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(共20張PPT)
第1章 圖形的相似
九年級上冊
1.3 相似三角形的性質
課前小測
1.全等三角形的判定方法有哪些？有哪些特征？
判定方法：ASA ，SAS，AAS ，SSS ，HL（直角三角形）.
特征：全等三角形對應角、對應邊相等.其它元素如對應高、對應中線、對應角平分線、對應周長、對應面積也相等.
2.什么叫相似三角形 判定方法有哪些
定義：所有對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形相似.
判定方法：（1）兩角分別相等的兩個三角形相似；
（2）兩邊成比例，且夾角相等的兩個三角形相似；
（3）三邊成比例的兩個三角形相似.
3.相似三角形有哪些基本特征
答：對應角相等，對應邊成比例.
情境引入
問題：相似三角形，除了對應邊成比例、對應角相等之外，我們還可以得到哪些結論？
情境引入
類比全等三角形，兩個相似三角形，除了對應邊成比例、對應角相等之外，我們還可以得到哪些結論？
這就是我們本節課要探究的內容.
情境引入
相似三角形還有哪些性質呢？
合作探究
探究：相似三角形的性質
觀察： 如圖 ，已知△ ABC ∽△ A‘B’C‘，相似比為 k . AD 與 A’D' 分別是對應邊BC 與 B'C' 上的高.
問題1：除△ ABC ∽△ A‘B’C‘ 以外，圖中還有幾對相似三角形？為什么？
解：∵△ ABC ∽△ A'B'C'，∴∠ B =∠ B'，
又∵∠ ADB =∠ A'D'B' = 90°，
∴△ ABD∽△ A'B'D' .
同理可得， △ ACD ∽△ A'C'D' .
合作探究
探究：相似三角形的性質
問題2：AD 與 A'D' 的比與相似比 k 有什么關系？
解:∵ΔADB∽ΔA'D'B’.
∴=k.
你能敘述你得到的結論嗎
相似三角形對應高的比等于相似比.
能去掉“對應” 兩個字嗎
不能去掉
合作探究
探究：相似三角形的性質
問題3：在△ ABC 與△ A'B'C' 中，分別作出∠ A 與∠ A' 的平分線以及 BC 與 B'C'上的中線，探索對應的角平分線的比、對應邊上中線的比分別與相似比 k 之間的關系，說明你的理由，與同學交流.
（1）.已知:如圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k, AE,A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線.求證:=k.
證明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',
∴∠B=∠B',.
又∵AE與A'E'分別為BC,B'C'邊上的中線,
∴BE=BC,B'E'=B'C',
∴,
∴ΔABE∽ΔA'B'E'.
∴=k.
合作探究
探究：相似三角形的性質
（2）.已知:如圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k , AF, A'F'分別為∠BAC,∠B'A'C'的平分線.求證:=k.
證明:∵ΔABC∽ΔA'B'C',
∴∠B=∠B',∠BAC=∠B'A'C'.
又∵AF,A'F'分別為∠BAC,∠B'A'C'的平分線,
∴∠BAF=∠BAC,∠B'A'F'=∠B'A'C',
∴∠BAF=∠B'A'F',∴ΔABF∽ΔA'B'F'.
∴=k.
怎樣用語言描述上述結論
相似三角形對應中線的比、對應角平分線的比都等于相似比.
合作探究
探究：相似三角形的性質
問題4：△ ABC 與△ A'B'C' 的周長的比CΔABC∶ C△ A'B'C'，面積的比S△ ABC∶ S△ A'B'C' 與相似比 k 分別有怎樣的關系？如圖所示,ΔABC∽ΔA'B'C',相似比為k, AD,A'D'分別為BC,B'C'邊上的高.
求證:=k, =k2.
證明:∵ΔABC ∽ΔA'B'C',相似比為k,
∴=k,=k.
∴AB=k·A'B', AC=k·A'C', BC=k·B'C'.
∴=k,
·=k2.
怎樣用語言描述上述結論
相似三角形的周長比等于相似比;
相似三角形的面積比等于相似比的平方.
歸納小結
相似三角形的性質:
(1)相似三角形的對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線)的比等于相似比;
(2)相似三角形的周長比等于相似比;
(3)相似三角形的面積比等于相似比的平方.
典例分析
[例1]
如圖，在△ ABC 中， DE∥BC， AD∶ DB = 3∶ 1，△ ABC 的面積為 48 . 求△ ADE 的面積.
[例2]
典例分析
如圖 ，有一塊銳角三角形余料ABC，它的邊 BC = 12 cm，高 AD = 8 cm . 現要用它裁出一個正方形工件，使正方形的一邊在 BC 上，其余的兩個頂點分別在 AB， AC 上，求裁出的正方形的邊長.
歸納小結
相似三角形的性質定理
相似三角形的對應線段的比等于相似比；周長的比等于相似比；面積的比等于相似比的平方.
相似三角形的性質可用于有關角的計算、線段長的計算以及三角形的周長和面積的計算等,還可以用于證明兩角相等、兩條線段相等等.
拓展知識：類比相似三角形的性質，相似多邊形的對應角相等，對應線段的比都等于相似比，周長的比等于相似比，面積的比等于相似比的平方.
隨堂檢測
相似三角形的性質 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
1:2
1:4
.
.
隨堂檢測
4. 如圖，已知平行四邊形ABCD 中，AE：EB=1：2．
（1）求AE：DC的值．
（2）如果S△AEF=6cm2，求S△CDF和S△ACD.
解：（1）在平行四邊形ABCD中，DC=AB，
∵AE：BE=1:2，
∴AE：AB=1:3，
∴AE：DC=1:3.
（2）在平行四邊形ABCD中，DC∥AB，
∴∠DCF=∠EAF，∠FDC=∠FEA，
∴△AEF∽△CDF.
∴相似比為 ，
∴
∵S△AEF=6cm2 ，∴S△CDF=54cm2.
∵△AEF∽△CDF, ∴EF:DF=AE:DC=1:3.
∵S△AEF中以EF為底的高與S△ADF中以DF為底的高相同，
∴S△AEF：S△ADF=1:3，∵S△AEF=6，∴S△ADF=18.
∴S△ACD= S△ADF+ S△CDF=18+54=72（cm2）.
=1∶9.
課堂小結
相似三角形的性質
對應邊
對應角
對應線段
周 長
面 積
相似多邊形的對應角相等，對應邊成比例.
相似三角形的對應線段(對應高、對應中線、對應角平分線)的比等于相似比.
相似三角形的周長比等于相似比.
相似三角形的面積比等于相似比的平方.
作業布置
詳見教材練習題
P25 T1-3
謝
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