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第2課時　圓周角定理的推論2,3
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1.推論2:同弧或等弧上的圓周角　　　　;在同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧　　　　.
特別提醒:推論2中“相等的圓周角所對的弧相等”前提條件是“在同圓或等圓中”,缺少這個條件,結論不一定成立.
2.推論3:直徑所對的圓周角是　　　　;90°的圓周角所對的弦是
　　　　.
相等
直角
直徑
相等
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圓周角定理的推論2
(2)四邊形BCDE為菱形.
[變式1]如圖,CD⊥AB于點E,若∠B=60°,則∠A的度數為(　　)
A.20° B.30°
C.40° D.60°
B
圓周角定理的推論3
[典例2](2023莘縣質檢)如圖,已知☉O的直徑BC為10,點A、點B、點C在☉O上,∠CAB的平分線交☉O于點D.
(1)求∠CBD的度數;
(2)若AB=6,求AC,BD,CD的長.
[變式2]如圖,A,D是☉O上的兩個點,BC是直徑,若∠D=40°,則∠OAC=
　 　度.
50
直徑與圓周角關系的解題技巧
(1)見到直徑想直角;
(2)圓中直角對直徑;
(3)在解題中注意與勾股定理、銳角三角函數等知識的綜合應用.
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第3課時　弧的度數
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圓心角與弧
(1)整個圓的　　　　叫做1°的弧.因此,1°的圓心角所對的弧是
　　　　的弧;反之,1°的弧所對的圓心角是　　　　的角.一般情況下,n°的圓心角所對的弧是　　　　的弧;反之,n°的弧所對的圓心角是　　　　的角.
(2)圓心角的度數與它所對弧的度數　　　　.
特別提醒:圓心角的度數與它所對弧的度數相等,不能說成圓心角與它所對的弧相等.
1°
1°
n°
n°
相等
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求圓心角和弧的度數
C
[變式1](2024高密模擬)如圖,在△ABC中,AB=AC,∠A=40°,以點B為圓心,BC長為半徑的圓交AB于點D,交AC于點E,求弧DE的度數.
圓心角的度數與弧的度數之間的轉化
(1)根據已知條件求出弧的度數,可得圓心角的度數;
(2)根據已知條件求出圓心角的度數,可得弧的度數.
圓心角、弧度數關系的應用
[典例2](2023巨野模擬)圓的一條弦把圓分為度數比為1∶3的兩條弧,則弦心距與弦長的比為(　　)
A.1∶3 B.2∶3 C.1∶4 D.1∶2
D
51°
[變式3](2023臨清質檢)已知☉O的直徑是4,☉O上兩點B,C分☉O所得的劣弧與優弧的度數之比為1∶3,則弦BC的長為　　　　.
解:(1)50°
(2)若OB=3,OA=4,求BC的長.
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3.5　三角形的內切圓
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1.三角形的內切圓
與三角形各邊都　　　　的圓叫做三角形的內切圓,內切圓的圓心叫做三角形的　　　　,這個三角形叫做圓的　　　　三角形.三角形的內心是三角形的三條　　 　　的交點,它到三角形各邊的距離
　　　.任何一個三角形都有且只有　　個內心,三角形的內心在三角形的　　部.
相切
內心
外切
角平分線
相等
一
內
2.三角形內切圓的半徑
(1)已知△ABC的三邊為a,b,c,它的面積為S,則它的內切圓的半徑r=
　　　　.
(2)已知Rt△ABC的直角邊為a,b,斜邊為c,則它的內切圓的半徑r=
　　　　.
特別提醒:一個三角形有且只有一個內切圓,而一個圓有無數多個外切三角形.
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利用三角形的內切圓求線段長
[典例1](2023東昌府質檢)如圖,在Rt△ABC中,∠C=90°,BC=8,AC=6,則△ABC內切圓的半徑為　　　　.
