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4.5　一元二次方程根的判別式
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知識梳理
考點梳理
知識梳理
1.一元二次方程根的判別式
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)根的個數由代數式　　　 　的值的符號決定,因此把　　 　　叫做一元二次方程根的判別式,通常用Δ表示,即Δ=　　　　.
2.一元二次方程根的情況
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根有三種情況:
(1)當Δ>0時,方程有兩個　　　　的實數根;
(2)當Δ=0時,方程有兩個　　　　的實數根;
(3)當Δ<0時,方程　　　　實數根.
b2-4ac
b2-4ac
b2-4ac
不相等
相等
沒有
考點梳理
利用判別式判斷方程根的情況
[典例1](2023菏澤模擬)已知關于x的一元二次方程x2-(m+3)x+m+1=0.
(1)求證:無論m為何值,方程總有兩個不相等的實數根;
(2)當方程根的判別式等于5時,m=　　　　.
(1)證明:Δ=[-(m+3)]2-4(m+1)=m2+2m+5=(m+1)2+4.
∵(m+1)2≥0,∴(m+1)2+4>0,即Δ>0,
∴無論m為何值,方程總有兩個不相等的實數根.
(2)解:0或-2
[變式1](2022安順)定義新運算a*b:對于任意實數a,b滿足a*b= (a+b)(a-b)-1,其中等式右邊是通常的加法、減法、乘法運算.例如3*2=(3+2)(3-2)-1=5-1=4.若x*k=2x(k為實數)是關于x的方程,則它的根的情況是(　　)
A.有一個實數根
B.有兩個不相等的實數根
C.有兩個相等的實數根
D.沒有實數根
B
[變式2]關于x的一元二次方程x(x+3)=3x-3的根的情況是(　　)
A.有兩個不相等的實數根
B.有兩個相等的實數根
C.只有一個實數根
D.沒有實數根
D
一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根與Δ=b2-4ac的關系
(1)當Δ>0時,方程有兩個不相等的實數根;
(2)當Δ=0時,方程有兩個相等的實數根;
(3)當Δ<0時,方程無實數根.
上面的結論反過來也成立.
根據判別式確定字母的取值范圍
[典例2](2022廣州)已知T=(a+3b)2+(2a+3b)·(2a-3b)+a2.
(1)化簡T;
(2)若關于x的方程x2+2ax-ab+1=0有兩個相等的實數根,求T的值.
解:(1)T=(a+3b)2+(2a+3b)(2a-3b)+a2=a2+6ab+9b2+4a2-9b2+a2=6a2+6ab.
(2)∵關于x的方程x2+2ax-ab+1=0有兩個相等的實數根,∴Δ=(2a)2-4(-ab+1)=0,
∴a2+ab=1,∴T=6×1=6.
[變式3](2023張家界)已知關于x的一元二次方程x2-2x-a=0有兩個不相等的實數根,則a的取值范圍是　　　　.
[變式4](2023貴州)若一元二次方程kx2-3x+1=0有兩個相等的實數根,則k的值是　　.
a>-1
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4.7　一元二次方程的應用
第1課時　面積問題與利潤問題
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1.列一元二次方程解應用題的一般步驟
(1)審題;(2)設　　　　;(3)列　　　　;(4)解方程;(5)檢驗根是否符合實際情況,確定未知數的值;(6)作答.
2.利潤問題
(1)售價-進價=　　　　;
未知數
方程
利潤
總利潤
銷售額
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面積問題
[典例1](2023坊子質檢)如圖,在長為28米、寬為10米的矩形空地上修建道路(圖中陰影部分),余下部分鋪設草坪,要使得草坪的面積為243平方米,則可列方程為(　　)
A.28×10-28x-10x=243
B.(28-x)(10-x)+x2=243
C.(28-x)(10-x)=243
D.2(28-x+10-x)=243
C
[變式1](2022青海)如圖,小明同學用一張長11 cm、寬7 cm的矩形紙板制作一個底面積為21 cm2的無蓋長方體紙盒,他將紙板的四個角各剪去一個同樣大小的正方形,將四周向上折疊即可(損耗不計).設剪去的正方形邊長為x cm,則可列出關于x的方程為　 .
