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第3章 對圓的進一步認識
九年級上冊
3.3 圓周角
第2課時 圓周角定理的推論2，3，4
課前小測
圓周角定理 圓周角等于它所對弧上的圓心角的一半.
圓周角定理的內容是什么？
2. 圓周角定理推論1的內容是什么？
推論1　圓周角的度數等于它所對弧的度數的一半.
情境引入
O
A
B
(1)如下圖，在⊙O中，劣弧AB所對的圓心角有多少個？
劣弧AB所對的圓心角只有一個∠AOB.
(2)它所對的圓周角有多少個？它們什么關系呢？
由此可得：同弧上的圓周角相等.
有無數個.
∵∠ C1， ∠ C2， ∠ C3 的度數都等于 度數的一半，
∴∠ C1 =∠ C2 =∠ C3 .
情境引入
相等的弧所對的圓周角什么關系呢？
合作探究
探究一：圓周角定理的推論2
右圖中如果
，∠C和∠F相等么？反之，也成立嗎？
分析：∵∠ C的度數都等于
度數的一半， ∠F 的度數都等于
度數的一半，
∴∠ C=∠F
∵
由此可得：等弧上的圓周角相等
合作探究
探究一：推論2
分析：∵∠ C的度數都等于
度數的一半， ∠F的度數都等于
度數的一半，
∵∠ C=∠F
∴
由此可得：相等的圓周角所對的弧相等.
歸納小結
推論2 同弧或等弧上的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.
注意：由相等的圓周角得到弧相等時，必須在同圓或等圓中才成立.
或∵
∴∠ C=∠F.
，
幾何語言：∵
=
∴∠ C1 =∠ C2 =∠ C3 .
合作探究
探究二：推論3
（1）在⊙O 中，AB是圓的直徑， 它所對的圓周角∠ACB 的度數是多少？為什么？
分析：因為直徑AB分⊙O為兩個半圓，半圓的度數是180°，
所以∠ACB=
.
由此可得：直徑所對的圓周角是直角.
合作探究
探究二：推論3
（2）∠ ACB 是⊙O的圓周角，∠ ACB = 90°，那么它所對的弦經過圓心嗎？為什么？
因為∠ACB=90°，
所以它所對的弧的度數是180°.
所以AB為直徑.
由此可得：90°的圓周角所對的弦是直徑.
歸納小結
推論3 直徑所對的圓周角是直角；
90°的圓周角所對的弦是直徑.
幾何語言：∵AB是直徑，∴∠C=90°.
逆定理：∵∠C=90°，∴AB是直徑.
典例分析
[例1]
如下圖， AD是△ABC 的高，AE是△ABC 的外接圓直徑，點O為
圓心.△ADC與△ABE相似嗎？說明理由
解 △ ADC ∽△ ABE . 理由如下：
∵ AE 為⊙ O 的直徑，∴ ∠ ABE = 90°.
∵ AD⊥ BC，∴ ∠ ADC = 90°. ∠ ADC = ∠ ABE .
∵ ∠ ACD =∠ AEB，
∴△ ADC ∽△ ABE .
探究二：推論3
同弧或等弧上的圓周角相等是在圓內判斷角的相等關系的重要依據.
已知直徑通常作直徑所對的圓周角，從而得到直角三角形，反之有直角作直徑.
探究三：推論4
典例分析
如下圖，像這樣，所有頂點都在同一個圓上的多邊形叫做圓內接多邊形，這個圓叫做這個多邊形的外接圓. 在圖中，四邊形 ABCD 是⊙O的內接四邊形，⊙O是四邊形 ABCD 的外接圓.
探究三：推論4
典例分析
問題：∠ A 與∠ C 具有怎樣的數量關系？ ∠ B 與∠ D 也具有這樣的數量關系嗎？
分析：因為
與
由圓周角定理可知， ∠ A +∠ C = 180° .
同理， ∠ B +∠ D = 180° .
歸納總結：推論4　圓內接四邊形的對角互補.
的度數之和為360°，
探究三：推論4
[例2]
典例分析
如下圖，四邊形ABCD內接于⊙O，已知∠BOD = 140°，求∠C的度數.
探究三：推論4
[例3]
典例分析
如下圖，△ABC 內接于⊙ O，D，F 分別是
與
上的點， ,
連接 AF 并延長交 CB 的延長線于點 E，連接 AD，CD，
求證： ∠ CAD =∠ E .
證明 ∵
，∴ ∠ BAE =∠ ACD .
∵四邊形 ABCD 是⊙ O 的內接四邊形，
∴ ∠ ABC +∠ D = 180°.
∵ ∠ ABC +∠ ABE = 180°，
∴ ∠ ABE =∠ D ,∴△ CDA ∽△ ABE .
∴ ∠ CAD =∠ E .
拓展
推論4的拓展：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.
E
如圖，四邊形ABCD內接于⊙O，求證：∠CBE=∠ADC.
證明∵四邊形 ABCD 內接于⊙ O，
∴ ∠ ADC +∠ ABC = 180°.
又∵∠ CBE +∠ ABC = 180°，
∴∠CBE=∠ADC.
隨堂檢測
圓周角定理推論2、3、4
課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
B
C
隨堂檢測
8
C
隨堂檢測
5.如圖，AB是半圓O的直徑，AE為弦，C 為
BC交AE于點G．求證：AF＝FC．
的中點，CD⊥AB于點D，交AE于點F，
證明：∵點C是的中點，
∴∠B＝∠CAE，
∵AB是⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，
即∠ACF+∠BCD＝90°，
∵CD⊥AB，
∴∠B+∠BCD＝90°，∴∠B＝∠ACF
∴∠B＝∠CAF＝∠ACF，∴AF＝FC．
課堂小結
推論2 同弧或等弧上的圓周角相等；在同圓或等圓中，相等的圓周角所對的弧相等.
推論3 直徑所對的圓周角是直角；90°的圓周角所對的弦是直徑.
推論4　圓內接四邊形的對角互補.
推論4的拓展：圓內接四邊形的一個外角等于它的內對角.
這三個推論都是圓中證角或邊的最常用的，見到圓周角去找它所對的弧，從而再去找弧所對的圓周角有哪些，已知直徑，首先第一反應是找直角.
作業布置
詳見教材練習題
P89 T1-2
P87 T1-2
謝
謝

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