資源簡介

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第十五章
軸對稱
八年級數學人教版·上冊
15.3.2 第2課時 含30°角的直角 三角形的性質
教學目標
1．探索含30°角的直角三角形的性質．（重點）
2．會運用含30°角的直角三角形的性質進行有關的證明和計算.（難點）
新課導入
問題引入
問題1 如圖，將兩個相同的含30°角的三角尺擺放在一起，你能借助這個圖形，找到Rt△ABC的直角邊BC與斜邊AB之間的數量關系嗎？
分離
拼接
A
C
B
斜邊AB是30°角所對
直角邊BC的2倍.
新課導入
問題2 將一張等邊三角形紙片，沿一邊上的高對折，如圖所示，你有什么發現？
等邊三角形變成一個含30°角的直角三角形
新課導入
性質：
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
A
B
C
D
如圖，△ADC是△ABC的軸對稱圖形，
因此AB=AD, ∠BAD=2×30°=60°，
從而△ABD是一個等邊三角形.
再由AC⊥BD,
可得BC=CD= AB.
你還能用其他方法證明嗎？
一、含30°角的直角三角形的性質
新課導入
證法1
證明：延長BC 到D，使BD =AB，連接AD，
則△ABD 是等邊三角形．
在△ABC 中，∵∠C =90°，∠A =30°,
∴∠B =60°．
又∵AC⊥BD,
如圖，在Rt△ABC 中，∠C =90°，∠A =30°.
求證：BC = AB．
A
B
C
D
證明方法：
倍長法
∴BC = AB．　　
∴BC = BD．　　
新知探究
證明： 在BA上截取BE=BC，連接EC.
∵∠B= 60° ，BE=BC.
∴ △BCE是等邊三角形，
∴∠BEC= 60°，BE=EC.
∵ ∠A= 30°，
∴ ∠ECA=∠BEC-∠A=60°-30° = 30°.
∴ AE=EC，
∴ AE=BE=BC，
∴ AB=AE+BE=2BC.
∴BC = AB．　　
證明方法：
截半法
證法2
E
A
B
C
新知探究
知識要點
含30°角的直角三角形的性質
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半.
應用格式：
∵在Rt△ABC 中，
　　∠C =90°，∠A =30°，　　
A
B
C
∴BC = AB．　　
新知探究
√
判斷下列說法是否正確：
（1）直角三角形中30°角所對的直角邊等于另一直角邊的一半．
（2）三角形中30°角所對的邊等于最長邊的一半.
（3）直角三角形中較短的直角邊是斜邊的一半.
（4）直角三角形的斜邊是30°角所對直角邊的2倍．
新知探究
例1 如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠B＝30°，CD是斜邊AB上的高，AD＝3cm，則AB的長度是(　　)
A．3cm B．6cm
C．9cm D．12cm
典例精析
注意：運用含30°角的直角三角形的性質求線段長時，要分清線段所在的直角三角形．
D
解析：在Rt△ABC中，∵CD是斜邊AB上的高，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD＝∠B＝30°.在Rt△ACD中，AC＝2AD＝6cm，在Rt△ABC中，AB＝2AC＝12cm.∴AB的長度是12cm.
新知探究
例2 如圖，∠AOP＝∠BOP＝15°，PC∥OA交OB于C，PD⊥OA于D，若PC＝3，則PD等于(　　)
A．3 B．2
C.1.5 D．1
解析：如圖，過點P作PE⊥OB于E，∵PC∥OA，∴∠AOP＝∠CPO，∴∠PCE＝∠BOP＋∠CPO＝∠BOP＋∠AOP＝∠AOB＝30°.又∵PC＝3，∴PE＝1.5.∵∠AOP＝∠BOP，PD⊥OA，∴PD＝PE＝1.5.
E
C
新知探究
方法總結：含30°角的直角三角形與角平分線、垂直平分線綜合運用時，關鍵
是尋找或作輔助線構造含30°角的直角三角形．
新知探究
例3 如圖，在△ABC中，∠C＝90°，AD是∠BAC的平分線，過點D作DE⊥AB.
DE恰好是∠ADB的平分線．CD與DB有怎樣的數量關系？請說明理由．
解：
理由：∵DE⊥AB，
∴∠AED＝∠BED＝90°.
∵DE是∠ADB的平分線，
∴∠ADE＝∠BDE.
又∵DE＝DE，
∴△AED≌△BED(ASA)，
新知探究
在Rt△ACD中，∵∠CAD＝30°，
∴AD＝BD，∠DAE＝∠B.
∵∠BAD＝∠CAD＝ ∠BAC，
∴∠BAD＝∠CAD＝∠B.