(11-2x)(7-2x)=21
[變式2](2023濟南質檢)有本長為26 cm、寬為18.5 cm、厚為1 cm的數學書.小明用一張面積為1 120 cm2的矩形紙包這本數學書,書皮展開后示意圖如圖,圖中虛線為折痕,陰影是裁剪掉的部分,四角均為大小相同的小正方形,小正方形的邊長即為折疊進去的寬度,設小正方形的邊長(即折疊進去的寬度)為
x cm,求x的值.
解:依題意,得
(18.5×2+1+2x)(26+2x)=1 120,
整理,得x2+32x-33=0,
解得x1=1,x2=-33(不合題意,舍去).
答:x的值為1.
利潤問題
[典例2](2023聊城模擬)某公司設計了一款工藝品,每件的成本是40元,為了合理定價,投放市場進行試銷:據市場調查,銷售單價是50元時,每天的銷售量是100件,而銷售單價每提高1元,每天就少售出2件.但要求銷售單價不得超過65元,要使每天銷售這種工藝品盈利1 350元,那么每件工藝品售價應為　　　　元.
[變式3](2024高密期末)將進貨單價為40元的商品按50元出售時,能賣出500個.已知這種商品每個漲價1元,其銷售量就減少10個,則為了賺得8 000元的利潤,售價應定為　　　 　元.
55
60或80
利潤問題的主要關系式
(1)利潤=售價-進價;
(2)利潤率=(售價-進價)÷進價×100%;
(3)售價=進價×(1+利潤率);
(4)虧損=進價-售價;
(5)虧損率=(進價-售價)÷進價×100%;
(6)總利潤=每件利潤×總件數.
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4.2　用配方法解一元二次方程
第1課時　用配方法解二次項系數是1的一元二次方程
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1.用直接開平方法解一元二次方程
當一元二次方程的一邊是一個含有未知數的一次式的平方,而另一邊是一個非負實數時,可以根據　　　　的意義,通過開平方求出這個方程的解.
2.用配方法解一元二次方程
當二次項的系數為1時,可先把　　　　移到方程的右邊,然后在方程的兩邊都加上　　　　系數的一半的平方,就把方程的左邊配成了一個　　　　　　式,從而可以由　　　　的意義求解方程.這種解一元二次方程的方法叫做配方法.
平方根
常數項
一次項
完全平方
平方根
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用直接開平方法解一元二次方程
C
[典例1](2023平陰期末)一元二次方程x2-9=0的根是(　　)
A.x=3 B.x=-3
C.x1=3,x2=-3 D.x1=9,x2=-9
[變式1](2023東明期末)方程2x2-8=0的根是(　　)
A.x=2 B.x=-2
C.x1=2,x2=-2 D.x1=4,x2=-4
C
[變式2]用直接開平方法解下列方程:
(1)16x2-1=0;
(2)3(x-2)2-27=0;
(2)方程整理,得(x-2)2=9,
開方,得x-2=3或x-2=-3,
解得x1=5,x2=-1.
(3)(2x-1)2=(3-x)2.
直接開平方法的三點注意
(1)等號左邊是一個數的平方的形式,而等號右邊是一個非負數.
(2)降次的實質是由一個一元二次方程轉化為兩個一元一次方程.
(3)方法是根據平方根的意義開平方.
用配方法解二次項系數是1的一元二次方程
[典例2](2022雅安)若關于x的一元二次方程x2+6x+c=0配方后得到方程(x+3)2=2c,則c的值為(　　)
A.-3 B.0 C.3 D.9
[變式3](2022荊州)一元二次方程x2-4x+3=0配方為(x-2)2=k,則k的值是　　　　.
C
1
二次項系數是1的一元二次方程配方時忘記方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方而出錯.
[變式4]用配方法解下列方程:
(1)x2-2x-1=0;
(2)x2-8x-1=0;
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4.4　用因式分解法解一元二次方程
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因式分解法
當一元二次方程的一邊是　　,另一邊可以分解為兩個　　　　因式的積時,可分別令兩個一次因式為　　　,得到兩個一元一次方程.這兩個一元一次方程的根都是原一元二次方程的根.這種解一元二次方程的方法叫做因式分解法.
