資源簡介

(共30張PPT)
第十五章
軸對稱
八年級數學人教版·上冊
15.3.1 第1課時 等腰三角形的性質
教學目標
1.理解并掌握等腰三角形的性質.(重點)
2.經歷等腰三角形的性質的探究過程，能初步運用等腰三角形的性
質解決相關問題.(難點)
新課導入
等腰三角形
情境引入
新課導入
定義及相關概念:有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形.
等腰三角形中，相等的兩邊叫作腰，另一邊叫作底邊，兩腰的夾角叫作
頂角，腰和底邊的夾角叫作底角.
A
C
B
腰
腰
底邊
角頂
底角
底角
新課導入
剪一剪：把一張長方形的紙按圖中的紅線對折，并剪去陰影部分（一個直角三角形），再把得到的直角三角形展開，得到的三角形ABC有什么特點？
互動探究
一、等腰三角形的性質1
新課導入
A
B
C
AB=AC
等腰三角形
新知探究
折一折：△ABC 是軸對稱圖形嗎？它的對稱軸是什么？
A
C
D
B
折痕所在的直線是它的對稱軸.
等腰三角形是軸對稱圖形.
新知探究
找一找：把剪出的等腰三角形ABC沿折痕對折，找出其中重合的線段和角.
重合的線段 重合的角
　
A
C
B
D
AB與AC
BD與CD
AD與AD
∠B 與∠C
∠BAD 與∠CAD
∠ADB 與∠ADC
猜一猜： 由這些重合的角，你能發現等腰三角形的性質嗎？
說一說你的猜想.
新知探究
性質1 等腰三角形的兩個底角相等（等邊對等角）.
A
B
C
D
猜想與驗證
已知：△ABC 中，AB=AC .
求證：∠B=∠C.
證法1：作底邊BC的中線AD.
在△ABD與△ACD中：
AB=AC（已知），
BD=DC（作圖），
AD=AD（公共邊），
∴△ABD≌△ACD（SSS）.
∴∠B=∠C（全等三角形對應角相等）.
應用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等邊對等角）
新知探究
證法2：作頂角∠BAC的平分線AD，交BC于點D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD與△ACD中，
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已證），
AD＝AD（公共邊），
∴ △ABD ≌ △ACD（SAS），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
(
(
1
2
新知探究
證法3：
作底邊BC的高AD，交BC于點D.
∵AD⊥BC，
∴ ∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD與Rt△ACD中，
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共邊），
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
A
B
C
D
新知探究
A
B
C
D
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
例1 如圖，在△ABC中 ，AB=AC，點D在AC上，且BD=BC=AD，
求△ABC各角的度數.
典例精析
解析：（1）觀察∠BDC與∠A、∠ABD的關系，∠BDC與∠C、∠ABC呢？
∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2 ∠A=2 ∠ABD,
∠ABC= ∠C= ∠BDC=2 ∠A.
（2）設∠A=x,請把△ ABC的內角和用含x的式子表示出來.
∵ ∠A+ ∠ABC+ ∠ C=180 °
∴ x+2x+2x=180 °.
新知探究
A
B
C
D
解：∵AB=AC，BD=BC=AD，
∴∠ABC=∠C=∠BDC， ∠A=∠ABD.
設∠A=x,則∠BDC= ∠A+ ∠ABD=2x,
從而∠ABC= ∠C= ∠BDC=2x,
于是在△ABC中，有∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180 ° ，
解得x=36 ° .
∴∠A=36°，∠ABC=∠C=72°.
x
⌒
2x
⌒
2x
⌒
⌒
2x
新知探究
方法總結：利用等腰三角形的性質和三角形外角的性質可以得到角與角之
間的關系，當這種等量關系或和差關系較多時，可考慮列方程解答，設未
知數時，一般設較小的角的度數為x.
新知探究
如圖，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度數.
解：∵AB=AD=DC
∴ ∠B= ∠ADB，∠C= ∠DAC
設 ∠C=x，則 ∠DAC=x，
∠B= ∠ADB= ∠C+ ∠DAC=2x，
在△ABC中， 根據三角形內角和定理，得
2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴ ∠C= x=38.5°， ∠B=2x=77°.
針對訓練：
新知探究
例2 等腰三角形的一個內角是50°，則這個三角形的底角的度數是(　　)
A．65°或50° B．80°或40°
C．65°或80° D．50°或80°
解析：當50°的角是底角時，三角形的底角就是50°；當50°的角是頂角時，兩底角相等，根據三角形的內角和定理易得底角是65°.
