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第3章 對圓的進一步認識
九年級上冊
3.1 圓的對稱性
第2課時 弧、弦、圓心角之間的關系
課前小測
垂徑定理及推論總結出的知二推三的內容是？
一條線，①過圓心，②垂直于弦，③平分弦(不是直徑)，④平分優弧，⑤平分劣弧，知二推三.
2. 如圖，在⊙O 中，已知AB是直徑，AB⊥CD.
（1）若AB=10，OE=3，則CD=_________,AE=__________.
（2）若OE=3，CD=8，則AB=________,AE=_________.
（3） 若AE=2，CD=8，則OE=__________,AB=_________.
8
2
10
2
3
10
情境引入
1.任意畫一個圓，將圓圍繞圓心旋轉任意角度，你有什么發現？
圍繞圓心旋轉任何一個角度，都與原來的圓重合.因此具有旋轉不變性.
2.是中心對稱圖形嗎？對稱中心是哪個點？
是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心.
3.什么是圓心角？
如圖，在⊙ O 上任取兩點 A 與 B，連接 OA， OB，得到∠ AOB . 像∠ AOB 這樣，頂點在圓心的角叫做圓心角.
情境引入
問題：今天我們來探究圓中弧、弦、圓心角、弦心距之間的關系.
合作探究
探究一：圓心角、弧、弦的關系定理
任意畫一個⊙O，在⊙O 內畫圓心角∠ AOB =∠ A'OB' . 連接 AB， A'B' .作AB和A'B'的弦心距OC和OC′.
C
C′
└
└
(1)以點O為旋轉中心，逆時針旋轉，旋轉角為∠AOA′，OA和OA′重合，這時OB和OB′重合嗎？
解：∵∠ AOA' =∠ AOB +∠ BOA' ， ∠ BOB' =∠ A'OB' +∠ BOA' ，∠ AOB =∠ A'OB'，
∴∠ AOA'=∠ BOB' .
∵旋轉后半徑 OA 與 OA' 重合，
∴半徑 OB 與 OB' 重合.
合作探究
探究一：圓心角、弧、弦的關系定理
歸納小結
這就是說，在同圓中，如果兩個圓心角相等，那么它們所對的弧相等，所對的弦也相等,相等弦上的弦心距也相等.
利用旋轉的基本性質還可以得出：在同圓中，如果 ，那么∠ AOB=∠ A'OB’，
弦 AB = A‘B, 弦心距OC=OC′’；反之，如果弦 AB = A’B’，那么∠ AOB =∠ A'OB'，
AB= A'B' .這些結論在等圓中也成立.
=
關系定理
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦，兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
幾何語言：∵∠ AOB =∠ A'OB'，
∴
，AB = A'B'， OC=OC′.
注意：不在同圓或等圓前提下，由兩條弧相等得到其余各組量分別相等也成立，但由其他的推出其余各組量相等必須在同圓或等圓中才成立.
典例分析
[例1]
如圖， AB 與 DE 是⊙ O 的兩條直徑， C 是⊙ O 上一點，AC∥DE .
求證：（1） ；（2）BE=EC.
證明：（1）連接 OC .
∵ AC∥DE，
∴ ∠ AOD =∠ OAC，∠ COE =∠ OCA .
∵ OA = OC ，
∴ ∠ OAC =∠ OCA .
∴ ∠ AOD =∠ COE .
∴ .
（2）∵ ∠ AOD =∠ BOE，
∴ ∠ BOE =∠ COE .
∴ BE = CE .
D
E
C
合作探究
探究二：圓心角的度數與所對弧的度數的關系
問題1：把頂點在圓心的周角等分成 360 份，每一份圓心角的度數是多少？
每一份圓心角的度數是1°.
合作探究
問題2：把頂點在圓心的周角等分為 360 份時，整個圓被分成了多少份？每一份的弧是否相等？為什么？
整個圓被分成了360份，整個圓的
叫做 1°的弧. 因此，1°的圓心角所對的弧是 1°的弧；
反之， 1°的弧所對的圓心角是 1°的角. 一般地，
n°的圓心角所對的弧是 n°的弧；
反之，n°的弧所對的圓心角是 n°的角（如圖 ）.
由此可見，圓心角與它所對的弧有以下關系：
圓心角的度數與它所對弧的度數相等.
[例2]
典例分析
如圖， OA， OC 是⊙O中兩條垂直的半徑， D 是⊙O上的一點.連接 AD 并延長與 OC 的延長線相交于點 B， ∠B = 25°. 求弧 AD，弧CD 的度數.
解：連接 OD . 由已知∠ AOB = 90°， ∠ B = 25°，得 ∠ A = 65°.
∵ OA = OD，∴ ∠ ODA =∠ A = 65°.
于是 ∠ DOA = 180° -（ ∠ ODA +∠ A）
= 180° -（ 65° + 65°）
= 50°.
∴ 的度數為 50°.
∵ 的度數為 90°，
∴ 的度數 =
的度數 -
的度數
= 90°- 50°
= 40°.
B
C
D
O
A
[例3]
典例分析
如圖，在⊙O 中，弦 AB 所對的劣弧為圓的
，圓的半徑為2cm，求 AB 的長.
O
A
B
C
└
歸納小結：已知弧的度數，相當于知道圓心角的度數，所以連半徑構造圓心角的同時也構造出等腰三角形，利用等腰三角形的性質或垂徑定理或勾股定理或三角比來求解.
隨堂檢測
弧、弦、圓心角之間的關系 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
B
64°
隨堂檢測
證明：連接AG.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴AD∥BC.
∴∠EAD=∠ABC，∠DAG=∠AGB.
∵AB=AG,∴∠ABC=∠AGB，
∴∠EAD=∠DAG. ∴ .
課堂小結
圓是中心對稱圖形，圓心是它的對稱中心.
關系定理
在同圓或等圓中，如果兩個圓心角、兩條弧、兩條弦、兩條弦心距中有一組量相等，那么它們所對應的其余各組量都分別相等.
3. 圓心角的度數與它所對弧的度數相等.
作業布置
詳見教材練習題
P72 T1-3 P74 T1-2
謝
謝

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