2
C
[變式2](2023肥城一模)如圖,△ABC的內切圓☉O與BC,CA,AB分別相切于點D,E,F.已知△ABC的周長為36,AB=9,BC=14,則AF的長為(　　)
A.4 B.5
C.9 D.13
A
三角形的內切圓與內心
(1)三角形的內切圓是與三角形各邊都相切的圓.三角形的內切圓的圓心叫做三角形的內心,這個三角形叫做圓的外切三角形.三角形的內心就是三角形三條內角平分線的交點.
(2)任何一個三角形有且僅有一個內切圓,而任一個圓都有無數個外切三角形.
(3)三角形的內心到三角形三邊的距離相等;三角形的內心與三角形頂點的連線平分這個內角.
利用三角形的內切圓求角
[典例2](2023萊州一模)如圖,點I是△ABC的內心,若∠I=116°,則∠A等于(　　)
A.50° B.52°
C.54° D.56°
B
[變式3](2023鄄城月考)如圖,圓O是△ABC的內切圓,若∠ABC=60°, ∠ACB=50°,則∠BOC的度數為　　　　.
125°
不能靈活運用“三角形的內心是三角形三條角平分線的交點”這一知識而出錯.
[變式4]如圖,點D是△ABC的內心,AD的延長線和△ABC的外接圓相交于點E,連接BE,CE,且∠BAC=50°.
(1)∠BEC的度數為　　　　;
(2)∠BCE的度數為　　　　.
130°
25°
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3.4　直線與圓的位置關系
第1課時　直線與圓的位置關系
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直線與圓的位置關系
位置關系 相交 相切 相離
圖示
公共點的個數 　　 　　 　　
圓心到直線的距離d與半徑r的關系 d　　　r d　　　r d　　　r
2
1
0
<
=
>
我們可以用直線與圓的公共點的個數來判定直線與圓的位置關系,也可以用圓心到直線的距離(通常用d表示)與圓的半徑(r)的大小關系來判斷直線與圓的位置關系.
公共點名稱 交點 　　　 —
直線名稱 割線 　　　 —
切點
切線
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確定直線與圓的位置關系
[變式1](2023鄄城質檢)已知同一平面內有☉O和點A與點B,如果☉O的半徑為6 cm,線段OA=10 cm,線段OB=6 cm,那么直線AB與☉O的位置關系為(　　)
A.相離 B.相交
C.相切 D.相交或相切
D
A
直線與圓的位置關系
(1)依據公共點的個數判定
①相離:一條直線和圓沒有公共點.
②相切:一條直線和圓只有一個公共點,叫做這條直線和圓相切,這條直線叫做圓的切線,唯一的公共點叫做切點.
③相交:一條直線和圓有兩個公共點,此時叫做這條直線和圓相交,這條直線叫做圓的割線.
(2)依據☉O的半徑r和圓心O到直線l的距離d判定
①直線l和☉O相交 d②直線l和☉O相切 d=r;
③直線l和☉O相離 d>r.
根據位置關系確定半徑或圓心到直線的距離
[典例2](2023鄆城期末)☉O的半徑為5,若直線l與該圓相交,則圓心O到直線l的距離可能是(　　)
A.3 B.5 C.6 D.10
[變式3](2024曹縣質檢)如圖,已知∠ACB=30°,CM=2,AM=5,以點M為圓心,r為半徑作☉M,當☉M與線段AC有公共點時,r的取值范圍是
　 　.
考慮問題不全導致漏解.
A
1≤r≤5
[變式4](2023莘縣質檢)在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=6,BC=8,若以點C為圓心,r為半徑的圓與邊AB所在直線相離,則r的取值范圍為
　　 ;若☉C與AB邊只有一個公共點,則r的取值范圍為
　　　　　　 　　.
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第3課時　圓內接四邊形的性質
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1.圓內接多邊形
所有頂點都在　 　　　的多邊形叫做圓內接多邊形,這個圓叫做這個多邊形的　　　　圓.
2.圓內接四邊形的性質(圓周角定理的推論4)
圓內接四邊形的對角　　　　.
外接
互補
同一個圓上
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圓內接四邊形的性質
(2)若☉O的半徑為3,求BC的長.
解:(2)連接OB,OC(圖略).
∵∠BDC=30°,∴∠BOC=60°.
