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(共26張PPT)
北師大版 初中數學九年級下
第二章 二次函數
2.3 確定二次函數的表達式
復習回顧
二次函數y=ax2+bx+c的圖象與a、b、c的關系
字母符號 圖象的特征
a＞0 開口_____________________
a＜0 開口_____________________
b=0 對稱軸為_____軸
a、b同號 對稱軸在y軸的____側
a、b異號 對稱軸在y軸的____側
c=0 經過原點
c＞0 與y軸交于_____半軸
c＜0 與y軸交于_____半軸
頂點坐標
向上
向下
y
左
右
正
負
復習回顧
1.一次函數y=2x 3與y軸的交點
坐標是_________.
A.（ 3，0） B.（0， 3）
C.（3，0） D.（0，3）
2.二次函數y=x2 2x+c的圖象如圖所示，則該二次函數的表達式是_____________.
B
y=x2 2x 1
1.一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是_________，
與y軸的交點坐標是_________.
(0，b)
當b=0時，正比例函數y=kx(k≠0)圖象必過_________.
一條直線
(0，0)
2.二次函數表達式的一般形式是
______________________________________.
y=ax +bx+c (a,b,c為常數,a ≠0)
二次函數的圖象是______________.
與y軸的交點坐標是_________.
(0，c )
當______時，拋物線過原點.
c=0
一條拋物線
c= 1
練習一
知識回顧一
2k+b= 12
k+b=3
探索新知
∴一次函數的解析式為_________
3.一次函數y=kx+b(k≠0)有____個待定系數，通常需要已知____個點的坐標求出它的表達式．
2
2
反比例函數
(k≠0)需要已知
____個點的坐標求出它的表達式．
1
3.已知一次函數經過點(1，3)和(-2，-12)，
求這個一次函數的解析式。
解：設這個一次函數的解析式為_______
∴
∵該函數圖象經過點(1，3)和( 2， 12)，
解得_________
y=5x 2.
求一次函數表達式的方法是________________.一般步驟是：
待定系數法
(4)還原:(寫表達式)
(1)設:(表達式)
(2)代:(坐標代入)
(3)解:方程(組)
y=kx+b,
k=5，b= 2
練習一
知識回顧一
∴所求二次函數表達式為
探索新知
y= 2x2 -5 .
∴
　　已知二次函數 y＝ax2 + c 的圖象經過點(2，3)和(－1,－3)，求這個二次函數的表達式．
解:∵該圖象經過點（2，3）和(－1，－3)，
4a+c
a+c
a= ,
c= .
解得
{
{
例1
函數解析中有____個待定系數，需要已知____個點的坐標求出它的表達式．
2
2
b=0
兩個待定系數
兩個已知點
2
－5
=
=
3
－3
用一般式確定二次函數表達式
探索新知
　 已知二次函數的圖象與y軸交點的縱坐標為 ，且 經過點(2，5)和( 2，13)，求這個二次函數的表達式．
∴這個二次函數的表達式為_______________
二次函數 (a ≠0)有____個待定系數，通常需要已知____個點的坐標求出它的表達式．
3
解：設這個二次函數的表達式為_________________
y＝2x2－2x+1.
4a－2b+c＝13，
c＝1,
4a+2b+c＝5，
解得
b＝－2，
c＝1，
a＝2，
y=ax +bx+c
1
方法一：
用一般式確定二次函數表達式
3
依題意得
探索新知
∴
　 已知二次函數的圖象與y軸交點的縱坐標為 ，且 經過點(2，5)和( 2，13)，求這個二次函數的表達式．
解:∵該圖象與y軸交點的縱坐標為1
4a+2b+1=5，
4a－2b+1=13，
∴所求二次函數表達式為 y=2x2－2x+1.
a=2，
b=－2.
解得
{
{
做一做
又∵該圖象經過點（2，3）和(－2，13)，
∴設這個二次函數的表達式為
y＝ax2＋bx＋
1
1
方法二：
用一般式確定二次函數表達式
探索新知
用一般式確定二次函數表達式
（1)求二次函數 y=ax2+bx+c 的解析式，關鍵是求出系數a，b，c的值。
（2）已知二次函數 y=ax +bx+c 中的一項系數時，再知道兩個點的坐標，就可以確定二次函數的表達式。
方法小結一
復習回顧
知識回顧二
1.拋物線y＝ x2+2的頂點坐標是____
A.（ 2，0） B.（0， 2）
C.（2，0） D.（0，2）
2.拋物線y＝ x2+2的對稱軸是____
A. x 軸 B. y 軸
C.直線 x= 1 D.直線 x=2
表 達 式 頂 點 對 稱 軸
y＝ax2 (a≠0) (0，0) y 軸(直線 x=0)
y＝ax2+c (a≠0) (0，c) y 軸(直線 x=0)
y＝a(x h)2 (a≠0) (h，0) 直線 x=h
y＝a(x h)2+k (a≠0) (h，k) 直線 x=h
3.點( 1，2)二次函數y＝ax2的圖象上，則這個二次函數的解析式是__________
拋物線頂點的橫坐標為0，
對稱軸是y軸
y＝2x2
練習二
D
B
復習回顧
知識回顧二
表 達 式 頂 點 對 稱 軸
y＝ax2 (a≠0) (0，0) y 軸(直線 x=0)
y＝ax2+c (a≠0) (0，c) y 軸(直線 x=0)
y＝a(x h)2 (a≠0) (h，0) 直線 x=h
y＝a(x h)2+k (a≠0) (h，k) 直線 x=h
　　　　　　　　　　　　　　　則可設該拋物線的解析式為_____________,
如果點(0，12)在該拋物線上，那么該拋物線的表達式是____________.
