資源簡介

(共16張PPT)
第1章 圖形的相似
九年級上冊
1.2 怎樣判定三角形相似
第3課時 相似三角形的判定定理2,3
情境引入
問題：有些空心圓柱形機(jī)械零件的內(nèi)徑是不能直接測量的，往往需要使用交叉卡鉗進(jìn)行測量.你知道其中的道理嗎
情境引入
如圖，有些空心圓柱形機(jī)械零件的內(nèi)徑是不能直接測量的，往往需要使用交叉卡鉗進(jìn)行測量.圖中所示為一個零件的剖面圖，它的外徑為a，內(nèi)徑AB未知.現(xiàn)用交叉卡鉗去測量就可以計算出AB的長度， 你知道其中的道理嗎
情境引入
類比三角形全等的方法(SAS) (SSS)，能不能用兩邊及夾角或三邊來判別兩個三角形相似呢？
合作探究
探究一：相似三角形判定定理2
畫出ΔABC和ΔA'B'C',使∠A'=∠A, ，它們相似嗎？怎樣證明呢？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
歸納小結(jié)
相似三角形的判定定理2
如果一個三角形的兩邊與另一個三角形的兩邊對應(yīng)成比例，并且夾角相等，那么這兩個三角形相似.（簡稱：兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似.）
如圖，結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)符號語言表示：
∵∠A'=∠A，
∴ΔA'B'C'∽△ABC.
，
典例分析
[例1]
如圖，AD=3，AE=4，BE=5，CD=9，ΔADE與ΔABC相似嗎？說明理由.
A
E
D
B
C
解：ΔADE∽ΔABC.理由是：
合作探究
探究二：相似三角形判定定理3
如圖，把ΔABC的三邊按一定的比例縮小（或放大）后得到ΔA'B'C'， 即三邊滿足
，它們相似嗎？怎樣證明呢？
A
B
C
A'
B'
C'
A
B
C
D
E
歸納小結(jié)
相似三角形的判定定理3
如果一個三角形的三邊與另一個三角形的三邊對應(yīng)成比例，那么這兩個三角形相似.（簡稱：三邊成比例的兩個三角形相似.）
如圖，結(jié)合圖形用數(shù)學(xué)符號語言表示：
∵
∴ ΔA'B'C'∽△ABC.
，
合作探究
探究二：
如圖，已知
不另外添加字母，寫出圖中相等的角，并說明理由.
B
D
C
E
A
解：在ΔABC與ΔADE中，
∴ΔABC∽ΔADE.(相似三角形的判定定3).
∴∠BAC=∠DAE，∠ABC=∠ADE，∠C=∠E，
由∠BAC=∠DAE還可推出∠BAD=∠CAE.
.
，
隨堂檢測
相似三角形判定定理2,3
課堂評價測試
同學(xué)們要認(rèn)真答題哦！
隨堂檢測
1.在△ABC中，BC=5cm,CA=45cm,AB=46cm,另一個與它相似的三角形的最短邊是15cm，則最長邊是( )
A.138cm B. cm C.135cm D.不確定
2.如圖，在△ABC中，D，E分別是AB，AC上的兩點，在下列條件中：
①∠AED=∠C；
②
④
；③
能判定△ABC∽△ADE的是（ ）
A
A
.
隨堂檢測
4.如圖，已知△ABC中，AB=8，BC=7，AC=6，E是AB的中點，F(xiàn)是AC邊上的一個動點，將△AEF沿EF折疊，使A落在A'處，使A，D，E三點組成的三角形與△ABC相似，則EF的長為__________.
B
課堂小結(jié)
1．相似三角形的判定有幾種方法？如何選擇這些方法？
相似三角形的定義和判定定理1,2,3.
判定三角形相似的主要思路：
（1）有兩對邊成比例的，一般有兩個途徑：一是夾角相等；二是找第三邊成比例．
（2）有一對等角的，一般有兩個途徑：一是找另一對等角；二是找到夾邊成比例．
2.相似三角形具有哪些性質(zhì)？
對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.
作業(yè)布置
詳見教材練習(xí)題
P16 T1-2
謝
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第1章 圖形的相似
九年級上冊
1.2 怎樣判定三角形相似
第1課時 平行線分線段成比例定理
課前小測
1.相似多邊形的主要特征是什么？
對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊成比例.
2.在相似多邊形中，其中最簡單的就是相似三角形.它的特征是什么？
對應(yīng)角相等；對應(yīng)邊成比例.
