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2.5　解直角三角形的應用
第1課時　仰角、俯角問題
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考點梳理
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仰角、俯角
(1)如圖,在實際測量中,從低處觀測高處的目標時,視線與水平線所成的銳角叫做　　　　;從高處觀測低處的目標時,視線與水平線所成的銳角叫做　　　　.如圖,∠1為仰角,∠2為俯角.
仰角
俯角
(2)無論是仰角還是俯角,它們都是　 　 與觀察者眼睛所在　 　 　.
的夾角.
特別提醒:在實際問題中,遇到仰角或俯角時,通常要將仰角或俯角放在直角三角形或轉化到直角三角形中,注意先確定水平線.
視線
水平線
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仰角、俯角問題
[典例]烽燧即烽火臺,是古代軍情報警的一種措施,某數學興趣小組利用無人機測量一烽燧的高度,示意圖如圖,無人機飛至距地面高度
31.5 m的A處,測得烽燧BC的頂部C處的俯角為50°,測得烽燧BC的底部B處的俯角為65°,試根據提供的數據計算烽燧BC的高度.
(結果保留整數.參考數據:sin 50°≈0.8,cos 50°≈0.6,tan 50° ≈1.2,sin 65°≈0.9,cos 65°≈0.4,tan 65°≈2.1)
[變式1](2022南通)如圖,B為地面上一點,測得B到樹底部C的距離為
10 m,在B處放置1 m高的測角儀BD,測得樹頂A的仰角為60°,則樹高AC為　　　 　m.(結果保留根號)
①③④　
當圖形中沒有直角三角形時,不會通過作高或垂線構造直角三角形,從而出錯.
[變式3]如圖,從熱氣球C處測得地面A,B兩點的俯角分別為30°,45°,如果此時熱氣球C處的高度為200 m,點A,B,C在同一平面上,則A,B兩點間的距離是　　　　　　m(結果保留根號).
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2.3　用計算器求銳角三角比
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1.用計算器求銳角三角比
度
=
2.根據三角比的值,用計算器求銳角
啟動開機鍵后,在角的度量單位為“　　　　”的狀態下,先按副功能鍵“　　 　”和相應三角比的名稱鍵,再輸入三角比的值,按“　　”鍵后,屏幕上就可以顯示以度為單位的銳角.
特別提醒:不同的計算器,操作步驟有所不同.
度
2ndF
=
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求三角比或銳角的按鍵順序
C
D
利用計算器進行計算
1.44
解:(1)sin 47°≈0.731 4.
(2)sin 12°30′≈0.216 4.
(3)tan 44°59′59″≈1.000 0.
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2.4　解直角三角形
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1.直角三角形的邊角關系
在Rt△ABC中, ∠C=90°,∠A,∠B,∠C所對的邊分別為a,b,c 邊 a2+b2=c2
角 ∠A+∠B=　　　
邊與角
90°
2.解直角三角形
(1)由直角三角形中　　　　　　求出　　　　　　的過程,叫做解直角三角形.
(2)在直角三角形中,除直角以外,已知　　　　個元素(至少1個是
　　　　),可以求出其他元素.
特別提醒:在解直角三角形的過程中,選擇關系式常遵循以下原則:
一是盡量選可以直接應用原始數據的關系式;
二是設法選擇便于計算的關系式,若能用乘法計算,則避免用除法計算.
已知的元素
未知元素
2
邊
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解直角三角形
A
解直角三角形
(1)在直角三角形中,由已知元素求未知元素的過程叫做解直角三角形.
(2)解直角三角形要用到的關系:
①銳角、直角之間的關系;
②三邊之間的關系;
③邊、角之間的關系.
解非直角三角形
[典例2](2023周村月考)如圖,在△ABC中,∠A=30°,∠ACB=105°,AC= 4,求AB的長.
2或4
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第2課時　方向角問題
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方向角
(1)指北或指南的方向線與目標方向線所形成的銳角叫做　　　　 .
(2)如圖,點A關于點O的方向角為　　　　偏東　　　　,點B關于點O的方向角為　　　　偏西　　　　.
方向角
北
60°
南
75°
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方向角問題
34
[變式1](2023東昌府模擬)如圖,一艘輪船位于燈塔P的南偏東60°方向,距離燈塔50海里的A處,它沿正北方向航行一段時間后,到達位于燈塔P的北偏東45°方向上的B處,此時B處與燈塔P的距離為　　　　海里.(結果保留根號)
(1)求行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數;
解:(1)由題意,得∠NAC=80°,∠BAS=25°,
∴∠CAB=180°-∠NAC-∠BAS=75°,
∴∠ACB=180°-∠CAB-∠ABC=60°,
∴行進路線BC和CA所在直線的夾角∠BCA的度數為60°.
