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第4課時　相似三角形的判定定理3
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考點梳理
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1.定理:三邊　　　　　　的兩個三角形相似.
2.書寫:如圖,在△ABC和△A1B1C1中,
∵　　　　　　　　　,
∴△ABC∽△A1B1C1.
成比例
考點梳理
判定定理3的應用
[典例1](2023曹縣月考)如圖,已知一個等腰三角形和一條線段,以這條線段為邊畫三角形,使之與已知等腰三角形相似,則所畫三角形的腰長為　　　 　.
[變式1](2023萊西期末)如圖,網格中相似的兩個三角形是(　　)
A.①與② B.①與③
C.③與④ D.②與③
B
[變式2]如圖,AD是△ABC的高,E,F分別是AB,AC的中點.求證:△DEF
∽△ABC.
判定定理的綜合應用
(2)試判斷△ABE與△ACD是否相似,并說明理由.
[變式3](2023雁塔月考)如圖,點D在△ABC的邊AC上,添加一個條件,不能判定△ABC與△BDC相似的是(　　)
B
相似三角形的判定方法
(1)平行線法:平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交,所構成的三角形與原三角形相似;
(2)三邊法:三邊成比例的兩個三角形相似;
(3)兩邊及其夾角法:兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似;
(4)兩角法:兩角分別相等的兩個三角形相似.
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1.2　怎樣判定三角形相似
第1課時　平行線分線段成比例
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1.平行線分線段成比例定理
兩條直線被一組平行線所截,所得的對應線段　　　　　　.
2.平行線分線段成比例定理的推論
平行于三角形的一邊,并且與其他兩邊相交的直線,所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應　　　　　　.
成比例
成比例
考點梳理
平行線分線段成比例定理
[典例1](2023莘縣質檢)如圖,已知AB∥CD∥EF且AC∶CE=3∶4,BD=9,則BF的長為(　　)
A.12 B.13 C.18 D.21
D
[變式1](2023濰坊質檢)如圖,a∥b∥c,直線m,n交于點O,且分別與直線a,b,c交于點A,B,C和點D,E,F,已知OA=1,OB=2,BC=4,EF=5.
(1)求OE的長度;
(2)求DE的長度.
平行線分線段成比例定理的推論
[典例2](2023墾利期末)如圖,在△ABC中,D,E,F分別是AB,AC,BC上的點,且DE∥BC,EF∥AB,AD∶DB=2∶3,BC=20 cm,求BF的長.
解:∵DE∥BC,EF∥AB,
∴四邊形BDEF是平行四邊形,∴BF=DE.
∵AD∶DB=2∶3,∴AD∶AB=2∶5.
∵DE∥BC,∴DE∶BC=AD∶AB=2∶5,
即DE∶20=2∶5,∴DE=8 cm,
∴BF=8 cm.
故BF的長為8 cm.
[變式2]如圖,DE∥BC,EF∥CG,AD∶AB=1∶3,DE=3.
(1)求BC的長;
(2)求證:AD·AG=AF·AB.
平行線分線段成比例定理及其推論
(1)三條平行線截兩條直線,所得的對應線段成比例;
(2)平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線),所得的對應線段成比例;
(3)如果一條直線截三角形的兩邊(或兩邊的延長線)所得的對應線段成比例,那么這條直線平行于三角形的第三邊.
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第3課時　相似三角形的判定定理2
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1.定理:兩邊　　　　　　,且夾角　　　　的兩個三角形相似.
2.書寫:如圖,在△ABC和△A1B1C1中,
∵　　　　　　　　,∠A=∠A1,
∴△ABC∽△A1B1C1.
成比例
相等
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利用判定定理2分類討論
[典例1](2023泰安期末)如圖,在△ABC中,AB=12,AC=15,D為AB上一點,且AD=8,在AC上取一點E,使以A,D,E為頂點的三角形與△ABC相似,則AE等于(　　)
C
[變式1](2023鄆城期中)如圖,∠A=∠B=90°,AB=7,BC=3,AD=2,在邊AB上取點P,使得△PAD與△PBC相似,則滿足條件的點P有(　　)
A.1個 B.2個 C.3個 D.0個
C
忘記分類討論導致漏解.
判定定理2的應用
[典例2](2023單縣月考)如圖,在△ABC中,AB=AC,點E,D是底邊所在直線上的兩點,連接AE,AD.若AD2=DC·DE,求證:∠ABC=∠DAE.
[變式3](2022高密質檢)如圖,在△ABC中,BD⊥AC于點D,DE⊥AB于點E,BD·DE=BE·CD.
(1)求證:△BCD∽△BDE;
(2)若BC=10,AD=6,求AE的長.