（2）當(dāng)△ABC與△ A ′ B ′ C ′的相似比為k時，△ A ′ B ′ C ′與△ABC的相似比為________.
3.問題：（1）如果k=1，這兩個三角形有怎樣的關(guān)系？
這兩個三角形全等.
情境引入
如圖是一個生產(chǎn)過程中不合格的左右不對稱的梯子的簡圖，經(jīng)測量，AB＝BC＝CD，AA1∥BB1∥CC1∥DD1，那么A1B1和B1C1相等嗎？
探究一：平行線分線段成比例
，
（1）直線 ， 被平行直線 ， 所截，交點分別為A,B,C,D.過線段AB的中點E，作直線 ∥ ，那么該直線與另一條直線交于點F，F(xiàn)是線段DC的中點嗎？如果是，證明你的結(jié)論.
提示：要證明DF=FC，如果能把它們放在兩個全等三角形中就好辦了.
合作探究
（2）再取AE的中點P，過點P作直線 ∥ 交 于點Q，此時對應(yīng)線段AP，PB，DQ，QC成比例嗎？為什么？如果取EB的中點 ，過點 作直線 ∥ ，交 于點Q1， 你發(fā)現(xiàn) ， 被平行線所截得的對應(yīng)線段 ， ， ， 成比例嗎？
合作探究
（3）在圖中，繼續(xù)取AP的中點 ，或PE的中點 ，或PB的中點 ，或 的中點 ，分別過這些點作 的平行線，重復(fù)（2）中的推理過程，還可以得到什么？
合作探究
平行線分線段成比例
A
B
C
D
E
F
一般地，如果任意兩條直線 ， 被一組平行直線 ， ， 所截，交點分別是A，B，C，D，E，F(xiàn)（如圖），都有
.
得出結(jié)論
平行線分線段成比例基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.
歸納小結(jié)
探究二：平行線分線段成比例的推論
合作探究
（1）圖1中l(wèi)1 , l2 兩條相交直線被三條互相平行的直線 l3 ，l4， l5 所截，交點 A剛好落到l3上，如圖2所示.線段AB，AC，AE，AF成比例嗎？AB，AC，BE，CF呢？
圖1
G
合作探究
圖1
（2）圖1中l(wèi)1 , l2 兩條相交直線被三條互相平行的直線 l3 ，l4， l5 所截，交點 A剛好落到l4上，圖2（2）中AE，AC，AD，AB，DE，BC 成比例嗎？
圖1
得出結(jié)論：（推論）
平行于三角形一邊,并且與其他兩邊(或兩邊 的延長線)相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.
歸納小結(jié)
平行線分線段成比例的推論
A型
X型
典例分析
[例1]
如圖所示，直線l1∥l2∥l3，下列比例式中成立的是（　　）
探究一：平行線分線段成比例
D
探究二：推論
[例2]
典例分析
如圖所示，在△ABC中，點D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，若AD：AB＝3∶4，AE＝6，則AC 等于（　　）
A.3 B.4 C.6 D.8
D
歸納小結(jié)
1.平行線分線段成比例基本事實：
(1)兩直線被一組平行線所截 ，所得的對應(yīng)線段成比例.（關(guān)鍵要能熟練地找出對應(yīng)線段）
2.平行線分線段成比例推論：
(2)平行于三角形一邊的直線與其他兩邊(或兩邊的延長線)相交，截得的對應(yīng)線段成比例.
隨堂檢測
平行線分線段成比例 課堂評價測試
同學(xué)們要認(rèn)真答題哦！
隨堂檢測
C
1.如圖，直線 l1∥l2∥l3，AB=3，AC=4，則 的值是（ ）
A. B. C. D.
2.如圖,小明在打網(wǎng)球時,球恰好能打過網(wǎng),而且落在離網(wǎng)5 m的位置上,則球拍擊球的高度h為　　m.
2.4
3.如圖,l1∥l2∥l3,AM=2,MB=3,CD=4.5,則ND=　 　,
CN=　 　.
2.7
1.8
隨堂檢測
4.如圖，在△ABC的邊AB上取一點D，在AC上取一點E，使得AD＝AE，直線DE和BC的延長線相交于P，求證： .
課堂小結(jié)
作業(yè)布置
詳見教材練習(xí)題
P11 T1-2
謝
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第1章 圖形的相似
九年級上冊
1.2 怎樣判定三角形相似
第4課時 相似三角形的應(yīng)用
課前小測
1.如圖，AB∥EF∥DC，AD∥BC，EF與AC交于點G，則相似三角形共有（ ）
A.3對 B.5對 C 6.對 D.8對
D
A
B

C
F
E
G
2.相似三角形判定方法有哪些？相似三角形的性質(zhì)是什么？
兩角相等或兩邊成比例夾角相等或三邊成比例的三角形相似；
相似三角形的對應(yīng)角相等，對應(yīng)邊成比例.
