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第3章 對圓的進一步認識
九年級上冊
3.7 正多邊形與圓
課前小測
1.三角形外心的性質？內心的性質？
3.你還記得什么叫正多邊形嗎？說出你常見的幾種正多邊形.
外角和恒等于360°.
各邊相等、各角也相等的多邊形叫作正多邊形.
2.n邊形的內角和是多少？外角和呢？
三角形的外心是三邊垂直平分線的交點，到三個頂點的距離相等；
內心是三條角平分線的交點，到三邊的距離相等.
情境引入
（1）它們都是軸對稱圖形嗎？如果是，分別畫出每個圖形所有的對稱軸，
并說出這些對稱軸是怎樣的直線.
它們都是軸對稱圖形.
合作探究
探究一： 正多邊形的對稱性和有關概念
一．正多邊形的軸對稱性
（1）正三角形有幾條對稱軸？正四邊形、正五邊形、正六邊形呢？由此你能猜測正 n 邊形有幾條對稱軸嗎？各條對稱軸有怎樣的特征？由此猜測正多邊形有什么性質？
正三角形有3條對稱軸，正四邊形有4條對稱軸，正五邊形有5條對稱軸，正六邊形有6條對稱軸，由此猜測正n邊形有n條對稱軸。
正多邊形的各條對稱軸相交于一點，這點到正多邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相等.
合作探究
探究一： 正多邊形的對稱性和有關概念
（2）利用尺規分別畫出正方形、正六邊形的外接圓和內切圓，它們的外接圓與內切圓有什么特征？你猜測正多邊形都有外接圓和內切圓嗎？如果有，它們的外接圓與內切圓有什么特征？
任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓，圓心
是各對稱軸的交點.
合作探究
探究一：定義
正多邊形的外接圓和內切圓的公共圓心叫做正多邊形的中心. 如圖，圓心O是正方形和正六邊形的中心.
外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.如圖1，OA、OB是正方形的半徑，圖2中OA、OB是正六邊形的半徑.
內切圓的半徑叫做正多方形的邊心距.圖1中OP是正方形的邊心距；圖2中OP是正六邊形的邊心距.
正多邊形每一邊所對的外接圓的圓心角叫做正多邊形的中心角，
正 n 邊形的每個中心角都等于 .
圖1中正方形的中心角是∠AOB=90°；圖2中正六邊形的中心角是∠AOB=60°.
圖1
圖2
（1）正多邊形的中心：
（2）正多邊形的半徑:
（3）正多方形的邊心距:
（4）正多邊形的中心角：
合作探究
三．圓的中心對稱性
（1）正 n 邊形的 n 條半徑把正 n 邊形分成了 n 個怎樣的圖形？相應的邊心距把其中每一個圖形又分成了兩個怎樣的圖形？
正n邊形的n條半徑把正n邊形分成了n個全等的等腰三角形，每個等腰三角形又被相應的邊心距分成了兩個全等的直角三角形.
合作探究
（2）如果正三角形的邊長為 a，那么它的外接圓的半徑 r 和內切圓的半徑 d 分別是多少？一般地，如果正 n 邊形的邊長為 an，半徑為 rn，邊心距為 dn，這三個量之間有什么關系？
三．圓的中心對稱性
合作探究
（3）以正 n 邊形的中心 O 為旋轉中心，將正 n 邊形旋轉 ,
你能得到什么結論？
跟原圖形重合.
三．圓的中心對稱性
合作探究
（4）正 n 邊形是中心對稱圖形嗎？
當 n 為偶數時，正 n 邊形是中心對稱圖形，它的中心 O 是對稱中心. 當 n 為奇數時，正n邊形不是中心對稱圖形.
三．圓的中心對稱性
典例分析
[例1]
一個正六邊形花壇的半徑為 R，求花壇的邊長 a，周長 p 和面積 S .
A
B
C
D
E
F
O
R
G
解 如上圖， ABCDEF 為正六邊形. 連接OA， OB，作 OG⊥ AB，垂足為點 G，則 OA = OB = R，AB = a .
在等腰三角形 AOB 中，
通過作出正多邊形的半徑和邊心距，可以把正多邊形的有關計算問題轉化為解
直角三角形的問題.
歸納小結
1.正多邊形的軸對稱性
（1）正多邊形都是軸對稱圖形，一個正n 邊形有n 條對稱軸.
（2）正多邊形的各條對稱軸相交于一點，這點到正多邊形的各個頂點的距離相等，到各邊的距離也相等.