∵∠BAD＋∠CAD＋∠B＝90°，
∴∠B＝∠BAD＝∠CAD＝30°.
∴CD＝ AD＝ BD，即CD＝ DB.
新知探究
方法總結：含30°角的直角三角形的性質是表示線段倍分關系的一個重要的依據，
如果問題中出現探究線段倍分關系的結論時，要聯想此性質．
新知探究
想一想：圖中BC、DE 分別是哪個直角三角形的直角邊？它們所對的銳角分別是多少度？
例4　如圖是屋架設計圖的一部分，點D 是斜梁AB 的中點，立柱BC，DE 垂直于橫梁AC，AB =7.4 cm，∠A =30°，立柱BC、DE 要多長？
A
B
C
D
E
新知探究
A
B
C
D
E
解：∵DE⊥AC,BC ⊥AC, ∠A=30 °，
∴BC= AB, DE= AD.
∴BC= ×7.4=3.7(m).
又AD= AB,
∴DE= AD= ×3.7=1.85 (m).
答：立柱BC的長是3.7m，DE的長是1.85m.
新知探究
例5 已知:等腰三角形的底角為15 °,腰長為20.求腰上的高.
A
C
B
D
15 °
15 °
20
解:過C作CD⊥BA,交BA的延長線于點D.
∵∠B=∠ACB=15° (已知),
∴∠DAC= ∠B+ ∠ACB= 15°+15°=30°，
)
)
∴CD= AC= ×20=10.
新知探究
方法總結：在求三角形邊長的一些問題中，可以構造含30°角的直角三角形來解
決．本題的關鍵是作高，而后利用等腰三角形及外角的性質，得出30°角，利用含
30°角的直角三角形的性質解決問題.
課堂小結
內容
在直角三角形中，如果一個銳角等于30°，那么它所對的直角邊等于斜邊的一半
使用
要點
找準30 °的角所對的直角邊，點明斜邊
注意
前提條件：直角三角形中
含30°角的直角三角形的性質
課堂小測
1.如圖，一棵樹在一次強臺風中于離地面3米處折斷倒下，倒下部分與地面成30°角，這棵樹在折斷前的高度為( )
A．6米 B．9米
C．12米 D．15米
2.某市在舊城改造中，計劃在一塊如圖所示的△ABC空地上種植草皮以美化環境，已知∠A＝150°，這種草皮每平方米售價a元，則購買這種草皮至少需要( )
A．300a元 B．150a元
C．450a元 D．225a元
B
B
課堂小測
4.在△ABC中,∠A: ∠B: ∠C=1:2:3,若AB=10,則BC = .
5
5.如圖，Rt△ABC中，∠A= 30°，AB+BC=12cm，則AB=______.
A
C
B
8
3.如圖，在△ABC 中，∠ACB =90°，CD 是高，∠A =30°，AB =4．則BD = .
1
第3題圖
第5題圖
A
B
C
D
課堂小測
6. 在△ABC中，∠C=90°，∠B=15°，DE是AB的垂直平分線，BE=5，
求AC的長．
解：連接AE，
∵DE是AB的垂直平分線，
∴BE=AE，
∴∠EAB=∠B=15°，
∴∠AEC=∠EAB+∠B=30°．
∵∠C=90°，
∴AC= AE= BE=2.5．
課堂小測
7. 在 △ABC中 ，AB=AC，∠BAC=120° ，D是BC的中點，DE⊥AB于E點，
求證：BE=3EA.
證明：∵AB=AC，∠BAC=120°， ∴∠B=∠C=30°.
∵ D是BC的中點，∴AD⊥BC.
∴∠ADC=90°，∠BAD=∠DAC=60°.
∴AB=2AD.
∵DE⊥AB，∴∠AED=90°，
∴∠ADE=30°，∴AD=2AE.
∴AB=4AE，∴BE=3AE.
課堂小測
8.如圖，已知△ABC是等邊三角形，D,E分別為BC、AC上的點，且CD=AE，AD、BE相交于點P，BQ⊥AD于點Q. 求證:BP=2PQ.
拓展提升
課堂小測
∴∠CAD=∠ABE.
∵∠BAP+∠CAD=60°，
∴∠ABE+∠BAP=60°.
∴∠BPQ=60°.
又∵ BQ⊥AD，
∴BP=2PQ.
∴∠PBQ=30°，
∴∠BQP=90°，
證明：∵△ABC為等邊三角形，
∴ AC=BC=AB ,∠C=∠BAC=60°，
∵CD=AE，
∴△ADC≌△BEA.

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