C
情境引入
問題：同學(xué)們還記得古希臘的泰勒斯嗎，他做了哪一項令當(dāng)?shù)厝苏痼@的事跡？
情境引入
同學(xué)們還記得古希臘的泰勒斯嗎，做了一項令當(dāng)?shù)厝苏痼@的事跡，他想到辦法測量金字塔的高度.只要當(dāng)一個人的身高與影長相等的時候，測量金字塔影子的長度，便是它的高度。這個如今看起來簡單的三角形定理，對當(dāng)時的人來說卻是匪夷所思.大家共同來探究一下是如何做到的吧.
情境引入
泰勒斯是如何測出金字塔的高度的？
合作探究
探究一：利用相似三角形測量物體高度
觀察：泰勒斯是如何測出金字塔的高度的？
交流發(fā)現(xiàn)：如圖，AC為金字塔的高度，DF為泰勒斯助手的高度，AB，DE為太陽光線，CB，F(xiàn)E則分別為它們在地平面上的影子.當(dāng)身高DF和影子EF等長時，金字塔高度AC和它影長CB是成比例關(guān)系.
A
B
C
D
E
F
合作探究
探究一：利用相似三角形測量物體高度
典例分析
[例1] 利用陽光下的影子測量水塔的高度，除了像測量金字塔高度那樣，還有其他方法嗎？需要測出哪些數(shù)據(jù)？原理是什么？
方案：如圖，在陽光下，小亮走進(jìn)水塔的影子里，使自己的影子剛好被水塔的影子遮住.測量小亮的身高BC=1.6m，此時，測量他的影子的長AC=1m，再測量出他距水塔的底部E處距離CE為11.5m，水塔的頂部為點D，根據(jù)以上數(shù)據(jù)，利用相似三角形的判定和性質(zhì)，就可以求出水塔的高.
典例分析
[例1] 利用陽光下的影子測量水塔的高度，除了像測量金字塔高度那樣，還有其他方法嗎？需要測出哪些數(shù)據(jù)？原理是什么？
典例分析
拓展：如果恰逢陰天，物體沒有影子，你還能利用相似三角形的知識，設(shè)計出另外的方案來測量水塔的高度嗎？
方案：先在地面的適當(dāng)位置平放一面小鏡子，然后看著鏡子中水塔的像，沿著水塔的底部與鏡子所在的直線一步步向后退，一直退到在鏡子中剛好能看到水塔CD的頂端D為止.如圖 這時，分別量出我們到鏡子BE以及鏡子到水塔底部的距離CE和我們的眼睛到地面的距離AB，就可算出水塔的高CD. 你認(rèn)為這個方案是否可行？它的原理是什么？
A
B
D
C
E
歸納小結(jié)
利用相似三角形測量物體高度
同一時刻，同一地點， ，所以用這個辦法，可以測出很多平時很難測量的物體的高度.
合作探究
探究二：利用相似三角形測量物體(不能直接測量)的寬度
E
F
觀察：如圖，有些空心機(jī)械零件的內(nèi)徑是不能直接測量的，往往需要使用交叉卡鉗進(jìn)行測量.圖中所示為一個零件的剖面圖，它的外徑為EF=27 cm，內(nèi)徑AB未知.現(xiàn)用交叉卡鉗去測量就可以計算出AB的長度， 你知道其中的道理嗎 需要哪些數(shù)據(jù)？
方案如下：測量交叉鉗的臂OC=6cm，OD=8 cm，OA=12 cm,OB=16 cm,把交叉鉗放到零件內(nèi)如右圖所示，經(jīng)測量CD=12 cm，利用相似三角形的判定和性質(zhì)就可以求出零件的內(nèi)徑.
合作探究
探究二：利用相似三角形測量物體(不能直接測量)的寬度
E
F
方案如下：測量交叉鉗的臂OC=6cm，OD=8 cm，OA=12 cm,OB=
16 cm,把交叉鉗放到零件內(nèi)如右圖所示，經(jīng)測量CD=12 cm，利用相
似三角形的判定和性質(zhì)就可以求出零件的內(nèi)徑.
