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第13章
三角形中的邊角關系、命題與證明
八年級數學滬科版·上冊
13.1 第3課時 三角形中幾條重要線段
新課引入
定義 圖示
垂線
線段中點
角平分線
O
B
A
A
B
當兩條直線相交所成的四個角中，有一個角是直角時，就說這兩條直線互相垂直，其中一條直線叫作另一條直線的垂線
把一條線段分成兩條相等的線段的點
一條射線把一個角分成兩個相等的角，這條射線叫作這個角的平分線
新知探究
這里有一塊三角形的蛋糕，如果兄弟兩個想要平分的話，你該怎么辦呢？
新知探究
問題1 如圖，若BD是∠ABC的平分線，
你能得到什么結論？
A
D
C
B
∠ABD= ∠DBC
問題2 如圖，若BD是△ABC的角平分線，
你能得到什么結論？
A
B
C
D
想一想：三角形的角平分線與
角的角平分線相同嗎
相同點是 ∠ ABD= ∠ DBC;
不同點是前者是線段，后者是射線.
∠ABD= ∠DBC
新知探究
問題4 請畫出這個三角形的另外兩條角平分線,你發現了什么？
三條角平分線交于一點．
A
B
C
D
E
F
問題3 一個三角形有幾條角平分線？
3
新知探究
思考：觀察直角三角形、鈍角三角形的三條角平分線，你又有什么發現？
三角形的三條角平分線交于一點．
稱之為三角形的內心．（后面會學到）
新知探究
例1 如圖，DC平分∠ACB，DE∥BC,∠AED=
80°，求∠ECD的度數.
解：∵DC平分∠ACB,
又DE∥BC,
∴∠AED=∠ACB=80°.
∴∠ECD=40°.
∴∠ECD=∠BCD= ∠ACB.
新知探究
問題1 如圖，如果點C是線段AB的中點，你能得到什么結論？
A
C
B
AC=BC= AB
問題2 如圖，如果點D是線段BC的中點，那么線段AD稱為△ABC的什么呢？類比一下.
A
B
C
D
新知探究
B
C
A
三角形的中線
∵ AD是△ ABC的中線，
∴ BD = CD = BC.
在三角形中，連接一個頂點與它對邊中點的線段叫作這個三角形的中線.
D
A
新知探究
畫一畫：如圖，分別畫出銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形的三條中線，并觀察它們中線的交點有什么規律？
畫圖發現
三角形的三條中線交于三角形內部一點.這一點我們稱為三角形的重心.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
E
F
D
D
E
F
E
F
O
O
O
新知探究
例2 如圖，CD為△ABC的邊AB上的中線，△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，BC=8cm，求邊AC的長．
解：∵CD為△ABC的邊AB上的中線，
∴AD=BD，
∵△BCD的周長比△ACD的周長大3cm，
∴（BC+BD+CD）-（AC+AD+CD）=3，
∴BC-AC=3，
∵BC=8，∴AC=5．
方法總結：一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差,
新知探究
【變式題】 在△ABC中，AB=AC，DB為△ABC的中線，且BD將△ABC的周長分為12cm與15cm兩部分，求三角形各邊長．
解：如圖，∵DB為△ABC的中線，
∴AD=CD，
設AD=CD=x，則AB=2x，
當x+2x=12時，解得x=4.
BC+x=15，得BC=11.
此時△ABC的三邊長為AB=AC=8，BC=11；
當x+2x=15時，BC+x=12，解得x=5，BC=7，
此時△ABC的三邊長為AB=AC=10，BC=7．
注意分類討論
新知探究
問題1 什么是三角形的高？怎樣畫三角形的高？
定義 如圖，從△ABC的頂點A向它所對的邊BC所在直線畫垂線，垂足為D,所得線段AD叫作△ABC的邊BC上的高.
問題2 由三角形的高你能得到什么結論？
∠ADB= ∠ADC=90 °
A
B
C
D
垂足
注意:標明垂直的記號和垂足的字母.
新知探究
高的敘述方法（如圖）：有三種.
②AD⊥BC,垂足為D.
③點D在BC上，且∠BDA=∠CDA=90°.
①AD是△ABC的高.
A
B
C
D
新知探究
銳角三角形的三條高
問題1 每人畫一個銳角三角形.
(1) 你能畫出這個三角形的三條高嗎
(2) 這三條高之間有怎樣的位置關系？
O
問題2 銳角三角形的三條高是在三角形的內部還是外部
A
B
C
D
E
F
銳角三角形的三條高交于同一點.
銳角三角形的三條高都在三角形的內部.
新知探究
直角三角形的三條高
問題：在紙上畫出一個直角三角形.
A
B
C
(1)畫出直角三角形的三條高.