0
一次
0
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用因式分解法解一元二次方程
[典例1](2023東明月考)若某三角形兩邊的長分別等于方程x(x-9)+ 4(9-x)=0的兩個實數根,則這個三角形的第三邊長可能是(　　)
A.5 B.10 C.13 D.14
[變式1](2024臨清期末)方程(x+2)(x+1)=x+2的解為(　　)
A.x1=0,x2=2 B.x1=0,x2=-2
C.x1=-1,x2=-2 D.x1=x2=-1
B
B
[變式2](2023茌平質檢)用因式分解法解下列方程:
(1)(x+1)2=16; (2)x(x-1)=2(x-1).
解:(1)(x+1)2=16,(x+1)2-16=0,
∴(x+1+4)(x+1-4)=0,
∴x+1+4=0或x+1-4=0,
∴x1=-5,x2=3.
(2)x(x-1)=2(x-1),x(x-1)-2(x-1)=0,(x-1)(x-2)=0,∴x-1=0或x-2=0,
∴x1=1,x2=2.
因式分解法解一元二次方程的一般步驟
(1)移項,使方程的右邊化為零;
(2)將方程的左邊分解為兩個一次因式的乘積;
(3)令兩個一次因式為零,得到兩個一元一次方程;
(4)解這兩個一元一次方程,它們的解就是原方程的解.
用適當的方法解一元二次方程
[典例2](2023曹縣月考)菱形的一條對角線長為10,其邊長是方程x2-10x+24=0的一個根,則該菱形的周長為　　　　.
24
不能靈活選用合適的方法解方程或考慮問題不全,沒有分類討論而出錯.
[變式3](2023坊子質檢)若某等腰三角形的三條邊長都是一元二次方程x2-9x=-14的根,則這個等腰三角形的周長為　　　　　　　　.
16,6或21
[變式4](2024青州質檢)解下列方程:
(1)x2-5x+1=0(用配方法);
(2)3(x-2)2=x(x-2);
解:(2)3(x-2)2=x(x-2),
移項,得3(x-2)2-x(x-2)=0,
(x-2)(3x-6-x)=0,
x-2=0或2x-6=0,
x1=2,x2=3.
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4.3　用公式法解一元二次方程
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公式法
一般情況下,對于一元二次方程ax2+bx+c=0,當b2-4ac　　　0時,它的根是x=　　　 　,這個式子叫做一元二次方程的求根公式.用
　　　　　　解一元二次方程的方法叫做公式法.
特別提醒:(1)利用求根公式解一元二次方程時,必須先將方程化成一般形式;
(2)將各項系數a,b,c的值代入公式時,不要漏掉前面的符號.
≥
求根公式
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求根公式
C
D
0
用公式法解一元二次方程
[典例2]已知a是一元二次方程x2-3x-5=0的較小的根,則下面對a的估值正確的是(　　)
A.-1.5C.-4A
C
[變式4]用公式法解下列方程:
(1)2x2+3x=4;
(2)x(5x-1)=6x-1.
用公式法解一元二次方程的一般步驟
(1)把方程化成一般形式,進而確定a,b,c的值(注意符號);
(2)求出b2-4ac的值(若b2-4ac<0,則方程無實數根);
(3)在b2-4ac≥0的前提下,把a,b,c的值代入求根公式進行計算,求出方程的根.
注意:用公式法解一元二次方程的前提有兩個:①a≠0;②b2-4ac≥0.
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第2課時　增長率問題與其他應用
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增長(降低)率問題
增長(降低)率問題在實際生活中普遍存在,有一定的模式,正確解答此類問題的關鍵是掌握好此類問題中等量關系的確定方法:在存在基礎量a的前提下,若連續增長(或降低)2次,且平均增長(或降低)率為x,則增長后的數量為　 　　　(或降低后的數量為　　 　　).
特別提醒:求得結果后要注意解的合理性,正確取舍.
a(1+x)2
a(1-x)2
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增長(降低)率問題
[典例1](2023重慶B卷)為了加快數字化城市建設,某市計劃新建一批智能充電樁,第一個月新建了301個充電樁,第三個月新建了500個充電樁,設該市新建智能充電樁個數的月平均增長率為x,根據題意,請列出方程:　 .
301(1+x)2=500
[變式1](2023曹縣月考)近年來,我國大力推行藥品集中帶量采購制度,很多常用藥的價格顯著下降.受此影響,某種藥品兩次降價后,價格由每盒160元大幅調整為40元,則該藥品平均每次降價的百分率為　　 .
50%
增長率問題分不清原數、增長率、增長次數與后來數之間的關系導致出錯.
