資源簡介

(共39張PPT)
第十六章
整式的乘法
八年級數學人教版·上冊
16.1.2 冪的乘方與積的乘方
教學目標
1.理解并掌握冪的乘方法則和積的乘方法則.（重點）
2.會運用冪的乘方法則和積的乘方法則進行乘方的運算.（難點）
新課導入
情境引入
地球、木星、太陽可以近似地看做是球體 .木星、太陽的半徑分別約是地球的10倍和102倍，它們的體積分別約是地球的多少倍？
V球= —πr3 ，
其中V是體積、r是球的半徑
3
4
新課導入
10
103
＝邊長2
＝邊長×邊長
S正
問題1 請分別求出下列兩個正方形的面積？
互動探究
S小
＝10×10
＝102
＝103×103
S大
=（103）2
=
106
=
106
冪的乘方
新課導入
問題2 請根據乘方的意義及同底數冪的乘法填空.
觀察計算的結果，你能發現什么規律？證明你的猜想.
(32)3= ___ ×___ ×___
=3（ ）+（ ）+（ ）
=3（ ）×（ ）
=3（ ）
32
32
32
2
2
2
2
3
6
猜想：(am)n=_____.
amn
新知探究
證一證：
(am)n
冪的乘方法則
(am)n= amn　
(m，n都是正整數）
即冪的乘方，底數 ， 指數 .
不變
相乘
n個am
m m m
a a a ‥‥‥
=
n個m
m+m+m
‥‥‥
新知探究
例1 計算：
(1)（103）5 ；
解: (1) (103)5 = 103×5 = 1015；
(2) (a2)4 = a2×4 = a8；
(3) (am)2 =am·2=a2m；
(3)（am）2；
(2)（a2）4；
(4)-（x4）3；
(4) -(x4)3 =-x4×3=-x12.
(6) [(﹣x)4]3.
(5) [(x+y)2]3；
(5)[(x+y)2]3= (x+y)2×3 =(x+y)6；
(6)[(﹣x)4]3= (﹣x)4×3 = (﹣x)12 = x12.
新知探究
方法總結：運用冪的乘方法則進行計算時，一定不要將冪的乘方與同底數
冪的乘法混淆.在冪的乘方中，底數可以是單項式，也可以是多項式．
新知探究
(-a5)2表示2個-a5相乘，結果沒有負號.
比一比
(-a2)5和(-a5)2的結果相同嗎 為什么
不相同.
(-a2)5表示5個-a2相乘，其結果帶有負號.
n為偶數
n為奇偶數
新知探究
想一想：下面這道題該怎么進行計算呢？
冪的乘方:
＝(a6)4
=a24
[(y5)2]2=______=________
[(x5)m]n=______=________
練一練：
(y10)2
y20
(x5m)n
x5mn
新知探究
例2 計算：
典例精析
(1) (x4)3·x6;
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10.
解: (1) (x4)3·x6 =x12·x6= x18；
(2) a2(－a)2(－a2)3＋a10
= -a2·a2·a6＋a10
= -a10＋a10 = 0.
憶一憶有理數混合運算的順序
先乘方，再乘除
先乘方，再乘除，最后算加減
底數的符號要統一
新知探究
方法總結：與冪的乘方有關的混合運算中，一般先算冪的乘方，
再算同底數冪的乘法，最后算加減，然后合并同類項．
新知探究
例3 已知10m＝3，10n＝2，求下列各式的值.
(1)103m；(2)102n；(3)103m＋2n．
解：(1)103m＝(10m)3＝33＝27.
(2)102n＝(10n)2＝22＝4.
(3)103m＋2n＝103m×102n＝27×4＝108.
方法總結：此類題的關鍵是逆用冪的乘方及同底數冪的乘法公式，將所求代數式正確變形，然后代入已知條件求值即可.
新知探究
(1)已知x2n＝3，求(x3n)4的值；
(2)已知2x＋5y－3＝0，求4x·32y的值．
解：(1) (x3n)4＝x12n＝(x2n)6＝36＝729.
(2) ∵2x＋5y－3＝0，
∴2x＋5y＝3，
∴4x·32y＝(22)x·(25)y＝22x·25y＝22x＋5y＝23＝8.
