資源簡介

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第十五章
軸對稱
八年級數學人教版·上冊
15.3.1 第2課時 等腰三角形的判定
教學目標
1 .掌握等腰三角形的判定方法.（重點）
2.掌握等腰三角形的判定定理，并運用其進行證明和計算.（難點）
新課導入
情境引入
在△ABC中，AB=AC，倘若不留神，它的一部分被墨水涂沒了，只留下一條底邊BC和一個底角∠C，請問，有沒有辦法把原來的等腰三角形畫出來？
A
B
C
A
新課導入
A
B
C
如圖，位于海上B、C兩處的兩艘救生船接到A處遇險船只的報警，當時測得∠B=∠C.如果這兩艘救生船以同樣的速度同時出發，能不能同時趕到出事地點（不考慮風浪因素）？
互動探究
一、等腰三角形的判定
新課導入
如圖，在△ABC中, ∠B=∠C,那么它們所對的邊AB和AC有什么數量關系
建立數學模型：
C
A
B
做一做：畫一個△ABC，其中∠B=∠C=30°，請你量一量AB與AC的長度，它們之間有什么數量關系，你能得出什么結論？
AB=AC
你能驗證你的結論嗎？
新課導入
在△ABD與△ACD，
∠1=∠2，
∴ △ABD ≌ △ACD.
∠B=∠C，
AD=AD，
∴AB=AC.
過A作AD平分∠BAC交BC于點D.
證明：
C
A
B
2
1
D
（
（
△ABC是等腰三角形.
新知探究
∴ AC=AB. ( )
即△ABC為等腰三角形.
∵∠B=∠C， ( )
知識要點
等腰三角形的判定方法
如果一個三角形有兩個角相等,那么這個三角形是等腰三角形（簡寫成“等角對等邊”）.
已知
等角對等邊
在△ABC中，
應用格式：
B
C
A
(
(
這又是一個判定兩條線段相等的根據之一.
新知探究
A
B
C
D
2
1
∵∠1=∠2 ,
∴ BD=DC
（等角對等邊）.
∵∠1=∠2,
∴ DC=BC
A
B
C
D
2
1
（等角對等邊）.
錯，因為都不是在同一個三角形中.
辨一辨：如圖,下列推理正確嗎
新知探究
典例精析
例1 求證：如果三角形一個外角的平分線平行于三角形的一邊，那么這個三角形是等腰三角形．
已知： 如圖，∠CAE是△ABC的外角，∠1=∠2，AD∥BC．
求證：AB=AC．
證明：∵AD∥BC，
∴∠1=∠B（兩直線平行，同位角相等），
∠2=∠C（兩直線平行，內錯角相等）．
又∵∠1=∠2，
∴∠B=∠C，
∴AB=AC（等角對等邊）．
A
B
C
E
（
（
1
2
D
新知探究
例2 已知：如圖，AD∥BC，BD平分∠ABC.
求證：AB=AD
B
A
D
C
證明：∵ AD∥BC，
∴∠ADB=∠DBC.
∵ BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD.
總結：平分角+平行=等腰三角形
新知探究
如圖，把一張長方形的紙沿著對角線折疊，重合部分是一個等腰三角形嗎？為什么？
B
C
A
D
E
變式訓練：
是
由折疊可知，∠EBD=∠CBD.
∵AD∥BC，∴∠EDB=∠CBD，
∴∠EDB=∠EBD，
∴BE=DE，△EBD是等腰三角形.
新知探究
練一練：1.在△ABC中，∠A和∠B的度數如下，能判定△ABC是等腰三角形
的是（ ）
A. ∠A＝50°，∠B＝70°
B. ∠A＝70°，∠B＝40°
C. ∠A＝30°，∠B＝90°
D. ∠A＝80°，∠B＝60°
B
2.如圖，已知OC平分∠AOB，CD∥OB，若OD＝3cm，則CD等于_______.
3cm
新知探究
例3 已知等腰三角形底邊長為a,底邊上的高的長為h，求作這個等腰三角形.
a
h
作法：1.作線段AB=a.
2.作線段AB的垂直平分線MN，交AB于點D.
3.在MN上取一點C，使DC=h.
4.連接AC，BC，則△ABC即為所求.
