距離相等的點在這條線段的垂直平分線上．
新知探究
分析上面關于線段的垂直平分線的兩個命題，它們的題設和結論有什么關系？你還學習過其他具有類似關系的命題嗎？
新知探究
這兩個命題的題設、結論正好相反.我們把具有這種關系的兩個命題叫作互逆命題.如果把其中一個叫作原命題，那么另一個叫作它的逆命題.
一般地，原命題成立時，它的逆命題可能成立，也可能不成立.例如，上面關于垂直平分線的兩個互逆命題都是成立的；而命題“對頂角相等”成立，它的逆命題“如果兩個角相等，那么這兩個角是對頂角”卻不成立.
如果一個定理的逆命題經過證明是真命題，那么它也是一個定理，這兩個定理叫作互逆定理，其中一個定理叫作另一個定理的逆定理.在幾何中，有許多互逆的定理.例如，上面關于垂直平分線的兩個互逆命題是互逆定理，“兩直線平行，內錯角相等”和“內錯角相等，兩直線平行”也是互逆定理.
新知探究
課堂小結
線段的垂直平分的性質和判定
性質
到線段的兩個端點距離相等的點在線段的垂直平分線上
內容
判定
內容
作用
線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等
作用
見垂直平分線，得線段相等
判斷一個點是否在線段的垂直平分線上
互逆命題與互逆定理
課堂小測
1.如圖所示，AC=AD,BC=BD,則下列說法正確的是（　　　）
A．AB垂直平分CD
B．CD垂直平分AB
C．AB與CD互相垂直平分
D．CD平分∠ ACB
Ａ
Ｂ
Ｃ
Ｄ
A
D
2.在銳角三角形ABC 內一點P,滿足PA=PB=PC,則點P 是△ABC ( )
A.三條角平分線的交點
B.三條中線的交點
C.三條高的交點
D.三邊垂直平分線的交點
4.下列說法：
①若點P、E是線段AB的垂直平分線上兩點，則EA＝EB，PA＝PB；
②若PA＝PB，EA＝EB，則直線PE垂直平分線段AB；
③若PA＝PB，則點P必是線段AB的垂直平分線上的點；
④若EA＝EB，則經過點E的直線垂直平分線段AB．
其中正確的有 （填序號）.
① ② ③
3.已知線段AB，在平面上找到三個點D、E、F，使DA＝DB，EA＝EB,FA＝FB，這樣的點的組合共有　　　　種.
無數
課堂小測
課堂小測
5.如圖，△ABC 中，AB=AC,AB 的垂直平分線交AC 于E,連接BE，AB+BC=16cm,則△BCE的周長是 cm.
A
B
C
D
E
16
課堂小測
6.下列定理有逆定理嗎？如果有，把它寫出來；如果沒有，請舉一個反例.
(1) 三角形的內角和等于180°；
(2) 如果a，b互為相反數，那么a + b = 0.
解：(1) 有逆定理，其逆定理為：如果一個多邊形的內角和為180°，那么這個多邊形為三角形；
(2) 有逆定理，其逆定理為：如果a + b = 0，那么a，b互為相反數.
課堂小測
7.如圖所示，在△ABC中，AD 平分∠BAC，DE⊥AB 于點E，DF⊥AC 于點F，試說明AD與EF 的關系．
解：AD垂直平分EF.
∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴∠EAD＝∠FAD，∠AED＝∠AFD=90°.
又∵AD＝AD，
∴△ADE ≌△ADF，∴AE＝AF，DE＝DF.
∴A、D 均在線段EF 的垂直平分線上，
即直線AD 垂直平分線段EF.
A
B
C
D
E
F
課堂小測
8.如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.
(1)找出圖中相等的線段；
(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．
解析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；
(2)由條件可證明△AOC ≌△AOD，可得AO 平分∠DAC，
根據角平分線的性質可得OE＝OF.
拓展提升：
課堂小測
解：(1)∵AB，CD互相垂直平分，
∴OC＝OD，AO＝OB，
且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF. 理由如下：
在△AOC 和△AOD 中，
∵AC=AD，AO＝AO，OC＝OD，
∴△AOC ≌△AOD(SSS)，
∴∠CAO＝∠DAO.
又∵OE⊥AC，OF⊥AD，
∴OE＝OF.

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