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(共35張PPT)
第13章
三角形中的邊角關(guān)系、命題與證明
八年級(jí)數(shù)學(xué)滬科版·上冊(cè)
13.2 第3課時(shí) 三角形內(nèi)角和定理及其推論
新課引入
我的形狀最小，那我的內(nèi)角和最小.
我的形狀最大，那我的內(nèi)角和最大.
不對(duì)，我有一個(gè)鈍角，所以我的內(nèi)角和才是最大的.
一天，三類三角形通過(guò)對(duì)自身的特點(diǎn)，講出了自己對(duì)三角形內(nèi)角和的理解，請(qǐng)同學(xué)們作為小判官給它們?cè)u(píng)判一下吧！
新知探究
思考：除了度量以外，你還有什么辦法可以驗(yàn)證三角形的內(nèi)角和為180°呢
折疊
還可以用拼接的方法，你知道怎樣操作嗎？
新知探究
三角形的三個(gè)內(nèi)角拼到一起恰好構(gòu)成一個(gè)平角.
你能用數(shù)學(xué)的方法說(shuō)明這個(gè)結(jié)論嗎？
還有其他的拼接方法嗎？
活動(dòng)：在紙上任意畫一個(gè)三角形，將它的內(nèi)角剪下拼合在一起.
三角形的內(nèi)角和的證明
新知探究
三角形三個(gè)內(nèi)角的和等于180°.
求證：∠A+∠B+∠C=180°.
已知：△ABC.
證法1：過(guò)點(diǎn)A作l∥BC，
∴∠B=∠1.
(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∠C=∠2.
(兩直線平行,內(nèi)錯(cuò)角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°，
∴∠B+∠C+∠BAC=180°.
1
2
證法2：延長(zhǎng)BC到D，過(guò)點(diǎn)C作CE∥BA，
∴ ∠A=∠1 .
(兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等)
∠B=∠2.
(兩直線平行，同位角相等)
又∵∠1+∠2+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B+∠ACB=180°.
C
B
A
E
D
1
2
新知探究
新知探究
C
B
A
E
D
F
證法3：過(guò)D作DE∥AC,作DF∥AB.
∴ ∠C=∠EDB,∠B=∠FDC.
(兩直線平行，同位角相等)
∠A+∠AED=180°,
∠AED+∠EDF=180°，
(兩直線平行，同旁內(nèi)角相補(bǔ))
∴ ∠A=∠EDF.
∵∠EDB+∠EDF+∠FDC=180°，
∴∠A+∠B+∠C=180°.
想一想：同學(xué)們還有其他的方法嗎？
新知探究
思考：多種方法證明的核心是什么？
借助平行線的“移角”的功能，將三個(gè)角轉(zhuǎn)化成一個(gè)平角.
C
A
B
1
2
3
4
5
l
A
C
B
1
2
3
4
5
l
P
6
m
A
B
C
D
E
新知探究
在這里，為了證明的需要，在原來(lái)的圖形上添畫的線叫作輔助線.在平面幾何里，輔助線通常畫成虛線.
思路總結(jié)
為了證明三角形三個(gè)角的和為180°,轉(zhuǎn)化為一個(gè)平角或同旁內(nèi)角互補(bǔ)等，這種轉(zhuǎn)化思想是數(shù)學(xué)中的常用方法.
作輔助線
新知探究
問(wèn)題1：如圖，在Rt△ABC中， ∠C=90°，兩銳角的和等于多少呢？
在Rt△ABC中，因?yàn)?∠C=90°，由三角形內(nèi)角和定理，得∠A +∠B+∠C=90°,即
∠A +∠B=90°.
思考：由此，你可以得到直角三角形有什么性質(zhì)呢？
三角形內(nèi)角和定理的推論1、2
直角三角形的兩銳角互余.
三角形內(nèi)角和推論1：
由基本事實(shí)、定理直接得出的真命題叫作推論
新知探究
A
B
C
直角三角形的兩個(gè)銳角互余．　　
應(yīng)用格式：
在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
直角三角形的表示：直角三角形可以用符號(hào)“Rt△”表示，直角三角形ABC 可以寫成Rt△ABC ．
總結(jié)歸納
新知探究
方法一（利用平行的判定和性質(zhì)）：
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性質(zhì)）：
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
例1（1）如圖 ，∠B=∠C=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A
與∠D有什么關(guān)系？
圖
新知探究
解：∠A=∠C.理由如下：
∵∠B=∠D=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠C+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠C.
