資源簡介

(共22張PPT)
第3章 對圓的進一步認識
九年級上冊
3.4 直線與圓的位置關系
第4課時 切線長定理
課前小測
城市廣場有一個圓形的噴水池，如圖中的圓環部分是噴水池的圍墻.為了測量圓環的面積，小亮與小瑩取來一根卷尺，拉直后使它與內圓相切，與外圓交于A , B 兩點，量得AB 的長為12 m ，你能由此求出圓環的面積嗎？
A
B
C
O
∵AB與小圓相切于點C，
∴OC垂直平分AB.
解：如圖，連接OA，OC.
情境引入
問題：過圓上一點能作幾條切線？
情境引入
從⊙O上任取一點A，過點A能作圓的幾條切線？
過圓上一點只能作一條切線.
A
情境引入
過圓外一點能作圓的幾條切線呢？
合作探究
探究：切線長定理
問題1：從情境導入圖中⊙O 的切線上任取一點P，過點P作⊙O的切線能作幾條？怎么作呢？
把畫出的圖形沿直線 PO 對折，點 A關于 PO 的對稱點 B 在⊙O 上.連接PB，則 PB 與⊙O 相切，點 B 是切點，由于 PA 與 PB關于 PO 成軸對稱，可以發現經過圓外一點可以畫圓的兩條切線PA， PB，并且PA = PB .
A
P
O
B
合作探究
探究：切線長定理
問題2：能證明你的結論是正確的嗎？
如下圖，已知 P 是⊙O 外一點， PA 是⊙O 的切線. 過切點 A 作 PO 的垂線，垂足為點 C，交⊙ O 于點B，連接 PB， OA， OB.
A
P
O
B
C
解：∵ OA = OB， OP⊥ AB，
∴ ∠ AOP =∠ BOP . ∵ OP = OP，
∴ △ OPA ≌△ OPB（ SAS）.
∵ ∠ OAP = 90°，
∴ ∠ OBP =∠ OAP = 90°.
∴ PB 是⊙ O 的切線，且 PA = PB .
B
合作探究
定義：
經過圓外一點可以畫圓的兩條切線，這點與其中一個切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
歸納小結：
切線長定理
過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等.
幾何語言
∵PA，PB是圓的切線，
∴PA=PB.
問題3：切線與切線長有區別嗎？
有區別：切線是直線，是圖形，不能度量;
切線長是線段的長，可以度量.
典例分析
[例1]
如下圖，P 為⊙O 外一點， PA， PB 是⊙O 的兩條切線，A，B 是
切點， BC 是⊙ O 的直徑.
（1）求證： AC∥OP；
（2）如果∠ APB = 70°，求
的度數.
A

P

B

O

C

D
∵ PA， PB 分別切⊙ O 于 A， B 兩點.
∴ OA = OB， PA = PB， OP = OP，△ AOP ≌△ BOP .
∴ ∠ OPA =∠ OPB， OP 平分∠ APB .
∴ PD⊥AB， ∠ PDA = 90°.
又∵ BC 是⊙ O 的直徑，∴ ∠ CAB = 90°.∴ AC ∥ OP .
（1）證明：連接 OA， AB， AB 交 PO 于點 D .
典例分析
A

P

B

O

C

D
[例1]
如圖，P 為⊙O 外一點， PA， PB 是⊙O 的兩條切線，A，B 是切點， BC 是⊙ O 的直徑.
（1）求證： AC∥OP；
（2）如果∠ APB = 70°，求
的度數.
[例2]
典例分析
如圖，P是⊙O外一點，PA、PB分別和⊙O切于A、B兩點，PA=PB=4 cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一點，過點C作⊙O的切線，分別交PA、PB與點D、E，試求：
（1）△PDE的周長；（2）∠DOE的度數.
解：(1) ∵ PA、PB、DE是切線,
∴ PA=PB，AD=DC，EC=BE,
∴PD+PE+DE=PD+PE+DC+CE=PA+PB=8 cm.
典例分析
∵ PA、DE是切線∴ ∠OAD=∠OCD=90
又∵OA=OC，OD=OD∴⊿ ADO≌⊿ COD
∴∠DOA=∠DOC。同理 ∠COE=∠BOE
∴∠DOE=∠AOB
∵PA、PB是切線∴ ∠OAP=∠OBP=90
∴∠AOB=180°-∠P=140 ， ∴∠DOE= ∠AOB=70
（2）連接OA、OB、OC.
[例2]
如圖，P是⊙O外一點，PA、PB分別和⊙O切于A、B兩點，PA=PB=4 cm，∠P=40°，C是劣弧AB上任意一點，過點C作⊙O的切線，分別交PA、PB與點D、E，試求：
（1）△PDE的周長；（2）∠DOE的度數.
歸納小結
例1和例2都是切線長定理的應用，當已知一條切線時，連半徑，得垂直.已知過圓外一點的兩條切線時，重點用切線長定理的結論，切線長相等來推理.
隨堂檢測
切線長定理 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
1. 如圖，正方形ABCD 邊長為4cm，以正方形的一邊BC 為直徑在正方形ABCD 內作半圓，過A 作半圓的切線，與半圓相切于F點，與DC 相交于E點，則△ADE 的面積（　　）
12 B．24 C．8 D．6
D
隨堂檢測
2. 如圖，PA、PB為⊙O的切線，切點分別為A、B，PO交AB于點C，PO的延長線交⊙O于點D，下列結論不一定成立的是 (　 　)
A．PA＝PB B．∠BPD＝∠APD C．AB⊥PD D．AB平分PD
D
隨堂檢測
3．如圖，⊙O分別切∠BAC的兩邊AB，AC于點E，F，點P在優弧EDF上．若∠BAC＝66°，則∠EPF= 度．
57°
隨堂檢測
4.如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，連接OA并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D.
(1)求證：PO平分∠APC；
(2)連接DB，若∠C=30°，求證：DB∥AC.
證明:（1）連接OB
∵PA、PB是⊙O的切線，∴PA=PB.
∵AO=BO，PO=PO.
∴Rt△PAO≌Rt△PBO.∴∠APO=∠BPO.
即PO平分∠APC.
隨堂檢測
（2）由（1）可知Rt△PAO≌Rt△PBO，∴∠AOP=∠BOP.
∵PB是⊙O的切線，∴∠OBC=90°.
∵∠C=30°，∴∠BOC=60°.
∴∠BOD=60°.∵OB=OD,
∴∠OBD=60°.∴∠OBD=∠BOC.∴DB∥AC.
4.如圖，PA，PB是⊙O的切線，A，B為切點，連接OA并延長，交PB的延長線于點C，連接PO，交⊙O于點D.
(1)求證：PO平分∠APC；
(2)連接DB，若∠C=30°，求證：DB∥AC.
課堂小結
一、定義：經過圓外一點可以畫圓的兩條切線，這點與其中一個切點之間的線段的長，叫做這點到圓的切線長.
二、切線長定理 過圓外一點所畫的圓的兩條切線長相等.
幾何語言:∵PA，PB是圓的切線，
∴PA=PB.
切線是直線，不能度量;切線長是線段的長，可以度量.
作業布置
詳見教材練習題
P98 T1-2
謝
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