探究二：利用相似三角形測量物體(不能直接測量)的寬度
典例分析
[例2]如圖，小智要測量河流兩岸A，B兩點間的距離，他先從B處出發(fā)，沿與AB成90°角的方向向前走50m到C處，立一竹竿，然后繼續(xù)按這個方向朝前走10m到D處轉(zhuǎn)90°，沿DE方向再到E處，使A（目標(biāo)），C（竹竿）與E在同一條直線上，量得DE=17m，利用以上數(shù)據(jù)，他是怎樣求出A，B兩點之間的距離呢？
歸納小結(jié)
利用相似三角形測量物體(不能直接測量)的寬度
測量物體寬度時最常用的是X型和A型（如：例2）.利用相似三角形的判定和性質(zhì)開求解.
隨堂檢測
相似三角形的應(yīng)用 課堂評價測試
同學(xué)們要認(rèn)真答題哦！
隨堂檢測
21.6
30米
90m
隨堂檢測
4.如圖所示，小米同學(xué)用自制的直角三角板DEF測量樹的高度AB，他調(diào)整自己的位置，設(shè)法使斜邊DF保持水平，并且邊DE與點B在同一直線上，已知紙板的兩條邊DF=50cm，EF=30cm，測得邊DF離地面的高度AC=1.5cm，CD=20cm，求樹高AB.
課堂小結(jié)
利用相似三角形測量物體(不能直接測量)的寬度
測量物體寬度時最常用的是X型和A型（如：例2）.利用相似三角形的判定和性質(zhì)列出比例式求解.
利用相似三角形測量物體高度
解決這類問題的過程具有共性，就是先建立數(shù)學(xué)模型，然后找一對三角形相似，由三角形相似，得出一個比例式，由比例式解決問題.
（1）利用陽光在同一時刻同一地點物長與影長成比例；
（2）利用直角三角板與物體頂端成一直線，如隨堂檢測4；
（3）利用小鏡子，反射角等于入射角構(gòu)造相似（如例1拓展）.
作業(yè)布置
詳見教材練習(xí)題
P20 T2
謝
謝(共18張PPT)
第1章 圖形的相似
九年級上冊
1.2 怎樣判定三角形相似
第2課時 相似三角形的判定定理1
課前小測
1.第9個基本事實是什么？推論呢？
A
B
C
D
E
F
O
2.如圖： AB∥CD∥EF，你能分別得到哪些比例式呢？請?zhí)羁?
(2)圖中有相似三角形嗎？請寫出來.
基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例.
推論：平行于三角形的一邊，并且與其他兩邊相交的直線，所截得的三角形的三邊與原三角形的三邊對應(yīng)成比例.
OE
OD
CD
EF
OB
OD
BO
AB
ΔABO∽ ΔDCO ∽ ΔFOE.
情境引入
問題：金字塔是古埃及人的偉大創(chuàng)造，金字塔又高又陡，又是法老們的陵墓，出于敬畏心理，沒人敢登上去進(jìn)行測量.金字塔究竟有多高呢？
情境引入
金字塔是古埃及人的偉大創(chuàng)造，金字塔究竟有多高呢？金字塔又高又陡，況且又是法老們的陵墓，出于敬畏心理，沒人敢登上去進(jìn)行測量。有一次，古希臘哲學(xué)家、科學(xué)家泰勒斯來到埃及游覽。埃及人聽說這個哲人來了，希望他能利用這個機(jī)會，測出金字塔的高度。泰勒斯想了一下，答應(yīng)了。只見泰勒斯站在沙漠中，讓助手測出自己的身長，再測出自己影子的長度，到了上午的某個時刻，他的助手測出，泰勒斯的影子長度與他的身長相同，泰勒斯一聽，馬上讓助手測量金字塔的影子長度。不多工夫，助手測出了金字塔的影長。
大家知道泰勒斯是怎樣測量的嗎？他就是利用相似三角形的基本原理，輕而易舉地測出了金字塔的高度，而相似三角形的判定和性質(zhì)是咱們本章的主要內(nèi)容.
情境引入
全等三角形如何定義的
學(xué)過哪些三角形全等的判定方法
合作探究
探究：相似三角形的判定定理1
問題1 全等三角形如何定義的 學(xué)過哪些三角形全等的判定方法
（1）對應(yīng)角、對應(yīng)邊相等的三角形是全等三角形;
(2)有五種判定方法：①AAS, ② ASA , ③SAS , ④ SSS, ⑤ HL.
問題2 你能說出相似三角形的定義嗎？
所有對應(yīng)角相等，所有對應(yīng)邊成比例的兩個三角形相似.