∵OC=OB,∴△OBC是等邊三角形,
∴BC=OB=3.
[變式1](2022宜昌)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,連接OB,OD,BD,若∠C=110°,則∠OBD的度數為(　　)
A.15° B.20° C.25° D.30°
B
[變式2](2023曹縣質檢)如圖,點A,B,C,D在☉O上,∠D=60°,AB=AC,則∠ABC等于(　　)
A.15° B.30° C.45° D.60°
B
[變式3](2022錦州)如圖,四邊形ABCD內接于☉O,AB為☉O的直徑, ∠ADC=130°,連接AC,則∠BAC的度數為　　　　.
40°
[變式4](2023冠縣月考)如圖,圓內接四邊形ABCD中兩組對邊的延長線分別相交于點E,F,且∠A=55°,∠E=30°,求∠F的度數.
解:∵∠A=55°,∠E=30°,
∴∠ABE=180°-∠A-∠E=95°.
∵四邊形ABCD為圓內接四邊形,
∴∠BCD=180°-∠A=125°,
∴∠BCF=180°-∠BCD=55°,
∴∠F=∠ABE-∠BCF=95°-55°=40°.
圓內接四邊形的性質
(1)圓內接四邊形的對角互補;
(2)圓內接四邊形的任意一個外角等于它的內對角.
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第3課時　切線的性質
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切線的性質定理
(1)內容:圓的切線　　　　于經過切點的半徑.
(2)符號語言:
如圖,∵直線l是☉O的切線,A為切點,
∴OA⊥l.
特別提醒:(1)圓的切線和圓有且只有一個公共點;
(2)圓心到切線的距離等于圓的半徑.
垂直
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切線的性質
[典例1](2023歷下三模)如圖,AB為☉O的直徑,PQ切☉O于點E,AC⊥PQ于點C,交☉O于點D.求證:AE平分∠BAC.
證明:如圖,連接OE.
∵OA=OE,
∴∠OEA=∠OAE.
∵PQ切☉O于點E,
∴OE⊥PQ.
∵AC⊥PQ,∴OE∥AC,
∴∠OEA=∠EAC,
∴∠OAE=∠EAC,∴AE平分∠BAC.
[變式1]如圖,AB是☉O的直徑,點D在☉O上,過點D作☉O的切線DC交AB的延長線于點C.若BC=4,CD=8,則☉O的半徑為(　　)
A.5 B.6
C.8 D.9
B
[變式2]如圖,在平面直角坐標系中,☉M與x軸相切于點A,與y軸交于點B,C.若圓心M的坐標是(4,5),則弦BC的長度為(　　)
A.3 B.4
C.5 D.6
D
切線的性質
(1)圓的切線垂直于經過切點的半徑;
(2)經過圓心且垂直于切線的直線必經過切點;
(3)經過切點且垂直于切線的直線必經過圓心.
切線的判定與性質
[典例2](2023本溪)如圖,AB是☉O的直徑,點C,E在☉O上,∠CAB= 2∠EAB,點F在線段AB的延長線上,且∠AFE=∠ABC.
(1)求證:EF與☉O相切;
(1)證明:如圖,連接OE.
∵OA=OE,∴∠OAE=∠OEA,
∴∠FOE=∠OAE+∠OEA=2∠OAE.
∵∠CAB=2∠EAB,
∴∠CAB=∠FOE.
又∵∠AFE=∠ABC,
∴∠CAB+∠ABC=∠FOE+∠OFE.
∵AB是☉O的直徑,∴∠ACB=90°,
∴∠CAB+∠ABC=90°=∠FOE+∠OFE,
∴∠OEF=90°,即OE⊥EF.
又∵OE是☉O的半徑,
∴EF與☉O相切.
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第4課時　切線長定理
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切線長
(1)定義:經過圓外一點可以畫圓的　　條切線,這點與其中一個　 　.
的線段的長,叫做這點到圓的切線長.
(2)定理:過圓外一點所畫的圓的兩條切線長　　　　.