A
新知探究
方法總結：等腰三角形的兩個底角相等，已知一個內角，則這個角可能是
底角也可能是頂角，要分兩種情況討論．
新知探究
建筑工人在蓋房子時，用一塊等腰三角板放在梁上，從頂點系一重物，如果系重物的繩子正好經過三角板底邊中點，就說房梁是水平的，你知道為什么嗎
二、等腰三角形的性質2
新知探究
性質2 等腰三角形的頂角平分線，底邊上的中線，底邊上的高互相重合
（通常說成等腰三角形的“三線合一”）
A
B
C
D
(
(
1
2
填一填: 根據等腰三角形的性質定理2完成下列填空.
在△ABC中， 當AB=AC時，
(1)∵AD⊥BC,
∴∠_____ = ∠_____，____= ____.
(2)∵AD是中線，
∴____⊥____ ，∠_____ =∠_____.
(3)∵AD是角平分線，
∴____ ⊥____ ，_____ =_____.
1
2
2
BD
CD
AD
BC
BD
1
BC
AD
CD
新知探究
畫出任意一個等腰三角形的底角平分線、這個底角所對的腰上的中線和高，看看它們是否重合？
不重合！
三線合一
為什么不一樣
(
(
1.等腰三角形的頂角一定是銳角.
2.等腰三角形的底角可能是銳角、直角或者鈍角.
3.鈍角三角形不可能是等腰三角形.
4.等腰三角形的頂角平分線一定垂直底邊.
5.等腰三角形的角平分線、中線和高互相重合.
6.等腰三角形底邊上的中線一定平分頂角.
（X）
（X）
（X）
（X）
（√）
（√）
新知探究
判斷正誤：
例3 已知點D、E在△ABC的邊BC上，AB＝AC.
(1)如圖①，若AD＝AE，求證：BD＝CE；
(2)如圖②，若BD＝CE，F為DE的中點，求證：AF⊥BC.
典例精析
圖②
圖①
新知探究
證明：
(1)如圖①，過A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG－DG＝CG－EG，
∴BD＝CE.
(2)∵BD＝CE，F為DE的中點，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，∴AF⊥BC.
圖②
圖①
G
新知探究
方法總結：在等腰三角形有關計算或證明中，有時需要添加輔助線，其
頂角平分線、底邊上的高、底邊上的中線是常見的輔助線．
新知探究
課堂小結
等腰三角形
的性質
等邊對等角
三線合一
注意是指同一個三角形中
注意是指頂角的平分線,底邊上的高和中線才有這一性質.而腰上的高和中線與底角的平分線不具有這一性質
課堂小測
2.如圖，在△ABC中，AB=AC，過點A作AD∥BC，若∠1=70°，則∠BAC的大小為（　　）
A．40° B．30° C．70° D．50°
A
1.等腰三角形有一個角是90°，則另兩個角的度數分別是（　　）
A．30°，60° B．45°，45°
C．45°，90° D．20°，70°
B
課堂小測
3.(1)等腰三角形一個底角為75°,它另外的兩個角為____ __；
(2)等腰三角形一個角為36°,它另外的兩個角為____________________；
(3)等腰三角形一個角為120°,它另外的兩個角為_ ___ __.
75°, 30°
72°,72°或36°,108°
30°，30°
課堂小測
4.在△ABC中， AB=AC，AB的垂直平分線與AC所在的直線相交所得的銳角為50°，則底角的大小為___________．
A
B
C
70°或20°
注意：當題目未給定三角形的形狀時，一般需分銳角三角形和鈍角三角形兩種情況進行討論.
A
B
C
課堂小測
5.如圖，在△ABC中，AB = AC，D是BC邊上的中點， ∠B = 30°，
求 ∠BAD 和 ∠ADC的度數.
A
B
C
D
解：∵AB=AC，D是BC邊上的中點，
∴ ∠C= ∠ B=30°，
∠BAD = ∠ DAC，∠ADC = 90°.
∴∠ BAC =180° - 30°-30° = 120°.
∴ =60°.
課堂小測
6.如圖，已知△ABC為等腰三角形，BD、CE為底角的平分線，且∠DBC＝∠F，
求證：EC∥DF.
∴∠DBC＝∠ECB.
∵∠DBC＝∠F，∴∠ECB＝∠F，∴EC∥DF.
證明：∵△ABC為等腰三角形，AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB.
又∵BD、CE為底角的平分線，
∴

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