(2)求檢查點B和C之間的距離(結果保留根號).
方向角問題
(1)在辨別方向角問題中,一般是以第一個方向為始邊向另一個方向旋轉相應度數.
(2)在解決有關方向角的問題中,一般要根據題意理清圖形中各角的關系,有時所給的方向角不在直角三角形中,需要用到“兩直線平行,內錯角相等”等知識轉化為所需要的角.
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2.2　30°,45°,60°角的三角比
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30°,45°,60°角的三角比
三角比 銳角α
30° 45° 60°
sin α 　　　 　　　 　　　
cos α 　　　 　　　 　　　
tan α 　　　 　　　 　　　
1
特別提醒:(1)當α為銳角時,正弦值sin α、正切值tan α隨α的增大而增大,余弦值cos α隨α的增大而減小.
(2)當∠A,∠B都是銳角時,若sin A=sin B或cos A=cos B或tan A=
tan B,則∠A=∠B.
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特殊角的三角比
[典例1]在△ABC中,∠A=105°,∠C=45°,則cos B的值為(　　)
B
A
利用特殊角的三角比求角
D
熟記特殊角的三角比的方法
(1)按值的變化規律去記,正弦逐漸增大,余弦逐漸減小,正切逐漸
增大;
(2)按特殊直角三角形中各邊的特殊值去記.
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2.1　銳角三角比
第2章　解直角三角形
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銳角三角比
(1)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°.
(2)銳角A的　　　　、　　　　、　　　　統稱銳角A的三角比.
特別提醒:∠A的正弦、余弦、正切實際上都是比值,沒有單位,它們只與∠A的大小有關,即隨∠A的大小的變化而變化,與三角形的邊長無關.
正弦
余弦
正切
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求銳角三角比
[典例1](2023聊城質檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,D為AC上的一
點,CD=3,AD=BD=5.求∠A的正弦、余弦和正切的值.
[變式1](2023諸城質檢)在Rt△ABC中,∠C=90°,AC=4,BC=2,則cos A的值是(　　)
A
銳角三角比的定義
在Rt△ABC中,∠C=90°.
(1)正弦:銳角A的對邊a與斜邊c的比叫做∠A的正弦,記作sin A.
(2)余弦:銳角A的鄰邊b與斜邊c的比叫做∠A的余弦,記作cos A.
(3)正切:銳角A的對邊a與鄰邊b的比叫做∠A的正切,記作tan A.
利用銳角三角比求邊
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第3課時　坡度、坡角問題
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坡度與坡角
如圖:
(1)坡面的鉛直高度h和水平寬度l的比叫做　　　　(或坡比),一般用i表示,即i=　　　　.表示坡度時,通常寫成i=1∶m的形式,如i=1∶5.
坡度
h∶l
(2)坡面與水平面的夾角α叫做　　　　.
(3)坡度i與坡角α之間的關系為i=　 　　　.
特別提醒:(1)坡度的結果不是一個度數,而是一個比值,不要與坡角
混淆.
(2)坡度越大,坡角越大,坡面越陡;反之,坡度越小,坡角越小,坡面
越緩.
坡角
tan α
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坡度、坡角問題
①　 ②
(1)求∠ACB的度數;
解:(1)∵山坡Ⅱ的坡度i=1∶1,
∴CN=BN,∴∠BCN=45°,
∴∠ACB=180°-30°-45°=105°.
(2)求在此過程中該登山運動愛好者走過的路程.
解直角三角形的其他應用
[典例2](2023達州)蓮花湖濕地公園是當地人民喜愛的休閑景區之一,里面的秋千深受孩子們喜愛.示意圖如圖,秋千鏈子的長度為3 m,當擺角∠BOC恰為26°時,座板離地面的高度BM為0.9 m,當擺動至最高位置時,擺角∠AOC為50°,求座板距地面的最大高度.(結果精確到0.1 m;參考數據:sin 26°≈0.44,cos 26°≈0.9,tan 26°≈0.49,
sin 50°≈0.77,cos 50°≈0.64,tan 50°≈1.2)
解:如圖,過B作BT⊥ON于T,過A作AK⊥ON于K,作AD⊥MN于D.
在Rt△OBT中,OT=OBcos 26°≈3×0.9=2.7(m).
∵∠BMN=∠MNT=∠BTN=90°,∴四邊形BMNT是矩形,
∴TN=BM=0.9 m,∴ON=OT+TN≈3.6 m.
∵在Rt△AOK中,OK=OAcos 50°≈3×0.64=1.92(m),
∴KN=ON-OK≈3.6-1.92≈1.7(m).
易知四邊形ADNK為矩形,∴AD=KN≈1.7 m.∴座板距地面的最大高度約為1.7 m.
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