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(共26張PPT)
第十七章
因式分解
八年級數學人教版·上冊
17.2 第2課時 利用完全平方公式分解因式
教學目標
1.理解并掌握用完全平方公式分解因式．（重點）
2.靈活應用各種方法分解因式，并能利用因式分解進行計算．（難點）
新課導入
回顧舊知
1.因式分解：
把一個多項式轉化為幾個整式的積的形式.
2.我們已經學過哪些因式分解的方法？
1.提公因式法
2.平方差公式
a2-b2=(a+b)(a-b)
新課導入
你能把下面4個圖形拼成一個正方形并求出你拼成的圖形的面積嗎？
同學們拼出圖形為：
a
a
b
b
a
b
a
b
ab
a
b
ab
一、用完全平方公式分解因式
新課導入
這個大正方形的面積可以怎么求？
a2+2ab+b2
（a+b）2
=
（a+b）2
a2+2ab+b2
=
將上面的等式倒過來看，能得到：
a
b
a
b
a
ab
ab
b
新課導入
a2+2ab+b2
a2-2ab+b2
我們把a +2ab+b 和a -2ab+b 這樣的式子叫作完全平方式.
觀察這兩個式子：
（1）每個多項式有幾項？
（3）中間項和第一項，第三項有什么關系？
（2）每個多項式的第一項和第三項有什么特征？
三項
這兩項都是數或式的平方，并且符號相同
是第一項和第三項底數的積的±2倍
新知探究
完全平方式的特點：
1.必須是三項式（或可以看成三項的）；
2.有兩個同號的數或式的平方；
3.中間有兩底數之積的±2倍.
完全平方式:
新知探究
簡記口訣：
首平方，尾平方，首尾兩倍在中央.
凡具備這些特點的三項式，就是完全平方式，將它寫成完全平方形式，便實現了因式分解.
2
a
b
+ b2
±
= (a ± b)
a2
首2
+尾2
±2×首×尾
(首±尾)2
兩個數的平方和加上(或減去)這兩個數的積的2倍，等于這兩個數的和(或差)的平方.
新知探究
3.a +4ab+4b =( ) +2· ( ) ·( )+( ) =( )
2.m -6m+9=( ) - 2· ( ) ·( )+( ) =( )
1. x +4x+4= ( ) +2·( )·( )+( ) =( )
x
2
x + 2
a
a 2b
a + 2b
2b
對照 a ±2ab+b =(a±b) ，填空：
m
m - 3
3
x
2
m
3
新知探究
下列各式是不是完全平方式？
（1）a2－4a+4; （2）1+4a ;
（3）4b2+4b-1; （4）a2+ab+b2;
（5）x2+x+0.25.
是
（2）因為它只有兩項；
不是
（3）4b 與-1的符號不統一；
不是
分析：
不是
是
（4）因為ab不是a與b的積的2倍.
新知探究
例1 如果x2-6x+N是一個完全平方式,那么N是( )
A . 11 B. 9 C. -11 D. -9
B
解析：根據完全平方式的特征，中間項-6x=2x×(-3),故可知
N=(-3)2=9.
變式訓練: 如果x2-mx+16是一個完全平方式,那么m的值為________.
解析：∵16=(±4)2，故-m=2×(±4)，m=±8.
±8
典例精析:
新知探究
方法總結：本題要熟練掌握完全平方公式的結構特征， 根據參數所
在位置結合公式找出參數與已知項之間的數量關系，從而求出
參數的值.計算過程中，要注意積的2倍的符號，避免漏解．
新知探究
例2 分解因式：
（1）16x2+24x+9； （2）-x2+4xy-4y2.
分析：(1)中， 16x2=(4x)2, 9=3 ,24x=2·4x·3,
所以16x2+24x+9是一個完全平方式，
即16x2 + 24x +9= (4x)2+ 2·4x·3 + (3)2.
2
a
b
+b2
a2
(2)中首項有負號，一般先利用添括號法則，將其變形為
-(x2-4xy+4y2),然后再利用公式分解因式.
新知探究
解： (1)16x2+ 24x +9
= (4x + 3)2.
= (4x)2 + 2·4x·3 + (3)2
(2)-x2+ 4xy-4y2
=-(x2-4xy+4y2)
=-(x-2y)2.
