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第十五章
軸對稱
八年級數學人教版·上冊
15.3.2 第1課時 等邊三角形的性質與判定
教學目標
1．探索等邊三角形的性質和判定．（重點）
2．能運用等邊三角形的性質和判定進行計算和證明．（難點）
新課導入
小明想制作一個三角形的相框，他有四根木條長度分別為10cm，10cm，10cm，6cm，你能幫他設計出幾種形狀的三角形？
問題引入
新課導入
等腰三角形
等邊三角形
一般三角形
在等腰三角形中，有一種特殊的情況，就是底與腰相等，即三角形的三邊相等，我們把三條邊都相等的三角形叫作等邊三角形.
新課導入
名稱 圖 形 定 義 性 質 判 定
等 腰 三 角 形
等邊對等角
三線合一
等角對等邊
兩邊相等
兩腰相等
軸對稱圖形
A
B
C
有兩條邊相等的三角形叫作等腰三角形
新課導入
類比探究
A
B
C
A
B
C
問題1 等邊三角形的三個內角之間有什么關系？
等腰三角形
AB=AC
∠B=∠C
等邊三角形
AB=AC=BC
AB=AC
∠B=∠C
AC=BC
∠A=∠B
∠A=∠B=∠C
內角和為180°
=60°
一、等邊三角形的性質
新知探究
結論： 等邊三角形的三個內角都相等，并且每一 個角都等于60°.
已知：AB=AC=BC ，
求證：∠A= ∠ B=∠C= 60°.
證明： ∵AB=AC.
∴∠B=∠C .(等邊對等角)
同理 ∠A=∠C .
∴∠A=∠B=∠C.
∵ ∠A+∠B+∠C=180°,
∴ ∠A= ∠B= ∠C=60 °.
新知探究
A
B
C
問題2 等邊三角形有“三線合一”的性質嗎 等邊三角形有幾條對稱軸？
結論:等邊三角形每條邊上的中線,高和所對角的平分線都“三線合一”.
頂角的平分線、底邊的高
底邊的中線
三線合一
一條對稱軸
A
B
C
三條對稱軸
新知探究
圖形 等腰三角形
　性 質
每一邊上的中線、高和這一邊所對的角的平分線互相重合
三個角都相等，
對稱軸（3條）
等邊三角形
對稱軸（1條）
兩個底角相等
底邊上的中線、高和頂角的平分線互相重合
且都是60
兩條邊相等
三條邊都相等
知識要點
新知探究
例1 如圖，△ABC是等邊三角形，E是AC上一點，D是BC延長線上一點，連接BE，DE. 若∠ABE＝40°，BE＝DE，求∠CED的度數．
解：∵△ABC是等邊三角形，
∴∠ABC＝∠ACB＝60°.
∵∠ABE＝40°，
∴∠EBC＝∠ABC－∠ABE＝60°－40°＝20°.
∵BE＝DE，
∴∠D＝∠EBC＝20°，
∴∠CED＝∠ACB－∠D＝40°.
典例精析
新知探究
方法總結：等邊三角形是特殊的三角形，它的三個內角都是60°，這個性質常應
用在求三角形角度的問題上，一般需結合“等邊對等角”、三角形的內角和與外角
的性質.
新知探究
變式訓練：
如圖，△ABC是等邊三角形，BD平分∠ABC，延長BC到E，使得CE=CD．
求證：BD=DE．
證明：∵△ABC是等邊三角形，BD是角平分線，
∴∠ABC=∠ACB=60°，∠DBC=30°．
又∵CE=CD，
∴∠CDE=∠CED．
又∵∠BCD=∠CDE+∠CED，
∴∠CDE=∠CED=30°．
∴∠DBC=∠DEC．
∴DB=DE（等角對等邊）．
新知探究
例2 △ABC為正三角形，點M是BC邊上任意一點，點N是CA邊上任意一點，且BM＝CN，BN與AM相交于Q點，∠BQM等于多少度？
解：∵△ABC為正三角形，
∴∠ABC＝∠C＝∠BAC＝60°，AB＝BC.
又∵BM＝CN，
∴△AMB≌△BNC(SAS)，
∴∠BAM＝∠CBN，
∴∠BQM＝∠ABQ＋∠BAM
＝∠ABQ＋∠CBN＝∠ABC＝60°.
新知探究
方法總結：此題屬于等邊三角形與全等三角形的綜合運用，一般是利用
等邊三角形的性質判定三角形全等，而后利用全等及等邊三角形的性質，
求角度或證明邊相等.
新知探究
類比探究
圖形 等腰三角形
判 定
三個角都相等的三角形是等邊三角形
等邊三角形
從角看：兩個角相等的三角形是等腰三角形
從邊看：兩條邊相等的三角形是等腰三角形
三條邊都相等的三角形是等邊三角形
小明認為還有第三種方法“兩條邊相等且有一個角是60°的三角形也是等邊三角形”，你同意嗎？
等邊三角形的判定方法：
有一個角是60°的等腰三角形是等邊三角形.
二、等邊三角形的判定
新知探究
辯一辯：根據條件判斷下列三角形是否為等邊三角形.
（1）
（2）
（6）
（5）
不
是
是
是
是
是
（4）
（3）
不
一
定
是
新知探究
例3 如圖,在等邊三角形ABC中，DE∥BC, 分別交AB，AC于點D，E.求證：△ADE是等邊三角形.
A
C
B
D
E
典例精析
證明：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= ∠B= ∠C.
∵ DE//BC,
∴ ∠ADE= ∠B, ∠ AED= ∠C.
∴ ∠A= ∠ADE= ∠ AED.
∴ △ADE是等邊三角形.