[變式2](2022眉山)建設美麗城市,改造老舊小區.某市2019年投入資金1 000萬元,2021年投入資金1 440萬元,現假定每年投入資金的增長率相同.
(1)求該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率.
解:(1)設該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率為x,
依題意,得1 000(1+x)2=1 440,
解得x1=0.2=20%,x2=-2.2(不合題意,舍去),
∴該市改造老舊小區投入資金的年平均增長率為20%.
(2)2021年老舊小區改造的平均費用為每個80萬元,2022年為提高老舊小區品質,每個小區改造費用增加15%.如果投入資金年增長率保持不變,求該市在2022年最多可以改造多少個老舊小區.
其他問題
[典例2](2022黑龍江)2022年北京冬奧會女子冰壺比賽有若干支隊伍參加了單循環比賽,單循環比賽共進行了45場,則參加比賽的隊伍共有
(　　)
A.8支 B.10支 C.7支 D.9支
B
[變式3]某桶裝水每桶的進價是5元,經營部規定銷售單價不得高于12元,也不得低于7元.調查發現日均銷售量y(桶)與銷售單價x(元)的函數圖象如圖.
(1)求日均銷售量y(桶)與銷售單價x(元)的函數關系式.
(2)若該經營部希望日均獲利1 600元,則銷售單價是多少
解:(2)根據題意,得(x-5)(-50x+850)=1 600,
整理,得x2-22x+117=0,
解得x1=9,x2=13(不符合題意,舍去).
答:銷售單價是9元.
列一元二次方程解應用題的“六字訣”
(1)審:理解題意,明確未知量、已知量以及它們之間的數量關系.
(2)設:根據題意,可以直接設未知數,也可以間接設未知數.
(3)列:根據題中的等量關系,用含所設未知數的代數式表示其他未知量,從而列出方程.
(4)解:準確求出方程的解.
(5)驗:檢驗所求出的根是否符合所列方程和實際問題.
(6)答:寫出答案.
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4.1　一元二次方程
第4章　一元二次方程
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1.一元二次方程的定義
方程的兩邊都是　　　,都只含有　　　個未知數,并且整理后未知數的最高次數都是　　,像這樣的方程叫做一元二次方程.
2.一元二次方程的一般形式
一元二次方程都可以化為　　　　　　(a≠0)的形式,稱為一元二次方程的一般形式.其中　　　　,　　　　,　　　　分別叫做這個方程的二次項、一次項和常數項,　　　　,　　　　分別叫做二次項系數和一次項系數.
整式
一
2
ax2+bx+c=0
ax2
bx
c
a
b
3.一元二次方程的根的近似值
估算一元二次方程ax2+bx+c=0(a,b,c為常數,a≠0)的根的近似值的實質是找到使　　　 　的值接近　　　　的x值.
ax2+bx+c
0
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一元二次方程的相關概念
C
不理解一元二次方程及其一般形式的含義,導致解題時出錯.
[變式1](2023聊城模擬)將一元二次方程(2x-1)·(x+2)=3化成一般形式正確的是(　　)
A.2x2+3x-5=0
B.2x2+3x+1=0
C.2x2-3x-5=0
D.2x2+3x-2=3
[變式2](2023陽谷期末)若關于x的方程(k-1)·x|k|+1-4x+5=0是一元二次方程,則k=　　　.
A
-1
一元二次方程的解
[典例2](2022資陽)若a是一元二次方程x2+2x-3=0的一個根,則2a2+4a的值是　　　　.
[變式3](2023東阿三模)觀察下列表格,估計一元二次方程x2+3x-5=0的正數解在(　　)
A.-1和0之間 B.0和1之間 C.1和2之間 D.2和3之間
6
x -1 0 1 2 3 4
x2+3x-5 -7 -5 -1 5 13 23
C
[變式4](2022廣東)若x=1是方程x2-2x+a=0的根,則a=　　　　.
1
一元二次方程的解及其估算
(1)一元二次方程的解(根)的意義:能使一元二次方程左右兩邊相等的未知數的值是一元二次方程的解,只含有一個未知數的方程的解也叫做這個方程的根.
(2)估算一元二次方程的近似解:給出一些未知數的值,計算方程兩邊的結果,當兩邊的結果越接近時,說明未知數的值越接近方程的根.
