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(共27張PPT)
第十七章
因式分解
八年級數學人教版·上冊
17.1 用提公因式法分解因式
教學目標
1.理解因式分解的意義和概念及其與整式乘法的區別和聯系.（重點）
2.理解并掌握提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式.（難點）
新課導入
情境引入
如圖，一塊菜地被分成三部分，你能用不同的方式表示這塊草坪的面積嗎？
a
b
c
m
方法一：m(a+b+c)
方法二：ma+mb+mc
m(a+b+c)=ma+mb+mc
整式乘法

新課導入
1.運用整式乘法法則或公式填空：
(1) m(a+b+c)= ；
(2) (x+1)(x-1)= ；
(3) (a+b)2 = .
ma+mb+mc
x2 -1
a2 +2ab+b2
合作探究
2.根據等式的性質填空：
(1) ma+mb+mc=( )( )
(2) x2 -1 =( )( )
(3) a2 +2ab+b2 =( )2
m a+b+c
x+1 x-1
a+b
都是將多項式化為幾個整式的積的形式.
比一比，這些式子有什么共同點？
一、因式分解
新課導入
定義：
把一個多項式化為幾個整式的積的形式,像這樣的式子變
形叫作把這個多項式的因式分解，也叫作把這個多項式分解因式.
新知探究
x2-1 (x+1)(x-1)
因式分解
整式乘法
x2-1 = (x+1)(x-1)
等式的特征：左邊是多項式，
右邊是幾個整式的乘積.
想一想：整式乘法與因式分解有什么關系？
是互為相反的變形，即
新知探究
典例精析
例1 下列從左到右的變形中是因式分解的有(　　)
①x2－y2－1＝(x＋y)(x－y)－1；②x3＋x＝x(x2＋1)；③(x－y)2＝x2－2xy＋y2；④x2－9y2＝(x＋3y)(x－3y)．
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
B
方法總結：因式分解與整式乘法是相反方向的變形，即互逆運算，二者是一個式子的不同表現形式．因式分解的右邊是兩個或幾個因式積的形式，整式乘法的右邊是多項式的形式．
新知探究
在下列等式中，從左到右的變形是因式分解的有 ，不是的，請說明為什么？
①
②
③
④
⑤
⑥
③
⑥
辨一辨：
am+bm+c=m(a+b)+c
24x2y=3x ·8xy
x2-1=(x+1)(x-1)
(2x+1)2=4x2+4x+1
x2+x=x2(1+ )
2x+4y+6z=2(x+2y+3z)
最后不是積的運算
因式分解的對象是多項式
是整式乘法
每個因式必須是整式
新知探究
pa + pb + pc
多項式中各項都含有的相同因式，叫作這個多項式的公因式.
相同因式 p
問題1 觀察下列多項式，它們有什么共同特點？
合作探究
x2 ＋ x
相同因式x
二、用提公因式法分解因式
新知探究
一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式
提取出來，將多項式寫成公因式與另一個因式的乘積的形
式，這種分解因式的方法叫作提公因式法.
( a+b+c )
pa + pb +pc
p
=
新知探究
找 3x 2 – 6 xy 的公因式.
系數：最大公約數
3
字母：相同的字母
x
所以公因式是3x
指數：相同字母的最低次數
1
問題2 如何確定一個多項式的公因式？
新知探究
正確找出多項式的公因式的步驟：
3.定指數：相同字母的指數取各項中最小的一個，即字母的最低次數.
1.定系數：公因式的系數是多項式各項系數的最大公約數.
2.定字母： 字母取多項式各項中都含有的相同的字母.
新知探究
找一找: 下列各多項式的公因式是什么？
3
a
a2
2(m+n)
3mn
-2xy
(1) 3x+6y
(2)ab-2ac
(3) a 2 - a 3
(4)4 (m+n) 2 +2(m+n)
(5)9 m 2n-6mn
(6)-6 x 2 y-8 xy 2
新知探究
典例精析
(1) 8a3b2 + 12ab3c；
例2 把下列各式分解因式
分析：提公因式法的步驟（分兩步）
第一步:找出公因式；
第二步:提取公因式 ，即將多項式化為兩個因式的乘積.
(2) 2a(b+c) - 3(b+c).
公因式既可以是一個單項式的形式，也可以是一個多項式的形式.
整體思想是數學中一種重要而且常用的思想方法.
新知探究
解：（1） 8a3b2 + 12ab3c
= 4ab2 ·2a2+4ab2 ·3bc
= 4ab2(2a2+3bc)；
如果提出公因式4ab,另一個因式是否還有公因式？
另一個因式將是2a2b+3b2c,
它還有公因式是b.
（2） 2a(b+c)-3(b+c)
=(b+c)(2a-3).
如何檢查因式分解是否正確？
做整式乘法運算.
新知探究
因式分解：
(1)3a3c2＋12ab3c；
(2)2a(b＋c)－3(b＋c)；
(3)(a＋b)(a－b)－a－b.