A
B
C
M
N
D
新知探究
例4 如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，AE是∠BAC的平分線，AE與CD交于點F，求證：△CEF是等腰三角形．
證明：∵在△ABC中，∠ACB＝90°，
∴∠B＋∠BAC＝90°.
∵CD是AB邊上的高，∴∠ACD＋∠BAC＝90°，
∴∠B＝∠ACD.
∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE＝∠EAC，
∴∠B＋∠BAE＝∠ACD＋∠EAC，即∠CEF＝∠CFE，
∴CE＝CF，∴△CEF是等腰三角形．
A
B
C
D
E
F
新知探究
方法總結：“等角對等邊”是判定等腰三角形的重要依據，是先有角相等
再有邊相等，只限于在同一個三角形中，若在兩個不同的三角形中，此結
論不一定成立．
新知探究
例5 如圖，在△ABC中，AB=AC，∠ABC和∠ACB的平分線交于點O.過O作EF∥BC交AB于E，交AC于F. 探究EF、BE、FC之間的關系.
O
A
B
C
E
F
解：EF=BE+CF.
理由如下：∵ EF∥BC,
∴∠EOB=∠CBO，∠FOC=∠BCO.
∵ BO、CO分別平分∠ABC、∠ACB，
∴∠CBO＝∠ABO，∠BCO＝∠ACO，
∴∠EOB＝∠ABO ，∠FOC＝∠ACO，
∴BE＝OE，CF=OF，
∴ EF=EO+FO＝BE+CF.
A
B
C
O
E
F
若AB≠AC，其他條件不變，圖中還有等腰三角形嗎？結論還成立嗎？
新知探究
方法總結：判定線段之間的數量關系，一般做法是通過全等或利用“等角
對等邊”，運用轉化思想，解決問題.
課堂小結
等腰三角形
的判定
等角對等邊
定義
注意是指同一個三角形中
有兩邊相等的三角形是等腰三角形
課堂小測
1.如圖，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，BD、CE分別是∠ABC、∠BCD的平分線，則圖中的等腰三角形有( )
A．5個 B．4個 C．3個 D．2個
2.一個三角形的一個外角為130°，且它恰好等于一個不相鄰的內角的2倍.這個三角形是（ ）
A．鈍角三角形 　 B．直角三角形 　
C．等腰三角形 　 D．等邊三角形
C
A
課堂小測
1
3.如圖，直線a、b相交于點O，∠1=50°，點A在直線a上，直線b上存在點B，使以點O、A、B為頂點的三角形是等腰三角形，這樣的B點有（　　）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
O
a
b
D
A
解析：（1）以O 為圓心OA長為半徑畫弧，與直線b有兩個交點；
（2）以A為圓心OA長為半徑畫弧，與直線b有一個交點；
（3）作線段OA的垂直平分線，與直線b有一個交點.
課堂小測
4.如圖，已知∠A=36°，∠ABD=36°，∠C=72°，則∠DBC=_____，∠BDC=_____，圖中的等腰三角形有_______________________.
36°
72°
△ABC、
△DBA、
△BCD
A
B
C
D
5.如圖，在△ABC中，∠ABC和∠ACB的平分線交于點E，過點E作MN∥BC交AB于M，交AC于N，若BM＋CN＝9，則線段MN的長為_____.
9
第4題圖
第5題圖
課堂小測
6.如圖,上午10 時，一條船從A處出發以20海里每小時的速度向正北航行，中午12時到達B處，從A、B望燈塔 C，測得∠NAC=40°，∠NBC=80°.
求從B處到燈塔C的距離.
解：∵∠NBC=∠A+∠C，
∴∠C=80°- 40°= 40°，
∴ ∠C = ∠A，
∴ BA=BC（等角對等邊）.
∵AB=20×（12-10）=40(海里),
∴BC=40海里.
答：B處距離燈塔C40海里.
80°
40°
N
B
A
C
北
課堂小測
7.如圖，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D.
求證：BC＝CD.
證明：連接BD.
∵AB=AD，
∴∠ABD=∠ADB.
∵∠ABC=∠ADC，
∴∠ABC-∠ABD=∠ADC-∠ADB，
即∠DBC=∠BDC，
∴BC=CD.

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