變式訓練
新知探究
例4 比較3500,4400,5300的大小.
解析：這三個冪的底數不同,指數也不相同,不能直接比較大小.通過觀察,發現指數都是100的倍數,故可以考慮逆用冪的乘方法則.
解: 3500=(35)100=243100,
4400=(44)100=256100,
5300=(53)100=125100.
∵256100>243100>125100,
∴4400>3500>5300.
新知探究
方法總結：
比較底數大于1的冪的大小的方法有兩種:
(1)底數相同,指數越大,冪就越大;
(2)指數相同,底數越大,冪就越大.
故在此類題中，一般先觀察題目所給數據的特點，將其轉化為同底數的冪或同指數的冪，然后再進行大小比較.
新知探究
問題1 下列兩題有什么特點？
(1)
(2)
底數為兩個因式相乘，積的形式.
這種形式為積的乘方.
我們學過的冪的乘方的運算性質適用嗎？
互動探究
積的乘方
新知探究
同理：
（乘方的意義）
（乘法交換律、結合律）
（同底數冪相乘的法則）
問題2 根據乘方的意義及乘法交換律、結合律進行計算：
(ab)n =
新知探究
(ab) n= (ab)· (ab)· ··· ·(ab)
n個ab
=(a·a· ··· ·a)·(b·b· ··· ·b)
n個a
n個b
=anbn.
證明：
思考問題：積的乘方(ab)n =
猜想結論：
因此可得：(ab)n=anbn (n為正整數).
(ab)n=anbn (n為正整數)
推理驗證
新知探究
積的乘方,等于把積的每一個因式分別 ,再把所得的冪 .
(ab)n = anbn （n為正整數）
想一想：三個或三個以上的積的乘方等于什么？
(abc)n = anbncn （n為正整數）
知識要點
積的乘方法則
乘方
相乘
新知探究
例1 計算:
(1) (2a)3 ； (2) (-5b)3 ；
(3) (xy2)2 ； (4) (-2x3)4.
解：(1)原式=
(2)原式=
(3)原式=
(4)原式=
= 8a3.
=-125b3.
=x2y4.
=16x12.
23a3
(-5)3b3
x2(y2)2
(-2)4(x3)4
典例精析
方法總結：運用積的乘方法則進行計算時，注意每個因式都要乘方，尤其是字母的系數不要漏乘方．
新知探究
計算：(1)(－5ab)3； (2)－(3x2y)2；
(3)(－3ab2c3)3； (4)(－xmy3m)2.
針對訓練
(4)(－xmy3m)2＝(－1)2x2my6m＝x2my6m.
解：(1)(－5ab)3＝(－5)3a3b3＝－125a3b3.
(2)－(3x2y)2＝－32x4y2＝－9x4y2.
(3)(－3ab2c3)3＝(－3)3a3b6c9＝－27a3b6c9.
新知探究
×
√
×
(1)(3cd)3=9c3d3;
(2)(-3a3)2= -9a6;
(3)(-2x3y)3= -8x6y3;
×
下面的計算對不對？如果不對，怎樣改正？
(4)(-ab2)2= a2b4.
新知探究
例2 計算:
(1) －4xy2·(xy2)2·(－2x2)3；
(2) (－a3b6)2＋(－a2b4)3.
解：(1)原式=－4xy2·x2y4·(－8x6)
=32x9y6.
(2)原式=a6b12+(－a6b12)
=0.
新知探究
方法總結：涉及積的乘方的混合運算，一般先算積的乘方，再算乘法，
最后算加減，然后合并同類項．
新知探究
如何簡便計算(0.04)2004×[(-5)2004]2
議一議
=(0.22)2004 × 54008
=(0.2)4008 × 54008
=(0.2 ×5)4008
=14008
(0.04)2004×[(-5)2004]2
=1.
解法一：
=(0.04)2004 × [(-5)2]2004
=(0.04×25)2004
=12004
=1.