兩
切點
相等
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利用切線長定理求角
[典例1](2023臨清質檢)如圖,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點,∠OAB= 38°,則∠P=　　　　.
76°
[變式1](2024濰坊模擬)如圖,直線AB,BC,CD分別與☉O相切于點E,F, G,且AB∥CD,則∠BOC=　　　　度.
90
不能靈活運用切線長定理、等腰三角形的性質等知識求解而出錯.
[變式2](2023鄆城質檢)如圖,PA,PB是☉O的切線,A,B為切點,AC是☉O的直徑,∠BAC=20°,求∠P的度數.
解:根據切線的性質,得∠PAC=90°,
∴∠PAB=90°-∠BAC=90°-20°=70°.
根據切線長定理,得PA=PB,
∴∠PAB=∠PBA=70°,
∴∠P=180°-70°×2=40°.
利用切線長定理求線段長
[典例2](2023坊子質檢)如圖,AB,AC,BD是☉O的切線,切點分別為P,C, D,若AB=4,AC=3,則BD的長是(　　)
A.2.5 B.2
C.1.5 D.1
D
[變式3](2023莘縣期末)如圖,P為☉O外一點,PA,PB分別切☉O于點A, B,CD切☉O于點E,分別交PA,PB于點C,D,若PA=8,則△PCD的周長為(　)
A.8 B.12
C.16 D.20
C
[變式4](2024曹縣質檢)如圖,AB為☉O的直徑,點C在AB的延長線上, CD,ZCE分別與☉O相切于點D,E,若AD=2,∠DAC=∠DCA,則CE的長為　 .
2
[變式5](2024聊城質檢)如圖,以正方形ABCD的AB邊為直徑作半圓O,過點C作直線切半圓于點F,交AD邊于點E,若△CDE的周長為12,則直角梯形ABCE的周長為　　　　.
14
切線長定理的注意事項及隱含結論
(1)注意事項:切線和切線長是兩個不同的概念,切線是直線,不能度量;切線長是線段的長,這條線段的兩個端點分別是圓外一點和切點,可以度量.
(2)切線長定理包含兩個結論:①線段相等(兩條切線長相等);②角相等(圓外一點與圓心的連線平分過該點的兩切線的夾角).
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第2課時　切線的判定
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切線的判定
(1)定義法:和圓有　　　　公共點的直線是圓的切線.
(2)圓心到直線的距離等于　　　　,這條直線是圓的切線.
(3)過　　　　的外端并且　　　 　半徑的直線是圓的切線.
唯一
半徑
半徑
垂直于
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切線的判定
[典例](2023巴中改編)如圖,已知等腰三角形ABC,AB=AC,以AB為直徑作☉O交BC于點D,過點D作DF⊥AC于點E,交BA的延長線于點F.求證:DF是☉O的切線.
證明:如圖,連接OD.
∵AB=AC,∴∠B=∠C.
∵OB=OD,∴∠B=∠ODB,
∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD.
∵DF⊥AC,∴OD⊥DF.
∵OD是☉O的半徑,
∴DF是☉O的切線.
[變式1](2023肥城期末)如圖,在平面直角坐標系中,半徑為2的圓P的圓心P的坐標為(-3,0),將圓P沿x軸的正方向平移,使得圓P與y軸相切,則平移的距離為(　　)
A.1 B.3 C.5 D.1或5
D
[變式2](2023臨清一模)如圖,已知∠AOB=30°,M為OB邊上任意一點,以M為圓心,2 cm為半徑作☉M,當OM=　　　　cm時,☉M與OA相切.
4
[變式3](2023荊州節選)如圖,在菱形ABCD中,DH⊥AB于點H,以DH為直徑的☉O分別交AD,BD于點E,F,連接EF.
求證:CD是☉O的切線.
證明:∵四邊形ABCD是菱形,
∴AB∥CD.
∵DH⊥AB,∴∠CDH=∠DHA=90°,
∴CD⊥OD.
∵D為☉O的半徑的外端點,
∴CD是☉O的切線.
應用切線判定定理時的兩點注意
(1)切線必須滿足兩個條件
①經過半徑的外端;
②垂直于這條半徑.