相似三角形判定定理2的應用
(1)利用判定定理2證明兩個三角形相似時,應滿足兩邊成比例且夾角相等;
(2)判定兩個三角形相似時,要注意圖形中的公共角、公共邊等隱含條件.
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第2課時　位似圖形的坐標變化
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平面直角坐標系中的位似變換
(1)如果多邊形有一個頂點在坐標原點,有一條邊在x軸上,那么將這個多邊形的頂點坐標分別擴大(或縮小)相同的倍數,所得到的圖形與原圖形是　　　　　　,　　　　　　是它們的位似中心.
(2)在平面直角坐標系中,當圖形中各點的橫坐標與縱坐標都乘k時,變化后的圖形與原圖形是以　　　　　　為位似中心的位似圖形,并且相似比為|k|,當|k|>1時,變化后的圖形比原圖形　　　　;當0<|k|<1時,變化后的圖形比原圖形　　　　.
位似圖形
坐標原點
坐標原點
大
小
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位似圖形的坐標變化
[典例1](2023成武月考)在平面直角坐標系中,已知點A(-4,2),B(-6,
-4),以原點O為位似中心,相似比為2∶1,把△ABO放大,則點B的對應點B′的坐標是(　　)
A.(-3,-2)　 B.(-3,-2)或(3,2)
C.(-12,-8) D.(-12,-8)或(12,8)
D
B
當位似變換是以原點為位似中心,相似比為k時,求位似圖形對應點的坐標只乘k,漏乘-k,從而使求解出錯.
[變式2](2023壽光模擬)如圖,在邊長為1的小正方形組成的網格中建立平面直角坐標系,△ABC的三個頂點均在格點(網格線的交點)上.以原點O為位似中心,畫△A1B1C1,使它與△ABC的相似比為2∶1,則點B的對應點B1的坐標是　　　　　　　　 　　.
(4,2)或(-4,-2)
[典例2]如圖,在平面直角坐標系中,△ABC的頂點A在第二象限,點B的坐標為(-2,0),點C的坐標為(-1,0),以點C為位似中心,在x軸的下方作△ABC的位似圖形△A′B′C.若點A的對應點A′的坐標為(2,-3),點B的對應點B′的坐標為(1,0),則點A的坐標為(　　)
C
[變式3]如圖,在平面直角坐標系中,△ABC各頂點的坐標分別是A(4,6),B(4,2),C(10,2),△A′B′C′與△ABC關于原點O位似,點A,B,C的對應點分別為點A′,B′,C′,其中點B′的坐標是(2,1).
(1)求△A′B′C′與△ABC的相似比;
(2)請在圖中畫出△A′B′C′;
(3)若邊AC上有一點M(a,b),求在邊A′C′上與點M對應的點的坐標.
解:(2)如圖,△A′B′C′即為所求.
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第2課時　相似三角形的判定定理1
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1.定理:　　　　分別相等的兩個三角形相似.
2.書寫:如圖,∵∠A=∠A1,∠B=∠B1,
∴△ABC∽　　　　　　.
兩角
△A1B1C1
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利用判定定理1證明三角形相似
[典例1]如圖,在矩形ABCD中,E是BC的中點,DF⊥AE,垂足為F.求證△ADF∽△EAB.
證明:∵四邊形ABCD是矩形,
∴AD∥BC,∠B=90°,
∴∠DAF=∠AEB.
∵DF⊥AE,
∴∠AFD=90°=∠B,
∴△ADF∽△EAB.
[變式1](2023天橋月考)如圖,在△ABP和△CDP中,∠B=∠C=90°,點P在BC上,且∠APD=90°,求證:△ABP∽△PCD.
證明:∵∠APD=90°,∠B=90°,
∴∠BAP+∠APB=∠APB+∠CPD=90°,
∴∠BAP=∠CPD.
又∵∠B=∠C,∴△ABP∽△PCD.
相似三角形判定定理1的應用
[典例2]如圖,∠ABD=∠BCD=90°,DB平分∠ADC,過點B作BM∥CD交AD于點M,連接CM交DB于點N.求證:BD2=AD·CD.
[變式2](2023臨清質檢)如圖,在△ABC中,AB=AC,點D,E分別在邊BC,邊AB上,且∠ADE=∠B,求證:△ADC∽△DEB.
證明:∵在△ABC中,AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠EDC=∠ADE+∠ADC=∠B+∠DEB,
∠ADE=∠B,∴∠DEB=∠ADC.
在△ADC和△DEB中,
∠ADC=∠DEB,∠C=∠B,
∴△ADC∽△DEB.