= (0.04)2004 ×(25)2004
(0.04)2004×[(-5)2004]2
解法二：
新知探究
方法總結：逆用積的乘方公式an·bn＝(ab)n.要靈活運用公式，對于不符合公式的形式，要通過恒等變形，轉化為公式的形式，再運用此公式可
進行簡便運算．
新知探究
解：原式
練一練 計算:
課堂小結
冪的乘方
法則
（am）n=amn (m,n都是正整數）
注意
冪的乘方，底數不變，指數相乘
冪的乘方與同底數冪的乘法的區別：(am)n=amn;
am ﹒an=am+n
冪的乘方法則的逆用：
amn=(am)n=(an)m
課堂小結
冪的運算性質
性質
am·an=am+n (am)n=amn
(ab)n=anbn ( m，n都是正整數)
逆向運用
am+n=am · an
amn=(am)n
an·bn = (ab)n
可使某些計算簡捷
注意
運用積的乘方法則時要注意：
公式中的a，b代表任何代數式；每一個因式都要“乘方”；注意結果的符號、冪指數及其逆向運用（混合運算要注意運算順序）
課堂小測
1．(x4)2等于 ( )
A．x6 B．x8
C．x16 D．2x4
B
2.下列各式的括號內，應填入b4的是( )
A．b12＝(　　)8 B．b12＝(　　)6
C．b12＝(　　)3 D．b12＝(　　)2
C
課堂小測
3．下列計算中，錯誤的是( )
A．[(a＋b)2]3＝(a＋b)6
B．[(a＋b)2]5＝(a＋b)7
C．[(a－b)3]n＝(a－b)3n
D．[(a－b)3]2＝(a－b)6
B
4．如果(9n)2＝312，那么n的值是( )
A．4 B．3
C．2 D．1
B
課堂小測
6.下列運算正確的是（ ）
A. x.x2=x2 B. (xy)2=xy2
C.(x2)3=x6 D.x2+x2=x4
C
5.計算 (-x2y)2的結果是（　　）
A．x4y2 B．-x4y2
C．x2y2 D．-x2y2
A
課堂小測
7. 計算：(1) 82016×0.1252015= _____;
(2) ______;
(3) (0.04)2013×[(-5)2013]2=________.
8
-3
1
(1) (ab2)3=ab6 ( )
×
×
×
(2) (3xy)3=9x3y3 ( )
×
(3) (-2a2)2=-4a4 ( )
(4) -(-ab2)2=a2b4 ( )
8.判斷:
課堂小測
(1) (ab)8 ; (2) (2m)3 ; (3) (-xy)5;
(4) (5ab2)3 ; (5) (2×102)2 ; (6) (-3×103)3.
9.計算:
解：(1)原式=a8b8.
(2)原式= 23 ·m3=8m3.
(3)原式=(-x)5 ·y5=-x5y5.
(4)原式=53 ·a3 ·(b2)3=125a3b6.
(5)原式=22 ×(102)2=4 ×104.
(6)原式=(-3)3 ×(103)3=-27 ×109=-2.7 ×1010.
課堂小測
（1） 2(x3)2·x3-(3x3)3+(5x)2·x7;
（2）(-2x3)3·(x2)2.
解：原式=2x6·x3-27x9+25x2·x7
= 2x9-27x9+25x9
= 0.
解：原式= -8x9·x4 =-8x13.
10.計算:
課堂小測
11．計算：
(1)5(a3)4－13(a6)2；
(2)7x4·x5·(－x)7＋5(x4)4－(x8)2；
(3)[(x＋y)3]6＋[－(x＋y)2]9.
解：(1)原式＝5a12－13a12＝－8a12.
(2)原式＝－7x9·x7＋5x16－x16＝－3x16.
(3)原式＝(x＋y)18－(x＋y)18＝0.
12.已知a=355,b=444,c=533,試比較a，b，c的大小.
解: a=355=(35)11=24311,
b=444=(44)11=25611,
c=533=(53)11=12511.
∵256>243>125,
∴b>a>c.
課堂小測
課堂小測
13.已知3x+4y-5=0,求27x·81y的值.
解: ∵3x+4y-5=0,
∴3x+4y=5,
∴27x·81y=(33)x·(34)y
=33x·34y
=33x+4y
=35
=243.　

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