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(共22張PPT)
第3章 對圓的進一步認識
九年級上冊
3.5 三角形的內切圓
課前小測
A
B
C
O
．
1.如右圖，△ABC與⊙O有什么關系？
△ABC 是⊙O的內接三角形. ⊙O是△ABC的外接圓.
2.圓心O是△ABC的___________,是________________的交點，到________________的距離相等.
外心
三邊垂直平分線
三個頂點
3.角平分線的性質定理和逆定理是什么？
角平分線上的點到角兩邊的距離相等.
到角兩邊距離相等的點在角的平分線上.
情境引入
問題1：如下圖，三塊完全相同的三角形木料，需要從上面裁下一個圓形的木塊，哪一個圓面積最大？
A
B
C
圖C的圓的面積最大
情境引入
問題2：同學們你知道怎樣正確畫出裁剪圖嗎？
這就是本節課要探究的內容.
合作探究
探究：三角形的內切圓
問題1： 如圖，在∠ AOB內作圓，使其與兩邊 OA， OB 都相切，滿足上述條件的圓是否可以作出？如果可以作出，能作多少個？所作出的圓的圓心的位置有什么特征？
可以作出.
并且可以作無數個..
其中每個圓的圓心到∠ AOB的兩邊的距離都分別相等，所以這些圓的圓心都在∠ AOB的平分線上.
合作探究
探究：三角形的內切圓
問題2：任意作一個△ ABC，在三角形內作圓，使其與各邊都相切，滿足上述條件的圓是否可以作出？如果可以作出，能作多少個？所作出的圓的圓心的位置有什么特征？
由問題1可知，圓心在角的平分線上， 而三角形的三條角平分線相交于同一點，只需作任意兩個角的平分線，交點即為圓心.所以只能作一個.
因為任意三角形的三條角平分線的交點都在三角形內部，所以圓心只能在三角形內部.
可以作出.
合作探究
探究：三角形的內切圓
問題3：怎樣用尺規作一個圓，使它與△ ABC 的各邊都相切呢？
已知：△ ABC.
求作：⊙ I，使它與△ ABC 各邊都相切.
A
B
C
I
D
E
F
3. 以I為圓心， IF為半徑作圓.
⊙I 就是所求作的圓.
1. 作∠ B， ∠ C 的平分線 BD， CE， BD 與 CE 相交于點I；
2. 過點I作IF⊥ BC，垂足為點F；
作法：
合作探究
探究：三角形的內切圓
問題4：你能說出上面作圖的道理嗎？與三角形各邊都相切的圓有幾個？
由作法可知，與三角形的各邊都相切的圓能作并且只能作出一個.
三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點，它到三角形各邊的距離相等.
任何一個三角形都有且只有一個內心，
三角形的內心在三角形的內部.
歸納小結
定義：與三角形各邊都相切的圓叫做三角形的內切圓，
內切圓的圓心叫做三角形的內心，
這個三角形叫做圓的外切三角形.
內心性質：
三角形的內心是三角形的三條角平分線的交點，它到三角形各邊的距離相等.任何一個三角形都有且只有一個內心，三角形的內心在三角形的內部.
典例分析
[例1]
如圖，O是△ABC的內心，過點O作EF∥AB，與AC，BC分別交于E、F兩點，則（ ）
A. EF>AE+BF B. EF∵O是△ABC的內心，
∴OA、OB分別是∠CAB與∠ABC的平分線，
∴∠EAO=∠OAB，∠ABO=∠FBO.
∵EF∥AB，∴∠AOE=∠OAB，∠BOF=∠ABO.
∴∠EAO=∠AOE，∠FBO=∠BOF.
∴AE=OE，OF=BF.∴EF=AE+BF.故選C.
O
A
B
C
E
F
分析：如圖，連接OA，OB.
C
探究：三角形的內切圓
[例2]
典例分析
如下圖，在△ ABC 中， ∠ A = 68°，點 I 是內心.
(1) 求∠ BIC 的度數.
探究：三角形的內切圓
典例分析
（2）若∠A=50 °，則∠BIC = °.
（3）若∠BIC=120 °，則∠A = °.
115
60
[例2]
歸納小結
三角形的內心是三條角平分線的交點，所以三角形的內心已知時，
三角形頂點和內心的連線平分三角形的內角.
例2利用了這一性質和三角形內角和定理.
如果在△ ABC 中，點 I 是內心.
則
隨堂檢測
三角形的內切圓 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
D
隨堂檢測
B
隨堂檢測
115°
100°
隨堂檢測
4.如圖，已知△ ABC 的三邊長分別為 a， b， c，它的內切圓半徑為 r . 切點分別為D，E，F.求△ ABC的面積.
A
B
C
O
a
b

c

D
E
F
解：連接OA，OB，OC，OD，OE，OF.
因為是內切圓，所以半徑r (OD ) ⊥a，同理OE ⊥c，OF ⊥b. 所以
隨堂檢測
5. 已知 Rt△ ABC 的兩條直角邊 AC， BC 的長分別為 b， a . ∠C=90°，求它的內切圓半徑r.
A
B
C
D
E
F
a

b
c
O
r
r
r
∵OD⊥AC ,OE⊥BC,AC⊥BC，∴四邊形CDOE是矩形.
∵OD=OE=r，∴四邊形CDOE是正方形.∴CD=CE=r.
∵BE和BF 與⊙O相切，∴BE=BF=a-r.同理AF=AD=b-r.
∴AB=AF+BF=a-r+b-r=c.
∴
解：如圖，作∠A，∠B，∠C的角平分線交于點O，點O即為內心.
過點O作OD⊥AC ,OE⊥BC,OF⊥AB,OD,OF,OE即為內切圓半徑r.
課堂小結
圖2
3. 直角三角形內切圓半徑r和三邊關系：
內接
外接
外心
三邊垂直平分線
三角形三個頂點
2
外切
內切
內
三條角平分線
三角形各邊
作業布置
詳見教材練習題
P103 T1-2
謝
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