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*4.6　一元二次方程根與系數的關系
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一元二次方程根與系數的關系
如果一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根是x1,x2,那么x1+x2=　　　　, x1x2= .
特別提醒:一元二次方程根與系數的關系主要有以下幾方面的應用(前提是Δ≥0):①檢驗一個方程的根是否正確;②已知方程的一個根,求另一個根及字母系數的值;③已知兩根的關系,求方程中字母系數的
值;④已知兩根x1,x2,確定一元二次方程,即x2-(x1+x2)x+x1x2=0.
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利用根與系數的關系求方程的根及代數式的值
[典例1](2023高唐月考)若方程x2-3x+1=0的兩個實數根為α,β,則α2+β2的值為(　　)
A.12 B.10 C.7 D.4
[變式1](2023眉山)已知方程x2-3x-4=0的根為x1,x2,則(x1+2)·(x2+2)的值為　　　　.
C
6
1
[變式3]已知關于x的一元二次方程x2-6x+2m-1=0有x1,x2兩個實數根.若x1-x2=0,求m的值,并求x1,x2的值.
解:∵x1+x2=6,x1-x2=0,
∴x1=x2=3.
∵x1x2=2m-1,∴2m-1=9,
∴m=5.
常用一元二次方程的根與系數的關系解決以下問題
(1)不解方程,判斷兩個數是不是一元二次方程的兩個根.
(2)已知方程及方程的一個根,求另一個根及未知數的值.
(4)判斷兩根的符號.
(5)求新方程.
(6)由給出的兩根滿足的條件,確定字母的取值.
利用根與系數的關系確定字母的值
[典例2](2023莘縣質檢)已知關于x的一元二次方程x2+(2m-3)x+m2=0有兩個實數根α和β.
(1)求實數m的取值范圍;
(2)若α+αβ=6-β,求m的值.
[變式4](2023肥城月考)若關于x的一元二次方程x2-(m2-m-6)x+m=0的兩個根互為相反數,則m的值為(　　)
A.3或-2 B.-2
C.3 D.2或-3
B
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第2課時　用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程
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用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程的一般步驟
(1)把二次項系數化為　 　(即方程的兩邊同時除以二次項系數);
(2)移項:將常數項移到方程的　　　　;
(3)配方:方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方,把方程化為(x+m)2=n的形式;
(4)由平方根的意義,求出方程的　　　　.
以上步驟可簡記為:一化,二移,三配,四求解.
1
右邊
解
考點梳理
用配方法解二次項系數不是1的一元二次方程
[典例1](2023膠州月考)用配方法解方程:
(1)4x2-1=8x;
(2)3y2+8y-3=0.
C
用配方法解一元二次方程的步驟
(1)把原方程化為ax2+bx+c=0(a≠0)的形式.
(2)方程兩邊同除以二次項系數,使二次項系數化為1,并把常數項移到方程右邊.
(3)方程兩邊同時加上一次項系數一半的平方.
(4)把左邊配成一個完全平方式,右邊化為一個常數.
(5)如果右邊是非負數,那么就可以進一步通過直接開平方法求出它的解;如果右邊是一個負數,那么判定此方程無實數解.
配方法的應用
[典例2](2023渭濱期末)閱讀以下材料,并解決問題.
已知m2+2m+n2-6n+10=0,求m和n的值.
把等式左邊的式子變形,得(m2+2m+1)+(n2-6n+9)=0,
∴(m+1)2+(n-3)2=0.
∴m+1=0,n-3=0.
即m=-1,n=3.
利用以上方法,解決下列問題:
(1)已知x2-4x+y2+2y+5=0,則x=　　　　,y=　　　　;
(2)已知a,b,c是等腰三角形ABC的三邊長,滿足a2+b2=12a+8b-52,求c的值.
解:(1)2　-1
(2)∵a2+b2=12a+8b-52,
∴a2-12a+36+b2-8b+16=0,
∴(a-6)2+(b-4)2=0,
∴a-6=0,b-4=0,∴a=6,b=4.
∵△ABC是等腰三角形,
∴c=4或6.
[變式2]若a,b都是有理數,且滿足a2+b2+5=4a-2b,則(a+b)2 024=　　 .
[變式3](2023聊城模擬)若4x2+mx+n=(ax+2)2,則m=　　　,a=　　　,
n=　　　.
1
±8
±2
4
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