(2)在判定一條直線為圓的切線時,有兩種作輔助線的方法,分別為“無交點,作垂線段,證半徑”,“有交點,作半徑,證垂直”.
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3.6　弧長及扇形面積的計算
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有關弧長的計算
150°
[變式2](2023郴州)如圖,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=3 cm,∠B= 60°.將△ABC繞點A逆時針旋轉,得到△AB′C′,若點B的對應點B′恰好落在線段BC上,則點C的運動路徑長是　　　　cm.(結果用含π的式子表示)
(2)在弧長的計算公式中,n是表示1°的圓心角的倍數,n和180都不帶單位;
(3)在弧長的計算公式中,已知l,n,R中的任意兩個,可求第三個.
有關扇形面積的計算
[典例2](2023新泰期中)如圖,一個半徑是2 cm的圓,在其中畫一個圓心角為120°的扇形,這個扇形的面積為　　　　cm2.
[變式3](2023諸城一模)如圖,圓心重合的兩個圓的半徑分別為4,2, ∠AOB=120°,則陰影部分的面積為(　　)
C
不能將陰影部分靈活轉化進行求解.
[變式5]如圖,在Rt△ABC中,∠B=90°,AD平分∠BAC交BC于點D,點E是斜邊AC上一點,以AE為直徑的☉O經過點D,交AB于點F,連接DF.
(1)求證:BC是☉O的切線;
(1)證明:連接OD(圖略).
∵OA=OD,∴∠OAD=∠ODA.
∵AD平分∠BAC,∴∠OAD=∠BAD,
∴∠ODA=∠BAD,∴OD∥AB,
∴∠ODC=∠B=90°,∴半徑OD⊥BC,
∴BC是☉O的切線.
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3.7　正多邊形與圓
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1.正多邊形的性質
(1)正多邊形都是　　　　圖形,一個正n邊形有 　　條對稱軸.
(2)正多邊形的各條對稱軸相交于一點,這點到正多邊形的各個頂點的距離　　　　,到各邊的距離　　　　.
(3)任何正多邊形都有一個　 　　和一個　　 　,這兩個圓是
　　　　,圓心是各　　　　的交點.
軸對稱
n
相等
相等
外接圓
內切圓
同心圓
對稱軸
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2.正多邊形的相關概念
(1)正多邊形的　　　　圓和　　　　圓的公共圓心叫做正多邊形的中心,　　　　圓的半徑叫做正多邊形的半徑,　　　　圓的半徑叫做正多邊形的邊心距.
外接
內切
外接
內切
外接圓
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正多邊形的性質及計算
B
D
[變式2](2023濰坊模擬)正五邊形ABCDE和正三角形EFG按如圖的位置擺放,其中點A,B,F在同一直線上,EG∥BF,則∠DEG的度數是　　　　.
144°
[變式3](2023河北)將三個相同的六邊形螺母并排擺放在桌面上,其俯視圖如圖①,正六邊形邊長為2且各有一個頂點在直線l上,兩側螺母不動,把中間螺母抽出并重新擺放后,其俯視圖如圖②,中間正六邊形的一邊與直線l平行,有兩邊分別經過兩側正六邊形的一個頂點.則圖②中:
(1)∠α=　　　　度;
(2)中間正六邊形的中心到直線l的距離為　　　　.(結果保留根號)
30
[變式4](2023牡丹質檢)如圖,正方形ABCD是半徑為R的☉O的內接四邊形,R=6.求正方形ABCD的邊長和邊心距.
正多邊形與圓
(1)正多邊形與圓的關系:把一個圓分成n(n是大于2的自然數)等份,依次連接各分點所得的多邊形是這個圓的內接正多邊形,這個圓叫做這個正多邊形的外接圓.
(2)正多邊形的有關概念
①中心:正多邊形的外接圓的圓心叫做正多邊形的中心.②正多邊形的半徑:外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.③中心角:正多邊形每一邊所對的圓心角叫做正多邊形的中心角.④邊心距:中心到正多邊形的一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
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3.3　圓周角
第1課時　圓周角定理及推論1
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1.圓周角
頂點在　　　　,并且它的兩邊在圓內的部分是圓的兩條　　　　,像這樣的角叫做圓周角.
