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第十六章
整式的乘法
八年級數(shù)學人教版·上冊
16.3.2 第1課時 完全平方公式
教學目標
1.理解并掌握完全平方公式的推導過程、結構特點、幾何解釋.（重點）
2.靈活應用完全平方公式進行計算.（難點）
新課導入
情景導入
一塊邊長為a米的正方形實驗田，因需要將其邊長增加 b 米.形成四塊實驗田，以種植不同的新品種(如圖). 用不同的形式表示實驗田的總面積, 并進行比較.
直接求：總面積=(a+b)(a+b)
間接求：總面積=a2+ab+ab+b2
你發(fā)現(xiàn)了什么？
(a+b)2=a2+2ab+b2
a
a
b
b
問題1 計算下列多項式的積，你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？
（1） (p+1)2=(p+1)(p+1)= .
p2+2p+1
（2） (m+2)2=(m+2)(m+2)= .
m2+4m+4
（3） (p-1)2=(p-1)(p-1)= .
p2-2p+1
（4） (m-2)2=(m-2)(m-2)= .
m2-4m+4
問題2 根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，你能寫出下列式子的答案嗎？
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
合作探究：
一、完全平方公式
新知探究
知識要點
完全平方公式
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
也就是說，兩個數(shù)的和（或差）的平方，等于它們的平方和，加上（或減去）它們的積的2倍.這兩個公式叫作（乘法的）完全平方公式.
簡記為：
“首平方，尾平方，積的2倍放中央”
新知探究
問題3 你能根據(jù)圖①和圖②中的面積說明完全平方公式嗎
b
a
a
b
b
a
b
a
圖
圖
新知探究
①
②
新知探究
幾何解釋:
a
a
b
b
=
+
+
+
a2
ab
ab
b2
(a+b)2= .
a2+2ab+b2
和的完全平方公式：
新知探究
a2
ab
b(a b)
=
a2 2ab+b2 .
=
(a b)2
a b
a b
a
a
ab
b(a b)
b
b
(a b)2
幾何解釋:
(a-b)2= .
a2-2ab+b2
差的完全平方公式：
新知探究
(a+b)2= a2+2ab+b2.
(a-b)2= a2-2ab+b2.
問題4 觀察下面兩個完全平方式，比一比，回答下列問題：
1.說一說積的次數(shù)和項數(shù).
2.兩個完全平方式的積有相同的項嗎？與a,b有什么關系？
3.兩個完全平方式的積中不同的是哪一項？與 a,b有什么關系？它的符號與什么有關？
二次
二次三項式
三項式
平方
乘積的2倍
新知探究
公式特征：
4.公式中的字母a，b可以表示數(shù)，單項式和多項式.
1.積為二次三項式；
2.積中兩項為兩數(shù)的平方和；
3.另一項是兩數(shù)積的2倍，且與兩數(shù)中間的符號相同；
新知探究
想一想：下面各式的計算是否正確？如果不正確,應當怎樣改正？
(1)(x+y)2=x2 +y2
(2)(x -y)2 =x2 -y2
(3) (-x +y)2 =x2+2xy +y2
(4) (2x+y)2 =4x2 +2xy +y2
×
×
×
×
(x +y)2 =x2+2xy +y2
(x -y)2 =x2 -2xy +y2
(-x +y)2 =x2 -2xy +y2
(2x +y)2 =4x2+4xy +y2
新知探究
典例精析
例1 運用完全平方公式計算：
解: (4m+n)2=
= 16m2
(1)(4m+n)2；
(a + b)2= a2 + 2ab + b2
(4m)2
+2 (4m) n
+n2
+ 8mn
+n2.
新知探究
(a - b)2 = a2 - 2 ab + b2
y2
=y2
-y
+
+
-2 y
(2)
解： =
.
新知探究
利用完全平方公式計算：
(1)(5－a)2； (2)(－3m－4n)2； (3)(－3a＋b)2.
針對訓練：
(3)(－3a＋b)2＝9a2－6ab＋b2.
解：(1)(5－a)2＝25－10a＋a2.
(2)(－3m－4n)2＝9m2＋24mn＋16n2.
新知探究
(1) 1022；
解： 1022
= (100+2)2
=10000+400+4
=10404.
(2) 992.
992
= (100 –1)2
=10000 -200+1
=9801.
例2 運用完全平方公式計算：
方法總結：運用完全平方公式進行簡便計算，要熟記完全平方公式的特征，將原式轉化為能利用完全平方公式的形式．
新知探究
利用乘法公式計算：
(1)982－101×99； (2)20162－2016×4030＋20152.
針對訓練：
＝(2016－2015)2＝1.
解：(1)原式＝(100－2)2－(100＋1)(100－1)
＝1002－400＋4－1002＋1＝－395.
(2)原式＝20162－2×2016×2015＋20152
新知探究
例3 已知x－y＝6，xy＝－8.求: (1) x2＋y2的值； (2)(x+y)2的值.
＝36－16=20.
解：(1)∵x－y＝6，xy＝－8，
(x－y)2＝x2＋y2－2xy，
∴x2＋y2＝(x－y)2＋2xy
(2)∵x2＋y2＝20，xy＝－8，
∴(x+y)2＝x2＋y2＋2xy
＝20－16＝4.
新知探究
方法總結：本題要熟練掌握完全平方公式的變式：
x2＋y2＝(x－y)2＋2xy＝(x+y)2－2xy, (x－y)2＝(x+y)2－4xy.
課堂小結
完全平方公式
法則
注意
(a±b)2= a2 ±2ab+b2
1.項數(shù)、符號、字母及其指數(shù)
常用
結論
2.弄清完全平方公式和平方差公式不同（從公式結構特點及結果兩方面）
a2+b2=(a+b)2-2ab=(a-b)2+2ab
4ab=(a+b)2-(a-b)2
課堂小測
2.下列計算結果為2ab－a2－b2的是( )
A．(a－b)2 B．(－a－b)2
C．－(a＋b)2 D．－(a－b)2
1.運用乘法公式計算(a-2)2的結果是（　　）
A．a(chǎn)2-4a+4 B．a(chǎn)2-2a+4
C．a(chǎn)2-4 D．a(chǎn)2-4a-4
A
D
課堂小測
3.運用完全平方公式計算:
(1) (6a+5b)2=_______________；
(2) (4x-3y)2=_______________ ；
(3) (2m-1)2 =_______________；
(4) (-2m-1)2 =_______________.
36a2+60ab+25b2
16x2-24xy+9y2
4m2+4m+1
4m2-4m+1
4.由完全平方公式可知：32＋2×3×5＋52＝(3＋5)2＝64，運用這一方法計算：4.3212＋8.642×0.679＋0.6792＝________．
25
課堂小測
5.若a+b=5,ab=-6, 求a2+b2,a2-ab+b2.
6.已知x+y=8,x-y=4,求xy.
解：a2+b2=(a+b)2-2ab=52-2×(-6)=37；
a2-ab+b2=a2+b2-ab=37-(-6)=43.
解：∵x+y=8, ∴(x+y)2=64,即x2+y2+2xy=64①;
∵x-y=4, ∴(x-y)2=16,即x2+y2-2xy=16②.
由①-②得
4xy=48,
∴xy=12.

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