y＝2(x 3)2 6
練習二
y＝a(x 3)2 6
4.拋物線的頂點是(3， 6)，
當x＝3時，二次函數的最大值是 6，
拋物線的對稱軸是直線x=3，拋物線與對稱軸交點縱坐標是 6，
例題精講
例3 已知拋物線的頂點坐標為(2， 1)，與y軸交于點(0， 3)，求這條拋物線的表達式.
解：設拋物線的表達式為__________________
∵拋物線與y軸交于點(0，3)
y＝a(x 2)2 1，
∴__________________
(0 2)2 a 1＝ 3，
解得，___________
∴這條拋物線的表達式為：____________________.
例2
例2：如圖2-7是一名學生推鉛球時，鉛球行進高度y(m)與水平距離x(m)的圖象，你能求出y與x之間的關系式嗎？
解：根據圖象是一拋物線且頂點坐標為（4，3），
因此設它的關系式為
又∵圖象過點（10，0）
∴
解得：
∴圖象的表達式為
例題精講
例3
方法小結二
已知拋物線的頂點坐標、對稱軸或函數的最值時，通常運用頂點式y＝a(x－h)2＋k來確定二次函數的表達式；
探索新知
1.已知二次函數y=x2＋bx＋c的圖象經過(1，3)，(0，1)兩點，求這個二次函數的表達式．
例題精講
例4
方法小結三
探索新知
已知二次函數y=ax +bx+c中的一項系數時，再知道兩個點的坐標，就可以確定二次函數的表達式
例題精講
3.已知拋物線與x軸交于A（-1，0），B（1,0）并經過點M（0,1），求拋物線的解析式？
例5
4.已知拋物線y=ax2+bx+c的圖象過點（0,0）、（12,0），最低點的縱坐標為-3,求該拋物線的解析式
例題精講
例6
方法小結二
探索新知
當拋物線與x軸有兩個交點為（x1,0）,(x2,0)時，二次函數y=ax2+bx+c可以轉化為交點式y=a(x-x1)(x-x2).
可設函數的解析式為y=a(x-x1)(x-x2)，在把另一個點的坐標代入其中，即可解得a，求出拋物線的解析式。
1．一拋物線和拋物線y＝－2x2的形狀、開口方向完全相同，頂點坐標是( -1 ，3)，則該拋物線的表達式為(　　)
A．y＝－2(x－1)2＋3 　B．y＝－2(x＋1)2＋3
C．y＝2(x＋1)2＋3　 D．y＝－(2x－1)2＋3
鞏固練習
B
鞏固練習
2.如圖，二次函數 y=x2+bx+c的圖象經過A、B兩點，求該拋物線的表達式.
解：根據圖象可得c=3,Ｂ點坐為（－3，0）
解得：b=4
9－3b+3=0，
∴該拋物線的表達式為 .
y=x2+4x+3
鞏固練習
4．一拋物線和拋物線y＝－2x2的形狀相同、開口方向相反，頂點坐標是(3,－4)，則該拋物線的表達式為__________________.
3．已知拋物線y＝－2x2＋mx+1經過(2，5)，則這個二次函數的表達式是 .
鞏固練習
5. 已知二次函數y=x2+bx+c的圖象經過(1，1)與(2, 3)兩點，求這個二次函數的表達式；
鞏固練習
6.已知二次函數圖象過點（1,0）,（3,0），與y軸于（0,3），求這個二次函數的表達式。
鞏固練習
7.拋物線的圖象如圖所示，其中點A為頂點．求寫出點A，B的坐標，并求出拋物線的解析式．
鞏固練習
8.若y=ax2+bx+c,則由表格中信息可知,y與x之間的函數表達式為(　　)
x -1 0 1
ax2 1
ax2+bx+c 8 3
A.y=x2 4x+3 B.y=x2 3x+4 C.y=x2 3x+3 D.y=x2 4x+8
A
鞏固練習
9. 如圖，已知拋物線y＝x2＋bx＋c的頂點坐標為M(0，－1)，與x軸交于A，B兩點．
(1)求拋物線的函數表達式；
(2)判斷△MAB的形狀，并說明理由．

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