針對訓練
(3)原式＝(a＋b)(a－b－1)．
解：(1)原式＝3ac(a2c＋4b3).
(2)原式＝(2a－3)(b＋c).
新知探究
把12x2y+18xy2分解因式.
解：原式 =3xy(4x + 6y).
錯誤
公因式沒有提盡，還可以提出公因式2
注意：公因式要提盡.
正解：原式=6xy(2x+3y).
小明的解法有誤嗎？
新知探究
當多項式的某一項和公因式相同時，提公因式后剩余的項是1.
錯誤
注意：某項提出莫漏1.
解：原式 =x(3x-6y).
把3x2 - 6xy+x分解因式.
正確解：原式=3x·x-6y·x+1·x
=x(3x-6y+1).
小明的解法有誤嗎？
新知探究
提出負號時括號里的項沒變號
錯誤
把 - x2+xy-xz分解因式.
解：原式= - x(x+y-z).
注意：首項有負常提負.
正確解：原式= - (x2-xy+xz)
=- x(x-y+z)
小明的解法有誤嗎？
新知探究
例3 計算：(1)39×37－13×91；
(2)29×20.16＋72×20.16＋13×20.16－20.16×14.
(2)原式＝20.16×(29＋72＋13－14)＝2016.
＝13×20＝260.
解：(1)原式＝3×13×37－13×91
＝13×(3×37－91)
方法總結：在計算求值時，若式子各項都含有公因式，用提取公因式的方法可使運算簡便．
新知探究
例4 已知a＋b＝7，ab＝4，求a2b＋ab2的值．
∴原式＝ab(a＋b)＝4×7＝28.
解：∵a＋b＝7，ab＝4，
方法總結：含a±b，ab的求值題，通常要將所求代數式進行因式分解，將其變形為能用a±b和ab表示的式子，然后將a±b，ab的值整體帶入即可.
課堂小結
因式
分解
定義
am+bm+mc=m(a+b+c)
方法
提公因式法
公式法
確定公因式的方法：
三定，即定系數；定字母；定指數
分兩步：
第一步找公因式；第二步提公因式
（下節課學習）
注意
1.分解因式是一種恒等變形；
2.公因式要提盡；
3.不要漏項；
4.提負號，要注意變號
課堂小測
1.多項式15m3n2+5m2n-20m2n3的公因式是（　　）
A．5mn B．5m2n2 C．5m2n D ．5mn2
2.把多項式（x+2）（x-2）+（x-2）提取公因式（x-2）后，余下的部分是（　?。?br/>A．x+1 B．2x C．x+2 D．x+3
3.下列多項式的分解因式，正確的是（　?。?br/>A．12xyz-9x2y2=3xyz（4-3xyz）
B．3a2y-3ay+6y=3y（a2-a+2）
C．-x2+xy-xz=-x（x2+y-z）
D．a2b+5ab-b=b（a2+5a）
B
C
D
課堂小測
4.把下列各式分解因式：
(1)8 m2n+2mn=_____________；
(2)12xyz-9x2y2=_____________；
(3)p(a2 + b2 )- q(a2 + b2 )=_____________；
(4) -x3y3-x2y2-xy=_______________；
2mn(4m+1)
3xy(4z-3xy)
(a2+b2)(p-q)
-xy(x2y2+xy+1)
(5)(x-y)2+y(y-x)=_____________.
(y-x)(2y-x)
5.若9a2(x－y)2－3a(y－x)3＝M·(3a＋x－y)，則M等于_____________.
3a(x－y)2
課堂小測
6.簡便計算：
(1) 1.992+1.99×0.01 ;
(2) 20132+2013-20142;
(3) (-2)101+(-2)100.
(2) 原式=2013×(2013+1)-20142
=2013×2014-20142=2014×(2013-2014)
=-2014．
解：(1) 原式=1.99×(1.99+0.01)=3.98.
(3)原式=(-2)100 ×(-2+1) =2100 ×(-1)=-2100.
課堂小測
解：(1)2x2y+xy2=xy(2x+y)=3 ×4=12.
(2)原式=(2x+1)[(2x+1)-(2x-1)]
=(2x+1)(2x+1-2x+1)=2(2x+1).
7.(1)已知: 2x+y=4,xy=3,求代數式2x2y+xy2的值;
(2)化簡求值：(2x+1)2-(2x+1)(2x-1)，其中x=0.5 .
將x= 0.5 代入上式，得
原式=4.
課堂小測
8.△ABC的三邊長分別為a，b，c，且a＋2ab＝c＋2bc，請判斷△ABC是等邊三角形、等腰三角形還是直角三角形？并說明理由．
∴△ABC是等腰三角形．
解：整理a＋2ab＝c＋2bc得，a＋2ab－c－2bc＝0，
(a－c)＋2b(a－c)＝0，(a－c)(1＋2b)＝0，
∴a－c＝0或1＋2b＝0，
即a＝c或b＝－0.5(舍去)，

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