新知探究
例3 把下列各式分解因式：
(1)3ax2+6axy+3ay2 ； (2)(a+b)2-12(a+b)+36.
解: (1)原式=3a（x2+2xy+y2）
=3a（x+y）2.
分析：(1)中有公因式3a,應先提出公因式，再進一步分解因式.
(2)中將a+b看成一個整體，設a+b=m,則原式化為m2-12m+36.
(2)原式=(a+b)2-2·(a+b) ·6+62
=(a+b-6)2.
新知探究
利用公式把某些具有特殊形式（如平方差式，完全平方式等）的多
項式分解因式，這種分解因式的方法叫作公式法.
新知探究
因式分解：
(1)－3a2x2＋24a2x－48a2；
(2)(a2＋4)2－16a2.
針對訓練
＝(a2＋4＋4a)(a2＋4－4a)
解：(1)原式＝－3a2(x2－8x＋16)
＝－3a2(x－4)2.
(2)原式＝(a2＋4)2－(4a)2
＝(a＋2)2(a－2)2.
有公因式要先提公因式
要檢查每一個多項式的因式，看能否繼續分解
新知探究
例4 把下列完全平方公式分解因式：
(1)1002－2×100×99+99 ；
(2)342＋34×32＋162.
解：(1)原式=(100－99)
(2)原式＝(34＋16)2
本題利用完全平方公式分解因式，可以簡化計算
=1.
＝2500.
新知探究
例5 已知x2－4x＋y2－10y＋29＝0，求x2y2＋2xy＋1的值．
＝112＝121.
解：∵x2－4x＋y2－10y＋29＝0，
∴(x－2)2＋(y－5)2＝0.
∵(x－2)2≥0，(y－5)2≥0，
∴x－2＝0，y－5＝0，
∴x＝2，y＝5，
∴x2y2＋2xy＋1＝(xy＋1)2
幾個非負數的和為0，則這幾個非負數都為0
新知探究
方法總結：此類問題一般情況是通過配方將原式轉化為非負數的
和的形式，然后利用非負數性質解答問題．
課堂小結
完全平方公式分解因式
公式
a2±2ab+b2=(a±b)2
特點
（1）要求多項式有三項.
（2）其中兩項同號，且都可以寫成某數或式的平
方，另一項則是這兩數或式的乘積的2倍，
符號可正可負.
課堂小測
1.下列四個多項式中，能因式分解的是( )
A．a2＋1 B．a2－6a＋9
C．x2＋5y D．x2－5y
2.把多項式4x2y－4xy2－x3分解因式的結果是( )
A．4xy(x－y)－x3 B．－x(x－2y)2
C．x(4xy－4y2－x2) D．－x(－4xy＋4y2＋x2)
3.若m＝2n＋1，則m2－4mn＋4n2的值是________．
B
B
1
4.若關于x的多項式x2－8x＋m2是完全平方式，則m的值為___________．
±4
課堂小測
5.把下列多項式因式分解.
（1）x2－12x+36; （2）4(2a+b)2-4(2a+b)+1; （3） y2+2y+1－x2.
(2)原式=[2(2a+b)] － 2·2(2a+b)·1+(1)
=(4a+2b－1)2.
解：(1)原式 =x2－2·x·6+(6)2
=(x－6)2.
(3)原式=(y+1) －x
=(y+1+x)(y+1－x).
課堂小測
(2)原式
6.計算：( 1 )38.92－2×38.9×48.9＋48.92;
解：(1)原式＝(38.9－48.9)2
＝100.
課堂小測
7.分解因式:(1)4x2＋4x＋1；(2)
小聰和小明的解答過程如下：
他們做對了嗎？若錯誤，請你幫忙糾正過來.
x2－2x＋3.
(2)原式＝ (x2－6x＋9)＝ (x－3)2.
解:(1)原式＝(2x)2＋2 2x 1＋1＝(2x+1)2.
小聰: 小明:
×
×
課堂小測
8.(1)已知a－b＝3，求a(a－2b)＋b2的值；
(2)已知ab＝2，a＋b＝5，求a3b＋2a2b2＋ab3的值．
原式＝2×52＝50.
解：(1)原式＝a2－2ab＋b2＝(a－b)2.
當a－b＝3時，原式＝32＝9.
(2)原式＝ab(a2＋2ab＋b2)＝ab(a＋b)2.
　當ab＝2，a＋b＝5時，

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