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1.4　圖形的位似
第1課時　位似圖形
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1.位似圖形
對應邊　　　　　　(或　　 　　)且每對對應點所在的直線都經過
　　　　 　的兩個相似多邊形叫做位似圖形,這個點叫做位似中心.
2.位似圖形的性質
如果兩個多邊形是位似圖形,那么圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比都等于　　　　　　.
特別提醒:(1)位似圖形必須同時滿足兩個條件:兩個圖形是相似形;每對對應點所在的直線都經過同一點.
(2)位似圖形是相似形,但相似形不一定是位似圖形.
互相平行
共線
同一點
相似比
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位似圖形及其性質
∴△ACB∽△DFE,∴∠BAC=∠EDF,
∴∠OAC-∠BAC=∠ODF-∠EDF,
即∠OAB=∠ODE,∴AB∥DE.
又△ABC與△DEF的對應點所在的直線都經過同一點O,
∴△ABC與△DEF是位似圖形.
(2)求△ABC與△DEF的相似比.
[變式](2023牡丹三模)如圖,以點O為位似中心,把△ABC放大2倍得到△A′B′C′,有下列說法:
①AB∥A′B′;
②△ABC∽△A′B′C′;
③AO∶AA′=1∶2;
④點C,O,C′在同一直線上.
其中正確的是　 　　　.(填序號)
①②④
位似圖形的特征
(1)兩個圖形必須是相似形;
(2)對應點所在的直線都經過同一點;
(3)對應邊平行或在同一條直線上.
位似作圖
[典例2](2023瑞安質檢)如圖,△ABC的三個頂點都在方格紙的格點上,請按要求在方格紙內作圖.
(1)在圖①中以點O為位似中心,在△ABC同側作△ABC的位似圖形,使其各邊長為△ABC相應邊長的2倍.
①
解:(1)如圖①,△A′B′C′為所作.
①
(2)在圖②中作△DEF,使得△DEF∽△ABC,且其面積是△ABC面積的2倍.
②
解:(2)如圖②,△DEF為所作(答案不唯一).
②
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1.3　相似三角形的性質
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相似三角形的性質
(1)相似三角形對應線段的比等于　　　　 ;面積的比等于　　　 .
　.
(2)相似三角形的周長比等于　　　　　　.
特別提醒:①在應用相似三角形的性質時,前提是這兩個三角形相似;
②要注意“對應”二字,必須是對應邊上的高,對應邊上的中線,對應角的平分線.
相似比
相似比
的平方
相似比
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利用相似三角形的性質求周長或線段長
[典例1](2023東明月考)已知兩個相似三角形的一對對應邊長分別是35 cm和14 cm,且它們的周長相差60 cm,則這兩個三角形的周長分別為　　　　　 　　　.
[變式1](2023肥城期末)已知△ABC∽△DEF,AM,DN分別是△ABC,△DEF的一條中線,且AM=6 cm,AB=8 cm,DE=4 cm,則DN的長是　 　　　.
100 cm,40 cm
3 cm
忘記分類討論導致漏解.
[變式2](2023巨野一模)兩個相似三角形的相似比為2∶3,其中一個三角形的周長為12 cm,則另一個三角形的周長是　　　　　　　 　.
18 cm或8 cm
利用相似三角形的性質求面積
[典例2](2023萊州期末)已知兩個相似三角形的周長比為2∶3,若較大三角形的面積等于18 cm2,則較小三角形的面積等于(　　)
A.8 cm2 B.12 cm2
C.27 cm2 D.40.5 cm2
A
[變式3](2023坊子月考)兩個相似三角形對應邊的比是2∶3,它們的面積和為65,求較小三角形的面積.
解:∵兩個相似三角形對應邊的比是2∶3,∴這兩個三角形的面積比為4∶9.
設這兩個三角形的面積分別為4x,9x,
則有4x+9x=65,解得x=5,
∴4x=20,即較小三角形的面積為20.
(2)若S△DCE=2,求△ABC的面積.
相似三角形的性質
(1)相似三角形的對應角相等,對應邊的比相等;
(2)相似三角形周長的比等于相似比,相似三角形的對應線段(對應中線、對應角平分線、對應邊上的高)的比也等于相似比;
(3)相似三角形面積的比等于相似比的平方.
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第5課時　相似三角形的實際應用
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利用相似三角形測量物體的高度
(1)我們可以把太陽光線近似看成平行線,借助太陽光線下的影子測量旗桿的高度,基本思路是利用太陽光是平行光線以及　　　、　　 　.
與　　　　垂直構造相似三角形,通過相似三角形對應邊成比例列式計算.
(2)利用鏡子反射測量旗桿的高度,思路是根據反射角等于入射角,通過　　　　、　　　　與　　　　垂直構造相似三角形,根據相似三角形對應邊成比例列式計算.