合作探究
問題3：利用定義判定兩個三角形相似太不方便了，能否像證明三角形全等那樣適當(dāng)減少其中的某些條件，建立簡便一些的判定方法呢？
由于相似三角形對應(yīng)邊的長可以不相等，把判定方法①②中的邊去掉，僅保留兩角分別相等的條件，能判定這兩個三角形相似嗎
合作探究
探究：相似三角形的判定定理1
交流：
任意畫ΔABC和ΔA'B'C'，∠A=∠A',∠B=∠B'，觀察這兩個三角形，它們的形狀相同嗎？怎樣判定它們相似呢？
如果將ΔA‘B’C‘放到ΔABC上面，使A‘與A重合，A‘B’落到AB上，由∠A=∠A‘,那么A‘C’落到AC上，因為∠B=∠B‘，所以B‘C’∥BC，于是ΔABC與ΔA’B’C‘的三邊對應(yīng)成比例，且∠C=∠C‘，
所以ΔABC∽ΔA'B'C’.
這是用實驗的方法探索證明的判定定理1，你能在這個思路的基礎(chǔ)上完成證明嗎？
合作探究
探究：相似三角形的判定定理1
這是用實驗的方法探索證明的判定定理1，你能在這個思路的基礎(chǔ)上完成證明嗎？
證明:AB,AC(或它們的延長線)上,分別截取AD=A′B′,AE=A′C′,連接DE.
∵∠A=∠A′,
∴ΔADE≌ΔA′B′C′.(sss)
∴∠ADE=∠B′,∠AED=∠C′,DE=B′C′.
又∵∠B=∠B′, ∴∠B=∠ADE.
∴DE∥BC.
又∵∠A=∠A′,∠B=∠B′,∠C=∠C′,
∴ΔABC∽ΔA′B′C′.
歸納小結(jié)
小結(jié)：
相似三角形的判定定理1:
兩角分別相等的兩個三角形相似.
典例分析
[例1]
直角三角形被斜邊上的高分成的兩個直角三角形和原三角形相似.
A
C
B
D
已知： 如圖， 在 RtΔ ABC 中， CD 是斜邊 AB 上的高.
求證： Δ ACD∽Δ ABC∽Δ CBD.
證明 : ∵ ∠A=∠A， ∠ADC=∠ACB=90° ，
∴ Δ ACD∽Δ ABC.（兩角對應(yīng)相等， 兩 三角形相似）
同理 Δ CBD ∽ Δ ABC，
∴ Δ ABC∽Δ CBD∽Δ ACD.
此題的結(jié)論可以稱為“ 母子相似定理”,要牢記.
[例2]如圖，已知點B，D分別是∠A的兩邊AC，AE上的點，連接BE，CD，相交于點O，如果∠1=∠2，圖中有幾對相似三角形？說明理由.
典例分析
解：ΔDOE ∽ ΔBOC，ΔABE ∽ ΔADC. 理由是：
∵∠1=∠2，∠DOC=∠BOC，由判定定理1，
∴ΔDOE ∽ ΔBOC.
同理，由∠E=∠C，∠A=∠A，
∴ΔABE ∽ ΔADC.
隨堂檢測
相似三角形判定定理1
課堂評價測試
同學(xué)們要認(rèn)真答題哦！
隨堂檢測
C
A
D
B
1.如圖
，已知∠A=50°，∠B=60°，∠ADC=110°，則ΔABC∽____________.
2.有一個角等于110°的兩個等腰三角形（ ）
A．全等 B.相似 C.既不全等也不相似 D.無法確定
ΔCBD
B
隨堂檢測
A
B
D
E
C
F
3. 已知：如圖所示，點E是矩形ABCD中CD邊上的一點，ΔBCE沿著BE折疊為ΔBFE，點F落在AD上，求證：ΔABF ∽ ΔDFE.
證明：∵四邊形ABCD是矩形，
∴∠A= ∠D=∠C=90°.
∵ΔBCE沿BE折疊為Δ BFE,
∴ ∠BFE= ∠C= 90°.
∴∠AFB+ ∠DFE=180° -∠BFE=90° .
又 ∠AFB+ ∠ABF=90 °，∴ ∠ ABF= ∠DFE，
∴ΔABF ∽ ΔDFE.
課堂小結(jié)
1.請說說，相似三角形的判定定理1是如何證明的？
2.相似三角形的判定定理1: 兩角分別相等的兩個三角形相似.
此題的結(jié)論可以稱為“ 母子相似定理”,要牢記.
作業(yè)布置
詳見教材練習(xí)題
P14 T1與挑戰(zhàn)自我
謝
謝

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