（2）如圖 ，∠B=∠D=90°，AD交BC于點(diǎn)O，∠A與
∠C有什么關(guān)系？請(qǐng)說(shuō)明理由.
圖
與圖 有哪些共同點(diǎn)與不同點(diǎn)？
新知探究
例2 如圖， ∠C=∠D=90 °,AD,BC相交于點(diǎn)E. ∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？
A
B
C
D
E
解：∠CAE= ∠DBE.理由如下：
在Rt△ACE中，
∠CAE=90 °- ∠AEC.
在Rt△BDE中,
∠DBE=90 °- ∠BED.
∵ ∠AEC= ∠BED，∴ ∠CAE= ∠DBE.
新知探究
解：∵CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，
∴∠BEA=∠BDF=90°，
∴∠ABE+∠A=90°，
∠ABE+∠DFB=90°，
∴∠A=∠DFB.
∵∠DFB+∠BFC=180°，
∴∠A+∠BFC=180°.
【變式題】如圖，△ABC中，CD⊥AB于D，BE⊥AC于E，CD，BE相交于F，∠A與∠BFC又有什么關(guān)系？為什么？
新知探究
思考：通過(guò)前面的例題，你能畫出這些題型的基本
圖形嗎？
基本圖形
∠A=∠C
∠A=∠D
總結(jié)歸納
新知探究
問(wèn)題2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形嗎？
如圖，在△ABC中， ∠A +∠B=90° ， 那么△ABC
是直角三角形嗎？
在△ABC中，因?yàn)?∠A +∠B +∠C=180°， 又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°. 于是△ABC是直角三角形.
三角形內(nèi)角和推論2：
有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.
新知探究
A
B
C
應(yīng)用格式：
在△ABC 中，
∵　∠A +∠B =90°，
∴　△ABC 是直角三角形．
有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.　　
總結(jié)歸納
新知探究
典例精析
例3 如圖，∠C=90 °, ∠1= ∠2，△ADE是直角三
角形嗎？為什么？
A
C
B
D
E
(
(
1
2
解：在Rt△ABC中，
∠2+ ∠A=90 °.
∵ ∠1= ∠2,
∴∠1 + ∠A=90 °.
即△ADE是直角三角形.
新知探究
例4 如圖，CE⊥AD，垂足為E，∠A=∠C，求證：△ABD是直角三角形.
證明：△ABD是直角三角形.理由如下：
∵CE⊥AD，
∴∠CED=90°，
∴∠C+∠D=90°，
∵∠A=∠C，
∴∠A+∠D=90°，
∴△ABD是直角三角形.
新知探究
問(wèn)題3 如圖，△ABC的外角∠BCD與其不相鄰的兩內(nèi)角(∠A，∠B)有什么關(guān)系？
三角形的外角
A
C
B
D
相鄰的內(nèi)角
不相鄰的內(nèi)角
∵∠A+∠B+∠ACB=180°，∠BCD+∠ACB=180°，
∴∠A+∠B=∠BCD.
你能用作平行線的方法證明此結(jié)論嗎？
新知探究
D
證明：過(guò)C作CE平行于AB，
A
B
C
1
2
∴∠1= ∠B，
（兩直線平行，同位角相等）
∠2= ∠A ，
（兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等）
∴∠ACD= ∠1+ ∠2= ∠A+ ∠B.
E
已知：如圖，△ABC，求證：∠ACD=∠A+∠B.
驗(yàn)證結(jié)論
新知探究
如圖 ，試比較∠2 、∠1的大小；
如圖 ，試比較∠3 、∠2、 ∠1的大小.


圖
圖
解：∵∠2=∠1+∠B,
∴∠2＞∠1.
解：∵∠2=∠1+∠B,
∠3=∠2+∠D,
∴∠3＞∠2＞∠1.
拓展探究
新知探究
推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
推論4：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.