直角邊BC邊上的高是______;
AB
直角邊AB邊上的高是 ;
CB
(2)它們有怎樣的位置關系？
D
斜邊AC邊上的高是_______.
BD
●
直角三角形的三條高交于直角頂點.
新知探究
A
B
C
D
E
F
鈍角三角形的三條高
問題：
(1) 鈍角三角形的三條高交于一點嗎？
(2)它們所在的直線交于一點嗎？
O
鈍角三角形的三條高不相交于一點
鈍角三角形的三條高所在直線交于一點
新知探究
三角形的三條高的特性
高所在的直線是否相交
高之間是否相交
高在三角形內部的數量
鈍角三角形
直角三角形
銳角三角形
3
1
1
相交
相交
不相交
相交
相交
相交
三條高所在直線的交點的位置
三角形
內部
直角頂點
三角形
外部
歸納總結
新知探究
【方法總結】若涉及兩條高求長度，一般需結合面積(但不求出面積)，利用三角形面積的兩種不同表示方法列等式求解.
例3 如圖所示，在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，AD⊥BC于點D，且AD＝4，若點P在邊AC上移動，求BP的最小值.
解：根據垂線段最短，可知當BP⊥AC時，BP有最小值．
由△ABC的面積公式可知,
AD·BC＝ BP·AC.
代入數值，可解得BP＝ .
新知探究
問題1 如圖所示，在△ABC中，AD是△ABC的中線，AE是△ABC的高．試判斷△ABD和△ACD的面積有什么關系？為什么？
B
C
D
E
A
相等. 因為兩個三角形等底同高，所以它們面積相等.
問題2 通過問題1你能發現什么規律？
三角形的中線能將三角形的面積平分.
新知探究
例4 如圖，在△ABC中，E是BC邊上一點，EC＝2BE，點D是AC的中點，設△ABC，△ADF和△BEF的面積分別為S△ABC，S△ADF和S△BEF，且S△ABC＝12. 求S△ADF－S△BEF的值.
∵S△ABD－S△ABE＝(S△ADF＋S△ABF)－(S△ABF＋S△BEF)＝S△ADF－S△BEF，
即S△ADF－S△BEF＝S△ABD－S△ABE＝6－4＝2.
解：∵點D是AC的中點，∴AD＝ AC.
∵S△ABC＝12，∴S△ABD＝ S△ABC＝6.
∵EC＝2BE，S△ABC＝12，∴S△ABE＝ S△ABC＝4.
【方法總結】三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分；高相等時，面積的比等于底邊的比；底相等時，面積的比等于高的比．
課堂小結
三角形幾條重要線段
高
鈍角三角形兩短邊上的高的畫法
中線
會把原三角形面積平分
一邊上的中線把原三角形分成兩個三角形，這兩個三角形的周長差等于原三角形其余兩邊的差,面積相等
角平分線
注意區分角的平分線與三角形
的角平分線的區別
課堂小測
2. 如果一個三角形的三條高的交點恰是三角形的一個頂點，
那么這個三角形是（ ）
A.銳角三角形 B.直角三角形
C.鈍角三角形 D.銳角三角形
1.下列各組圖形中，哪一組圖形中AD是△ABC 的高( )
A
D
C
B
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
A
B
C
D
B
D
課堂小測
3.如圖,在△ABC中, ∠1=∠2,G為AD中點,延長BG交AC于E,F為AB上一點,CF⊥AD于H,判斷下列說法的正誤.
⌒
⌒
A
B
C
D
E
1
2
F
G
H
①AD是△ABE的角平分線( )
②BE是△ABD邊AD上的中線( )
③BE是△ABC邊AC上的中線( )
④CH是△ACD邊AD上的高( )
×
×
×
√
課堂小測
4. 如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，若△ABC的周長為35cm，BC=11cm，且△ABD與△ACD的周長之差為3cm，求AB與AC的長.
A
C
D
B
解：∵AD是△ABC的中線，
∴CD=BD.
∵△ABC的周長為35cm，BC=11cm，∴AC+AB=35-11=24（cm）.
又∵△ABD與△ACD的周長之差為3cm,
∴AB-AC=3，
∴AB=13.5cm,AC=10.5cm.
5. 如圖，在△ABC中，AD是△ABC的高，AE是△ABC的角平分線，已知∠BAC=82°，∠C=40°，求∠DAE的大小.
解： ∵ AD是△ABC的高，
∴∠ADC＝90°.
∵ ∠ADC+∠C+∠DAC=180°，
∴ ∠DAC=180°－(∠ADC+∠C)
=180°－90°－40°
=50°.
∵AE是△ABC的角平分線，且∠BAC=82°，
∴∠CAE= ∠BAC=41°，
∴∠DAE=∠DAC－∠CAE=50°－41°= 9°.
A
B
C
D
E
課堂小測

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