想一想：本題還有其他證法嗎？
新知探究
　證明：成立.理由如下：
∵△ABC 是等邊三角形，
∴∠A =∠ABC =∠ACB =60°．
∵DE∥BC，
∴∠ABC =∠ADE，
∠ACB =∠AED.
∴∠A =∠ADE =∠AED.
∴△ADE 是等邊三角形.
變式1　若點D、E 在邊AB、AC 的延長線上，且DE∥BC，結論還成立嗎？
A
D
E
B
C
新知探究
變式2　若點D、E 在邊AB、AC 的反向延長線上，且DE∥BC，結論依
然成立嗎？
　　證明： 成立.理由如下:
∵△ABC 是等邊三角形，
∴∠BAC =∠B =∠C．
∵DE∥BC，
∴∠B =∠D，∠C =∠E．
∴∠EAD =∠D =∠E．
∴△ADE 是等邊三角形．
A
D
E
B
C
新知探究
變式3 上題中,若將條件DE∥BC改為AD=AE, △ADE還是等邊三角形嗎
試說明理由.
A
C
B
D
E
證明：是等邊三角形.理由如下：
∵ △ABC是等邊三角形，
∴ ∠A= 60°.
∵ AD=AE,
∴ △ADE是等腰三角形.
∴ △ADE是等邊三角形.
新知探究
例4 等邊△ABC中，點P在△ABC內，點Q在△ABC外，且∠ABP＝∠ACQ，BP＝CQ，問△APQ是什么形狀的三角形？試證明你的結論．
解：△APQ為等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴AB＝AC.
∵BP＝CQ，∠ABP＝∠ACQ，
∴△ABP≌△ACQ(SAS)，
∴AP＝AQ，∠BAP＝∠CAQ.
∵∠BAC＝∠BAP＋∠PAC＝60°，
∴∠PAQ＝∠CAQ＋∠PAC＝60°，
∴△APQ是等邊三角形．
方法總結：判定一個三角形是等邊三角形有以下方法：一是證明三角形三條邊相
等；二是證明三角形三個內角相等；三是先證明三角形是等腰三角形，再證明有
一個內角等于60°.
新知探究
針對訓練： 如圖，等邊△ABC中，D、E、F分別是各邊上的一點，且AD=BE=CF．
求證：△DEF是等邊三角形．
證明：∵△ABC為等邊三角形，且AD=BE=CF
∴AF=BD=CE，∠A=∠B=∠C=60°，
∴△ADF≌△BED≌△CFE（SAS），
∴DF=ED=EF，
∴△DEF是等邊三角形．
新知探究
課堂小結
等邊
三角形
定義
底=腰
特殊性
性質
特殊性
邊
三邊相等
角
三個角都等于60 °
軸對稱性
軸對稱圖形，每條邊上都具有“三線合一”性質
判定
特殊性
三邊法
三角法
等腰三角形法
2.如圖，等邊三角形ABC的三條角平分線交于點O，DE∥BC，則這個圖形中的等腰三角形共有（ ）
A. 4個 B. 5個
C. 6個 D. 7個
D
A
C
B
D
E
O
1.等邊三角形的兩條高線相交成鈍角的度數是（　　）
A．105° B．120° C．135° D．150°
B
課堂小測
3.如圖，在等邊△ABC中，BD平分∠ABC，BD=BF，則∠CDF的度數是（　）
A．10° B．15°
C．20° D．25°
4.如圖 ,△ABC 和△ADE 都是等邊三角形，已知△ABC 的周長為18cm,EC =2cm,則△ADE 的周長是 cm.
A
C
B
D
E
12
B
課堂小測
課堂小測
5.如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°，以AB為邊在△ABC外作等邊△ABD，E是AB的中點，連接CE并延長交AD于F．
求證：△AEF≌△BEC．
證明：∵△ABD是等邊三角形，
∴∠DAB=60°，
∵∠CAB=30°，∠ACB=90°，
∴∠EBC=180°-90°-30°=60°，
∴∠FAE=∠EBC．
∵E為AB的中點，
∴AE=BE．
又∵ ∠AEF＝∠BEC，
∴△AEF≌△BEC（ASA）．
課堂小測
6.如圖，A、O、D三點共線，△OAB和△OCD是兩個全等的等邊三角形，
求∠AEB的大小.
解：
∵△OAB 和△OCD 是兩個全等的等邊三角形，
∴AO=BO,CO=DO, ∠AOB=∠COD=60°.
∵ A、O、D 三點共線，
∴∠DOB=∠COA=120°.
∴ △COA ≌△DOB(SAS).
∴ ∠DBO=∠CAO.
設OB與EA相交于點F,
∵ ∠EFB=∠AFO，
∴ ∠AEB=∠AOB=60°.
C
B
O
D
A
E
F
課堂小測
7.圖①、圖②中，點C為線段AB上一點，△ACM與△CBN都是等邊三角形．
(1)如圖①，線段AN與線段BM是否相等？請說明理由；
(2)如圖②，AN與MC交于點E，BM與CN交于點F，探究△CEF的形狀，并證明你的結論．
拓展提升：
圖①
圖②
課堂小測
解：(1)AN＝BM.
理由：∵△ACM與△CBN都是等邊三角形，
∴AC＝MC，CN＝CB，∠ACM＝∠BCN＝60°.
∴∠ACN＝∠MCB.
∴△ACN≌△MCB(SAS)．
∴AN＝BM.
圖①
課堂小測
(2)△CEF是等邊三角形．
證明：∵∠ACE＝∠FCB=60°，
∴∠ECF=60°.
∵△ACN≌△MCB，
∴∠CAE＝∠CMB.
∵AC＝MC，
∴△ACE≌△MCF(ASA)，
∴CE＝CF.
∴△CEF是等邊三角形．
圖②

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