A
B
C
D
∠B+∠C=∠CAD
∠CAD > ∠B， ∠CAD > ∠C
歸納總結(jié)
三角形內(nèi)角和定理的推論
新知探究
練一練：說(shuō)出下列圖形中∠1和∠2的度數(shù)：
A
B
C
D
(
(
(
80 °
60 °
(
2
1
(1)
A
B
C
(
(
(
(
2
1
50 °
32 °
(2)
∠1=40 °, ∠2=140 °
∠1=18 °, ∠2=130 °
新知探究
例5 如圖，P為△ABC內(nèi)一點(diǎn)，∠BPC＝150°，
∠ABP＝20°，∠ACP＝30°，求∠A的度數(shù)．
解析：延長(zhǎng)BP交AC于E或連接AP并延長(zhǎng)，構(gòu)造三角形的外角，再利用外角的性質(zhì)即可求出∠A的度數(shù)．
E
新知探究
解：延長(zhǎng)BP交AC于點(diǎn)E，
則∠BPC，∠PEC分別為△PCE，△ABE的外角，
∴∠BPC＝∠PEC＋∠PCE，
∠PEC＝∠ABE＋∠A，
∴∠PEC＝∠BPC－∠PCE
＝150°－30°＝120°.
∴∠A＝∠PEC－∠ABE＝120°－20°＝100°.
新知探究
【變式題】 (一題多解)如圖，∠A=51°，∠B=20°，
∠C=30°，求∠BDC的度數(shù).
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
思路點(diǎn)撥：添加適當(dāng)?shù)妮o助線將四邊形問(wèn)題轉(zhuǎn)化為三角形問(wèn)題.
新知探究
A
B
C
D
(
(
20 °
30 °
解法一：連接AD并延長(zhǎng)于點(diǎn)E.
在△ABD中，∠1+∠ABD=∠3，
在△ACD中，∠2+∠ACD=∠4.
因?yàn)椤螧DC=∠3+∠4，∠BAC=∠1+∠2，
所以∠BDC=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
E
)
)
1
2
)
3
)
4
你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？
新知探究
A
B
C
D
(
(
(
51 °
20 °
30 °
E
)
1
解法二：延長(zhǎng)BD交AC于點(diǎn)E.
在△ABE中，∠1=∠ABE+∠BAE，
在△ECD中，∠BDC=∠1+∠ECD.
所以∠BDC
=∠BAC+∠ABD+∠ACD
=51° +20°+30°=101°.
解法三:連接延長(zhǎng)CD交AB于點(diǎn)F（解題過(guò)程同解法二）.
)
2
F
解題的關(guān)鍵是正確的構(gòu)造三角形，利用三角形外角的性質(zhì)及轉(zhuǎn)化的思想，把未知角與已知角聯(lián)系起來(lái)求解.
總結(jié)
課堂小結(jié)
三角形內(nèi)角和定理的證明及推論
三角形內(nèi)角和定理的證明
推論1：直角三角形的兩銳角互余.
推論2：有兩個(gè)角互余的三角形是直角三角形.
推論3：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和.
推論4：三角形的外角大于與它不相鄰的任何一個(gè)內(nèi)角.
1.在一個(gè)直角三角形中，有一個(gè)銳角等于40°，則另
一個(gè)銳角的度數(shù)是（　　）
A．40° B．50° C．60° D．70°
B
2.具備下列條件的△ABC中，不是直角三角形的是
（ 　　）
A．∠A+∠B=∠C
B．∠A-∠B=∠C
C．∠A：∠B：∠C=1：2：3
D．∠A=∠B=3∠C
D
課堂小測(cè)
3.如圖，AB//CD，∠A＝37°, ∠C＝63°，那么∠F
等于 （ ）
F
A
B
E
C
D
A.26°
B.63°
C.37°
D.60°
A
課堂小測(cè)
4.如圖，一張長(zhǎng)方形紙片，剪去一部分后得到一個(gè)三角形，則圖中∠1+∠2的度數(shù)是________.
90°
5.如圖，AB、CD相交于點(diǎn)O，AC⊥CD于點(diǎn)C，
若∠BOD=38°，則∠A=________.
52°
第4題圖
第5題圖
6.在△ABC中，若∠A=43°，∠B=47°，則這個(gè)三角形是____________.
直角三角形
課堂小測(cè)
A
B
C
D
E
1
2
F
G
解：∵∠1是△FBE的外角,
∴∠1=∠B+ ∠E,
同理∠2=∠A+∠D.
在△CFG中,
∠C+∠1+∠2=180 ,
∴∠A+ ∠ B+∠C+ ∠ D+∠E
= 180 .
7.如圖，求∠A+ ∠B+ ∠C+ ∠D+ ∠E的度數(shù).
課堂小測(cè)

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