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第3章 對圓的進一步認識
九年級上冊
3.2 確定圓的條件
課前小測
∠AOB=∠A′OB′
AB= A′B′
∠AOB=∠A′OB′
AB= A′B′
情境引入
問題：已知一條直線垂直平分一條弦，這條直線過圓心嗎？
情境引入
問題1：已知一條直線垂直平分一條弦，這條直線過圓心嗎？
問題2：垂直平分線的性質是什么？它的逆定理是什么？
問題3：經過1個點能畫幾條條直線？兩個點呢？
垂直平分弦的直線必過圓心.
性質：線段的垂直平分線上的任意一點到線段兩端的距離相等.
逆定理：到線段兩端距離相等的點在線段的垂直平分線上.
經過1個點能畫無數條直線，過兩個點有且只有一條直線.
情境引入
經過幾個點能確定一個圓呢？
合作探究
探究一：確定圓的條件
分析：要想畫一個圓，首先找到圓的__________，然后確定圓的 _________ .
問題1：已知一個點 A，經過點 A 作圓. 你能作出多少個圓？這些圓的圓心和半徑能確定嗎？
圓心
半徑
A
經過一點作圓，因圓心和半徑都不確定，所以可作無數個圓（如圖）.
合作探究
探究一：確定圓的條件
問題2：已知兩點 A， B，經過這兩點作圓. 你能作出多少個圓？這些圓的圓心的位置有什么特點？這些圓的半徑能確定嗎？
A
B
經過兩點作圓，也可作無數個圓，這些圓的圓心都在線段 AB 的垂直平分線上，半徑不確定，所以經過兩點能作無數個圓.
合作探究
探究一：確定圓的條件
問題3：已知 A， B， C 是不在同一條直線上的三個點，經過這三點能作圓嗎？如果能，怎樣作出過這三點的圓？
分析：到點A， B， C距離相等的點既在線段 AB 的垂直平分線上，也在線段BC的垂直平分線上，因此這個點是這兩條垂直平分線的交點.
合作探究
已知：如圖， A， B， C 是不在同一條直線上的三個點.
求作：⊙ O，使 A， B， C 三點都在⊙ O 上.
A
C
B
O
l1
l2
作法:(1）連接 AB， BC ；
（2）分別作線段 AB 與 BC 的垂直平分線 l1， l2， l1 與 l2 相交于點O；
（3）以點 O 為圓心，以 OA 為半徑作⊙O .
⊙O 就是所求作的經過 A， B， C 三點的圓.
合作探究
C
l2
A
B
O
l1
∵A， B， C 三點不在同一條直線上，
∴ l1 與 l2 有且只有一個交點 O，
∴圓心 O的位置唯一確定.
由于點 O 到 A， B， C 三點的距離相等，
∴A、B、C在以O為圓心，OA為半徑的圓上.
∴過 A， B， C三個點能作且只能作一個圓.
歸納總結：不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
合作探究
定義
如圖，經過三角形三個頂點的圓叫做三角形的外接圓，外接圓的圓心叫做三角形的外心，這個三角形叫做這個圓的內接三角形.
如圖，⊙ O是△ ABC 的外接圓，或者說△ ABC 內接于圓O . O 是△ ABC 的外心.
三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等. 任何一個三角形都有且只有一個外心.圓有無數個內接三角形.
合作探究
問題: 分別作一個銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形，再作出每個三角形的外接圓. 它們外心的位置與所在的三角形分別有怎樣的關系？
O
歸納小結：銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部.
典例分析
[例1]
如圖，這是古代殘破的古代銅鏡片，你能測出它的半徑嗎？
A
B
C
O
l1
l2
解：如圖，在鏡片邊緣任取三點A、B、C，連接AB和BC，作線段AB和BC的垂直平分線l1，l2，
它倆的交點即為銅鏡所在圓的圓心，
OA（或O點到銅鏡邊緣任意點的連線）的長是這個古代銅鏡片的半徑.
合作探究
探究二：反證法
提出與命題的結論相反的假設，推出矛盾，從而證明命題成立.這種證明的方法叫做反證法.
用反證法證明一個命題，一般有三個步驟：
（1）否定結論——假設命題的結論不成立；
（2）推出矛盾——從假設出發，根據已知條件，經過推理論證，得出一個
與命題的條件或已知的定義、基本事實、定理等相矛盾的結果；
（3）肯定結論——由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.
[例2]
典例分析
證明平行線的性質定理 1： 兩條平行線被第三條直線所截，同位角相等.
已知：如圖 ，直線 AB∥CD，直線 EF 與 AB，CD 分別相交于點 G， H .
求證： ∠ 1 =∠ 2 .
A′
B′
F
A
B
C
D
E
G
H
1
2
根據基本事實“兩條直線被第三條直線所截，如果同位角相等，那么兩直線平行”，可得A'B'∥CD . 這樣，過點 G 就有兩條直線 AB 與 A'B' 與直線 CD 平行. 這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾.
這說明∠ 1 ≠ ∠ 2 的假設是不對的，所以∠ 1 =∠ 2 .
證明 ：假設∠ 1≠ ∠ 2.過點 G 作直線 A'B'，使∠ EGB' =∠ 2.
[例3]
典例分析
證明： 平行于同一條直線的兩條直線平行.
已知：如圖 ，直線 a∥c， b∥c .
求證： a∥b .
a
b
c
P
證明 ：假設直線 a， b 不平行，那么它們相交，設交點為 P .
由已知 a∥c， b∥c，這樣過點 P 就有兩條直線 a， b 與直線 c 平行. 這與基本事實“過直線外一點有且只有一條直線與這條直線平行”矛盾.這說明 a， b 不平行的假設是不對的，所以 a∥b .
歸納小結
運用反證法證明時，關鍵就是在假設結論不成立后，沿著這個假設出發，經過推理論證，得出與已知或已學過的基本事實、定理、概念等相矛盾的結論.
隨堂檢測
確定圓的條件 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
B
B
隨堂檢測
3.用反證法證明命題“三角形的內角中至少有一個不大于60°”時，反設正確的是(　　)
A．假設三內角都不大于60° B．假設三內角都大于60°
C．假設三內角至多有一個大于60° D．假設三內角至多有兩個大于60°
4. Rt△ABC中，∠C＝90°，若AC＝6，BC＝8.則Rt△ABC的外接圓的半徑為 .
5
課堂小結
不在同一條直線上的三個點確定一個圓.
三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點，它到三角形三個頂點的距離相等. 任何一個三角形都有且只有一個外心.
銳角三角形的外心在三角形的內部，直角三角形的外心是斜邊的中點，鈍角三角形的外心在三角形的外部.
4. 用反證法證明一個命題的步驟是什么？
（1）否定結論——假設命題的結論不成立；
（2）推出矛盾——從假設出發，根據已知條件，經過推理論證，得出一個與命題的條件或已知的定義、基本事實、定理等相矛盾的結果；
（3）肯定結論——由矛盾判定假設不正確，從而肯定命題的結論正確.
1.怎樣的點能確定一個圓
2.三角形的外心是怎樣定義的 三角形的外心有怎樣的性質
3.不同形狀的三角形的外心分別在三角形的哪個位置
作業布置
詳見教材練習題
P80 T1-4
謝
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