人
旗桿
地面
人
旗桿
地面
(3)借助標桿測量旗桿的高度,思路是從人眼所在的位置向旗桿作垂
線,通過　　　　、　　　　、　　　　與　　　　垂直構造相似三角形,利用相似三角形對應邊成比例列式計算.
人
標桿
旗桿
地面
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測物體的高度
[典例1](2023莘縣期中)如圖,小明站在C處看甲、乙兩樓樓頂上的點A和點E.C,E,A三點在同一直線上,B,C相距20米,D,C相距40米,乙樓的高BE為15米,小明的身高忽略不計,則甲樓的高AD為(　　)
A.40米 B.20米 C.15米 D.30米
D
[變式1]小益利用標桿EF測量旗桿AB的高度,示意圖如圖,已知小益的身高CD=1.6 m,標桿EF=2.4 m,DF=1 m,BF=9 m,則旗桿AB的高度是
　　　　m.
9.6　
[典例2](2023寒亭期末)如圖是某數學興趣小組用手電筒來測量某古城墻高度的示意圖,在點P處放一水平的平面鏡,光線從點A出發經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處,CD⊥BD,且測得AB=4 m,BP=
6 m,PD=12 m,那么該古城墻CD的高度是(　　)
A.8 m B.9 m C.16 m D.18 m
A
[變式2]如圖,身高1.5米的人站在兩棵樹之間,距較高的樹5米,距較矮的樹3米,若此人觀察的樹梢所成的視線的夾角是90°,
且較矮的樹高4米,那么較高的樹有多少米
利用相似三角形測物體高度的步驟
(1)以桿(或直尺)為三角形的邊,構建相似三角形.
(2)利用相似三角形對應邊的比相等的性質求物體的高度.
測物體的寬度
[典例3](2023臨清模擬)為了測量河的寬度,我們可以在河對岸選定一個目標點P,在近岸取點Q和S,使點P,Q,S共線且直線PS與河岸垂直,然后在過點S且與PS垂直的直線a上選擇適當的點T,確定PT與過點Q且垂直于PS的直線b的交點R.已測得QS=45 m,ST=90 m,QR=60 m,則河寬PQ=
　　　　m.
90
[變式3](2023牡丹期末)為了測量河寬AB,某同學采用以下方法:如圖,放一根標尺CD,使CD∥AB,并使點B,D,O和點A,C,O分別在同一條直線
上,量得CD=10米,OC=15米,OA=45米,則河寬AB=　　　　米.
30
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1.1　相似多邊形
第1章　圖形的相似
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1.相似形
　　　　 　　的平面圖形叫做相似形.
特別提醒:兩個全等形也是相似形,但兩個相似形未必是全等形.
2.相似多邊形
(1)兩個　　　　　　的多邊形,如果一個多邊形的各個角與另一個多邊形的各個角對應　　　　,各邊對應　　　　　　,那么這兩個多邊形叫做相似多邊形.兩個多邊形相似用符號“　　　　”表示,讀作“　　　　　　”.
形狀相同
邊數相同
相等
成比例
∽
相似于
(2)相似多邊形　　　　　　的比叫做相似比.
(3)當兩個多邊形全等時,其相似比為　　　　;反之,如果兩個相似多邊形的相似比為　　　　,那么這兩個多邊形全等.
對應邊
1
1
考點梳理
相似形的判定
[典例1](2023鄆城期中)如圖,有一塊長3 m、寬1.5 m的矩形黑板ABCD,鑲在其外圍的木質邊框寬7.5 cm,那么矩形ABCD與矩形A′B′C′D′相似嗎 為什么
相似多邊形的判定
(1)多邊形的邊數相同;
(2)多邊形的對應角相等;
(3)多邊形的對應邊成比例.
相似多邊形的性質
[典例2](2023諸城月考)如圖,四邊形ABCD和四邊形EFGH相似,求角α, β的大小和x的值.
解:∵四邊形ABCD與四邊形EFGH相似,
∴α=∠C=83°,∠F=∠B=78°,EH∶AD=EF∶AB,
∴x∶21=24∶18,解得x=28.
在四邊形EFGH中,β=360°-83°-78°-118°=81°.故α=83°,β= 81°,x=28.
[變式1]如圖是兩片形狀相同的楓葉圖案,則x的值為　　　　.
11
忽視相似多邊形的對應關系,導致計算出錯.
[變式2]兩個相似多邊形的最大邊長分別是10 cm和20 cm,如果其中
一個多邊形的最短邊長為6 cm,那么另一個多邊形的最短邊長為
　　 　　cm.
12或3
謝謝觀賞！

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