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(共23張PPT)
第2章 解直角三角形
九年級上冊
2.4 解直角三角形
課前小測
在Rt△ABC中,∠C=90 ，若AB=5，AC=2.5，則∠A= , ∠B=_____.
2. 在Rt△ABC中,∠C=90 ，若∠B=30°，AC=3，則AB=_____,BC=________.
60°
30°
6
情境引入
問題：直角三角形中的元素之間什么關系？
情境引入
如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的對邊分別記作a，b，c .共有六個元素，三條邊和三個角.其中有一個角是直角，固定不變.
問題1：直角三角形的三邊之間有什么關系？
a2+b2=c2 .
問題2：直角三角形的銳角之間有什么關系？
∠A+∠B=90°.
問題3：直角三角形的邊和銳角之間有什么關系？
情境引入
a2+b2=c2，∠A+∠B=90°.
解直角三角形：由直角三角形中已知的元素求出未知元素的過程，叫做解直角三角形.
觀察交流：觀察上面問題的結論，你發現在直角三角形中，除直角以外，至少知道幾個元素就可以求出其他的未知元素？
兩個還是三個呢？咱們來探究一下.
合作探究
探究一： 已知直角三角形的兩個銳角能解直角三角形嗎？
由相似三角形的知識可知，兩個銳角分別相等的三角形相似，這樣大小不同的相似三角形能畫出無數個，所以不能解直角三角形.
不能.
合作探究
探究二：已知直角三角形的兩邊，能解直角三角形嗎？
如圖，在△ABC中，∠C＝90°， ，
，能求出其他未知的邊和角嗎？
典例分析
[例1]
在 Rt△ ABC 中，已知∠ C = 90°， a = 17.5， c = 62.5 . 解這個直角三角形.
解：∵ a 2 + b 2 = c 2，
∴ b =
由 sin A =
∠ A ≈ 16° 15' 37'' .
∴ ∠ B = 90° -∠ A = 90° -16° 15' 37'' = 73° 44' 23'' .
=0.28,得
如果已知直角三角形的兩條直角邊，如何解直角三角形呢？與同學交流.
直角邊的比跟正切有關，所以 “有斜用弦”“無斜用切”，同樣可以求出角的度數.
歸納小結
在直角三角形中，已知兩邊，定能解直角三角形.
（1）已知斜邊c和直角邊b，則
（2）已知直角邊a和b，則
合作探究
探究三：已知直角三角形的一邊和一角能解直角三角形嗎？
如圖，在△ABC中，∠C＝90°，∠A=65°，a=5，能求出其他未知的邊和角嗎？
當知道一邊和一角時，可以解直角三角形.如果三角比不是特殊值，可以用計算器求角.
[例2]
典例分析
在 Rt△ ABC 中，已知∠ C = 90°， c = 128， ∠ B = 52°. 解這個直角三角形（邊長精確到 0.01）.
解：在 Rt△ ABC 中，由∠ C = 90°， ∠ B = 52°，得
∠ A = 90° -∠ B = 90° - 52° = 38°.
由
，得b = c· sin B = 128· sin 52° ≈ 100.87；
，得a = c· cos B = 128· cos 52° ≈ 78.80 .
如果已知直角三角形的一條直角邊和一個銳角，如何解直角三角形呢？
用“有斜用弦，無弦用切”的原則，同樣可以解直角三角形.
歸納小結
在直角三角形中，除直角外，再知道一角一邊就可以解直角三角形. 選擇關系式時，盡量應用原始數據，使計算更加精確.
（1）已知斜邊c和銳角A，則
（2）已知銳角A和其對邊a，則
（3）已知銳角A及其鄰邊b，則
合作探究
探究四：如何求非直角三角形的邊和角
[例3]如圖，在△ ABC 中，已知∠ A = 60°， ∠ B= 45°， AC = 20，求 AB 的長.
交流：△ ABC不是直角三角形，怎么辦？
作AB 邊上的高，可把問題轉化為解直角三角形的問題.
解：過點 C 作 CD⊥ AB，垂足為點 D（如圖）.
在 Rt△ ACD 中， AC = 20， ∠ A = 60°.
歸納小結
將非直角三角形轉化為解直角三角形的問題，轉化的手段是作輔助線，作輔助線的最常見的方法是作高，作出輔助線后，例如在例3中求AB的長，轉化為在兩個直角三角形中，于是問題歸結為解Rt△ADC的問題.
拓展
如圖，∠ B = 45°， BC = 2，試用含∠ A 的三角比的式子表示 AB 的長.
D
隨堂檢測
解直角三角形 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
在 Rt△ ABC 中，由∠ C = 90°， ∠ A = 30°，a=5，解直角三角形.
隨堂檢測
2.在Rt△ABC 中，已知∠C=90°，a = 17， c＝34．解這個直角三角形.
隨堂檢測
3. 如圖，在△ ABC 中，已知∠ B = 30°， ∠ C= 105°，AB=12,求AC 和BC 的長.
D
課堂小結
1.解直角三角形是怎樣定義的？
定義：
2.解直角三角形有幾種類型,分別是什么
有兩種類型：一是已知兩邊，二是已知一銳角加一邊.
(1)已知斜邊c和直角邊b，則
(2)已知直角邊a和b，則（1）已知斜邊c和銳角A，則
(3)已知銳角A和其對邊a，則
(4)已知銳角A及其鄰邊b，則
(5)已知斜邊c和銳角A，則
3.怎樣解非直角三角形？通常是通過什么途徑實現的？
將非直角三角形轉化為解直角三角形的問題，轉化的手段是做輔助線，通過輔助線把圖形轉化為兩個直角三角形來求解.
課堂小結
作業布置
詳見教材練習題
P51 T1-2
P52 T1-2
謝
謝

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