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第13章
三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明
八年級數(shù)學(xué)滬科版·上冊
13.2 第2課時 證明
新課引入
觀察與思考
圖中的四邊形是正方形嗎？
新知探究
a
b
考考你的眼力
線段a與線段b哪個
比較長？
a
b
c
d
誰與線段d在
一條直線上？
新知探究
a
b
a
b
c
d
檢驗(yàn)?zāi)愕慕Y(jié)論
a=b
新知探究
平行線:不敢相信圖中的橫線是平行的,不過它們就是平行線!
你覺得觀察得到的結(jié)論正確嗎？
古希臘數(shù)學(xué)家歐幾里得對數(shù)學(xué)知識作了系統(tǒng)的總結(jié)，把人們公認(rèn)的真命題作為證明的原始依據(jù)，稱這些真命題為公理.
我們把少數(shù)真命題作為基本事實(shí).
例如，兩點(diǎn)確定一條直線；兩點(diǎn)之間線段最短等.
基本事實(shí)與定理
新知探究
新知探究
人們可以用定義和基本事實(shí)作為推理的依據(jù)，去判斷其他命題的真假.
同位角相等，
兩直線平行.
內(nèi)錯角相等，兩直線平行.
同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行.
從基本事實(shí)或其他真命題出發(fā)，用推理方法判斷為正確的，并被選作判斷命題真假的依據(jù)的真命題叫作定理.
基本事實(shí)
新知探究
證實(shí)其他命
題的正確性
推 理
推理的過程叫證明
經(jīng)過證明的真命題叫定理
基本事實(shí)或公理
一些條件
+
定理證明的一般過程：
總結(jié)歸納
新知探究
費(fèi) 馬
對于所有自然數(shù)n， 的值都是質(zhì)數(shù).
當(dāng)n=0，1，2，3，4時，
= 3，5，17，257，65 537
都是質(zhì)數(shù)
歐 拉
當(dāng)n=5時，
= 4 294 967 297=
641×6 700 417
舉出反例是檢驗(yàn)錯誤數(shù)學(xué)結(jié)論的有效方法.
大數(shù)學(xué)家也有失誤
新知探究
這個故事告訴我們：
1. 學(xué)習(xí)歐拉的求實(shí)精神與嚴(yán)謹(jǐn)?shù)目茖W(xué)態(tài)度.
2.沒有嚴(yán)格的推理，僅由若干特例歸納、猜測的結(jié)論可能潛藏著錯誤，未必正確.
3.要證明一個結(jié)論是錯誤的，舉反例就是一種常用方法.
新知探究
做一做：下列命題中，哪些正確，哪些錯誤？
（1）每一個月都有31天；
（2）如果a是有理數(shù)，那么a是整數(shù);
（3）同位角相等；
（4）同角的補(bǔ)角相等.
錯誤
錯誤
錯誤
正確
你能說說你是怎么判斷的嗎？
證明與推理
新知探究
從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理（或演繹法）。演繹推理的過程，就是演繹證明.
新知探究
典例精析
證明：內(nèi)錯角相等，兩直線平行.
例1 如圖，直線c與直線a、b相交,且∠1=∠2.
求證：a∥b.
證明：∵∠1=∠2（已知），
∠1=∠3（對頂角相等），
∴∠2=∠3（等量代換），
∴a∥b（同位角相等，兩直線平行）.
3
2
1
a
b
c
符號“∵”讀作“因?yàn)椤保枴啊唷弊x作“所以”.
新知探究
證明： ∵ OE平分∠AOB，
OF平分∠BOC，
∴∠1= ∠AOB，∠2= ∠BOC.
又∵∠AOB, ∠BOC互為鄰補(bǔ)角，
∴∠AOB+∠BOC=180°,
∴∠1+∠2= (∠AOB+∠BOC)=90°,
∴OE⊥OF.
例2 如圖，∠AOB、∠BOC互為鄰補(bǔ)角，OE平分∠AOB， OF平分∠BOC.求證：OE⊥OF.
A
O
C
E
B
F
1
2
課堂小結(jié)
證明
定理：經(jīng)過證明的真命題稱為定理.
演繹推理：從已知條件出發(fā)，依據(jù)定義、基本事實(shí)、定理，并按照邏輯規(guī)則，推導(dǎo)出結(jié)論，這一方法稱為演繹推理（或演繹法）.演繹推理的過程，就是演繹證明.
1.下列結(jié)論中你能肯定的是（ ）
A.今天下雨，明天必然還下雨
B.三個連續(xù)整數(shù)的積一定能被6整除
C.小明在數(shù)學(xué)競賽中一定能獲獎
D.兩張相片看起來佷像，則肯定照的是同一個人
B
課堂小測
2.下列問題用到推理的是（ ）
A.根據(jù)a=10，b=10,得到a=b
B.觀察得到了三角形有三個角
C.老師告訴了我們關(guān)于金字塔的許多奧秘
D.由經(jīng)驗(yàn)可知過兩點(diǎn)有且只有一條直線
A
課堂小測
3.如圖，直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O，
∠AOC與∠BOD是對頂角.
求證：∠AOC =∠BOD.
證明：
∴ ∠AOB與∠COD都是平角( ),
已知
平角的定義
∴ ∠AOC＋∠AOD＝180°,
補(bǔ)角的定義
∴ ∠AOC =∠BOD ( ).
同角的補(bǔ)角相等
∵直線AB與直線CD相交于點(diǎn)O ( ),
∠BOD＋∠AOD＝180°,
( )
課堂小測
4.如圖，∠1=∠B，求證：∠2=∠C.
A
B
C
D
E
1
2
證明：∵∠1=∠B（ ）,
∴AE∥BC（ ）,
∴∠2=∠C（ ）.
已知
同位角相等，兩直線平行
兩直線平行，內(nèi)錯角相等
課堂小測

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