（3）任何正多邊形都有一個外接圓和一個內切圓，這兩個圓是同心圓，圓心
是各對稱軸的交點.
2. 正多邊形的中心，中心角、半徑、邊心距的概念及它們之間的關系.
3. 正多邊形的中心對稱性
當 n 為偶數時，正 n 邊形是中心對稱圖形，它的中心 O 是對稱中心. 當 n 為奇數時，正n邊形不是中心對稱圖形.
合作探究
探究二：正多邊形的畫法
如下圖， A， B， C， D， E 都是⊙ O 上的點，且∠ AOB =∠ BOC =∠ COD =∠ DOE .
（3）由（1）與（2），你能將圓周 n 等分嗎？你能設計一種畫正 n 邊形的方法嗎？與同學交流.
分析：設計如圖所示，畫一個圓，記為⊙ O .
（1）用量角器畫一個
的圓心角∠ A1OA2；
（2）以點 A2 為圓心，以弦 A2A1 為半徑在⊙ O 上截得點 A3 ；
（3）以點 A3 為圓心，以弦 A2A1 為半徑在⊙ O 上截得點 A4， 這樣繼續下去，就可以把⊙ O 分成 n 等份.
（4）順次連接這 n 個分點，就得到一個正 n 邊形.
用這種方法可以畫出任意一個正n邊形，然而，由量角器所畫的角是近似的，因此所畫出的正n邊形也只能是近似的.
探究二：正多邊形的畫法
[例2]
典例分析
用直尺和圓規作圓的內接正方形.
已知：⊙O.
求作：⊙O 的內接正方形ABCD .
作法 ：（1）過圓心 O 作⊙ O 的任意一條直徑 AC .
（2）過點 O 作 AC 的垂線，交⊙ O 于 B， D 兩點.
（3）順次連接點 A， B， C， D， A（如上圖）.
四邊形 ABCD 就是所求作的⊙ O 的內接正方形.
探究二：正多邊形的畫法
[例3]
典例分析
用直尺和圓規作圓的內接正六邊形.
已知：⊙ O.
求作：⊙ O的內接正六邊形.
作法 ：（1）如圖，在⊙ O 上任取一點 A，自點 A 起依次截取長度等于半徑 OA 的弦，得到點 B， C， D， E， F .
（2）順次連接點 A， B， C， D， E， F， A .
六邊形 ABCDEF 就是求作的⊙ O 的內接正六邊形.
歸納小結
畫正多邊形有兩種作法:
一是求出中心角，在圓中用量角器畫出這個中心角,再用圓規在圓上依次截取等弧即可得正多邊形.
二是用尺規作圖，但只限于一些特殊的正多邊形，如例2作正方形，在例2的基礎上，再作中心角的角平分線，可以得到正八邊形，正十六邊形等；如例3的方法作正六邊形，取三個點可以作正三角形，作正六邊形的中心角的平分線可以得到正十二邊形，繼續作角平分線可得正二十四邊形等.
隨堂檢測
正多邊形與圓 課堂評價測試
同學們要認真答題哦！
隨堂檢測
A
A
隨堂檢測
B
B
60°
1
120°
隨堂檢測
6.在學習圓與正多邊形時，馬露、高靜兩位同學設計了一種畫圓內接正三角形的方法：
(1)如圖，作直徑AD；
(2)作半徑OD的垂直平分線，交⊙O于B，C兩點；
(3)連接AB，AC，那么△ABC為所求的三角形.
請你判斷兩位同學的作法是否正確，如果正確，請你按照兩位同學設計的畫法，畫出△ABC，然后給出△ABC是等邊三角形的證明過程；如果不正確，請說明理由.
A
B
C
D
E
∵BC垂直平分OD，
∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝ ＝ .
∴∠BOE＝60°.由垂徑定理得∠COE＝∠BOE＝60°.
∵AD為直徑，∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，即△ABC為等邊三角形.
解 根據題意畫圖.兩位同學的方法正確.
連BO，CO，設BC交AD于點E.
課堂小結
正多邊形是軸對稱圖形
正多邊形的中心對稱性
當 n 為偶數時，正 n 邊形是中心對稱圖形，它的中心 O 是對稱中心.
當 n 為奇數時，正n邊形 不是中心對稱圖形.
概念:正多邊形的半徑，邊心距，邊長，中心，中心角以及它們之間的關系.
4. 正多邊形的畫法
作業布置
詳見教材練習題
P112 T1-2
謝
謝

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