2.圓周角定理及推論1
(1)圓周角定理
圓周角等于它所對弧上的圓心角的　　　　.
(2)推論1
圓周角的度數等于它所對弧的度數的　　　　.
特別提醒:同一條弧所對的圓周角有無數個,同一條弧所對的圓心角只有一個.
圓上
弦
一半
一半
考點梳理
圓周角定理
[變式1](2022阜新)如圖,A,B,C是☉O上的三點,若∠C=35°,則∠ABO的度數是(　　)
A.35°
B.55°
C.60°
D.70°
B
圓周角及圓周角定理
(1)圓周角必須滿足兩個條件:①頂點在圓上;②角的兩條邊都與圓相交.二者缺一不可.
(2)圓周角的度數等于它所對弧上的圓心角度數的一半.
圓周角定理的推論1
[典例2](2023聊城模擬)如圖,☉O的弦AB,DC的延長線相交于點E, ∠AOD=150°,弧BC為70°.求∠ABD,∠AED的度數.
46°
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A
0●
C
D
E
B(共10張PPT)
第2課時　弧、弦、圓心角之間的關系
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1.圓的對稱性
圓繞著它的圓心旋轉180°,能與自身重合,所以圓是　　　　　　圖形,　　　　是它的對稱中心.
2.圓心角、弧、弦之間的關系
(1)圓心角:頂點在　　　　的角叫做圓心角.
(2)定理:在　　　　或　　　　中,如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦中有一組量相等,那么它們所對應的其余各組量都分別　　　　.
中心對稱
圓心
圓心
同圓
等圓
相等
CD
∠COD
CD
∠COD
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弧、弦、圓心角之間的關系
[變式1](2023曹縣質檢)下列說法正確的是(　　)
A.同弧或等弧所對的圓心角相等
B.所對圓心角相等的弧是等弧
C.弧長相等的弧一定是等弧
D.平分弦的直徑必垂直于弦
A
B
圓心角、弧、弦三者之間的關系
在同圓或等圓中,①圓心角相等,②所對的弧相等,③所對的弦相等.三項“知一推二”,一項相等,其余兩項皆相等.
謝謝觀賞！
A
M
D
C
E
N
B
A
M
E
N
B(共12張PPT)
3.2　確定圓的條件
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1.確定圓的條件
(1)經過一點A可以作　　　　個圓;經過兩點A,B可以作　　　　個
圓,這些圓的圓心在線段AB的　　　　 　　上.
(2)不在同一條直線上的三個點確定　　　　個圓.
2.三角形的外接圓
(1)經過三角形　　　　　　的圓叫做三角形的外接圓,外接圓的圓心叫做三角形的　　　　　,這個三角形叫做這個圓的　　　 　　　.
(2)三角形的外心是三角形三條邊的　　　　　 　的交點,它到三角形三個　　　　的距離相等.
無數
無數
垂直平分線
一
三個頂點
外心
內接三角形
垂直平分線
頂點
特別提醒:①三角形有且只有一個外接圓,而一個圓有無數個內接三
角形.
②銳角三角形的外心在三角形的內部;
直角三角形的外心是斜邊的中點;
鈍角三角形的外心在三角形的外部.
3.反證法
(1)定義:先提出與命題的結論　　　　的假設,推出矛盾,從而證明命題成立,這種證明的方法叫做反證法.
相反
(2)用反證法證明的步驟
①否定結論——假設命題的　　　　不成立;
②推出矛盾——從假設出發,根據已知條件,經過推理論證,得出一個與命題的　　　　　　或已知的　　　　　　、　　　　　　、
　　　　　　等相矛盾的結果;
③肯定結論——由矛盾判定　　　　不正確,從而肯定命題的結論
正確.
結論　
條件
定義
基本事實
定理
假設
考點梳理
三角形的外接圓與外心
[典例1](2023永安月考)如圖的網格由邊長相同的小正方形組成,點A,B,C,D,E,F,G在小正方形的頂點上,則△ABC的外心是(　　)
A.點D B.點E
C.點F D.點G
A
[變式1](2023膠州期中)某公園的A,B,C處分別有海盜船、摩天輪、旋轉木馬三個娛樂項目,現要在公園內建一個售票中心,使三個娛樂項目所處位置到售票中心的距離相等,則售票中心應建立在(　　)
A.△ABC三邊高線的交點處
B.△ABC三條角平分線的交點處
C.△ABC三邊中線的交點處
D.△ABC三邊垂直平分線的交點處
D
不熟悉三角形外心是三邊垂直平分線的交點導致出錯.
[變式2]如圖,點O是△ABC的外心,連接OA,OB,若∠OBA=20°,則∠AOB的度數為　　　　　.
140°
反證法
[典例2](2023牡丹期中)用反證法證明“在△ABC中,若∠A>∠B>∠C,則∠A>60°”時,應先假設(　　)
A.∠A=60° B.∠A<60°
C.∠A≠60° D.∠A≤60°
D
[變式4]用反證法證明:兩直線平行,同旁內角互補.
已知:如圖,l1∥l2,l1,l2都被l3所截.
求證:∠1+∠2=180°.
證明:假設∠1+∠2　　　　180°.
∵l1∥l2,
∴∠1　　　　∠3.
∵∠1+∠2　　　　180°,
∴∠3+∠2≠180°,這和　　　　　　　矛盾,
∴假設∠1+∠2　　　　180°不成立,
即∠1+∠2=180°.
≠
=
≠
平角為180°
≠
用反證法證明的一般步驟
(1)假設命題的結論不成立;
(2)從這個假設出發,經過推理論證,得出矛盾;
(3)由矛盾判定假設不正確,從而肯定原命題的結論正確.
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3.1　圓的對稱性
第1課時　垂徑定理
第3章　對圓的進一步認識
欄目導航
知識梳理
考點梳理
知識梳理
1.圓的對稱性
圓是　　 　　圖形,每一條　　　　所在的直線都是它的對稱軸.
2.垂徑定理
垂直于弦的直徑　　　 　以及弦所對的　　 　　.
符號語言:如圖,
∵AB為☉O的直徑,AB⊥CD,
軸對稱
直徑
平分弦
兩條弧
DE
特別提醒:若一條直線具有以下五條中的任意兩條,則必然具備其余的三條.
(1)經過圓心;
(2)垂直于弦;
(3)平分弦(被平分的弦不是直徑);
(4)平分弦所對的優弧;
(5)平分弦所對的劣弧.
考點梳理
垂徑定理
[典例1]如圖,在直徑為10 cm的☉O中,弦AB=6 cm,OC⊥AB于點C,則OC=(　　)
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
[變式1](2023臨清質檢)如圖,AB是☉O的直徑,弦CD⊥AB,垂足為P.若CD=AP=8,則☉O的半徑為(　　)
B
A.10 B.8
C.5 D.3
C
[變式2](2023張家港月考)如圖,☉O的弦AB=8 cm,DC=2 cm,直徑CE⊥ AB于D,求半徑OC的長.
垂徑定理及其推論
(1)垂徑定理:垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對的兩條弧.
(2)垂徑定理的推論
推論1:平分弦(不是直徑)的直徑垂直于弦,并且平分弦所對的兩條弧.
推論2:弦的垂直平分線經過圓心,并且平分弦所對的兩條弧.
推論3:平分弦所對一條弧的直徑垂直平分弦,并且平分弦所對的另一條弧.
垂徑定理的應用
[典例2](2022青海)如圖是一個隧道的橫截面,它的形狀是以點O為圓心的圓的一部分,如果C是☉O中弦AB的中點,CD經過圓心O交☉O于點D,并且AB=4 m,CD=6 m,那么☉O的半徑為　　　　m.
[變式3]如圖是由兩個長方形組成的工件平面圖(單位:mm),直線l是它的對稱軸,能完全覆蓋這個平面圖形的圓面的最小半徑是　　 　mm.
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