資源簡介

七年級數學第二章導學案
2.3整式的概念
第1課時　整式的概念
一.學習目標
1.理解單項式的相關概念,并能準確地找出單項式的系數、次數.
2.理解多項式和整式的概念，能準確迅速地確定一個多項式的項數和次數.
3.能用單項式表示具體問題中的數量關系.
4.在整式概念的形成過程中,體會抽象的數學思想,提高觀察、分析、歸納、概括的能力.
二.自主預習
1.用代數式表示下列數量：
(1)若正方形的邊長為a，則正方形的面積是_______ ；
(2)若x表示正方體的棱長，則正方體的體積是_______；
(3)若m表示一個有理數，則它的相反數是_______；
(4)小明從每月的零花錢中貯存x元錢捐給希望工程，一年下來小明捐款_______元.
2.填空
(1)單項式－5y的系數是____，次數是____；
(2)單項式2a3b的系數是_____，次數是_____.
(3)多項式有_____項，它們分別是_______.其中常數項是______，它是一個___次_____項式.
(4)多項式a3－a2b＋ab2－b3的項數為_______，次數為_______.
(5)多項式3n4－2n2＋1的次數為________，常數項為_________.
三.探究新知
探究點一.單項式的相關概念
1.用含有字母的式子填空,并觀察特點:
（1）以8km/h的平均速度行走th的路程是 ;
（2）半徑為r的圓的面積是 ；
（3）底面是邊長為x的正方形，高為y的長方體的體積是 .
(4)鉛筆的單價為x元,圓珠筆的單價是鉛筆單價的2.5倍,圓珠筆的單價是　 　元.
問題 上述代數式中含有加減運算嗎？只含哪些運算？
思考:觀察上面各式中運算有什么共同特點
歸納:
小結：
(1)由數與字母及其冪的 組成的代數式叫作單項式,單獨的 也可看作單項式，并約定一個不為0的數的其次數為0.例如:2024,a,等是單項式，而,1+x都不是 ;
(2)單項式的系數、次數:
單項式中數與字母相乘,其中這個數叫作單項式的系數，例如6a2的系數是 ,a3的系數是 ,-n的系數是 ,-的系數是 ；
所有字母的 叫作單項式的次數.例如,2.5x中字母x的指數是 ,2.5x是一次單項式;vt中字母v與t的指數和是2,vt是 單項式,-ab2c中字母a,b,c的指數和是4,-ab2c是 單項式.
問題1 單獨一個字母是單項式嗎？它的系數和次數分別是多少？
問題2 單項式書寫注意哪些問題？
問題3 ,,-16x哪些是單項式 是單項式的寫出其系數和次數.
【方法歸納】判斷單項式的方法
(1)單獨一個數或一個字母也是單項式.
(2)不含加減運算，單項式只能含有乘積或乘方運算.
(3)單項式數字因數與字母可能一個或多個.
(4)可以含有除以數的運算（可看作乘這個數的倒數），不能含有除以字母的運算．
例1.判斷下列各式是否是單項式，如果不是，請簡要說明理由;如果是，請指出它的系數與次數.
(1) x+1;(2);(3)πr2;(4)-a2b.
探究點二.多項式的相關概念
1.圖是由一個長方形和一個半圓組成，已知長方形的長為x，寬為y，半圓的直徑為y.
(1)長方形的面積為 ；
(2)半圓的面積為 ；
(3)由長方形和半圓組成的圖形的面積為 .
2.問題1　列式表示下列數量:
(1)買一個籃球需要x元,買一個排球需要y元,買一個足球需要z元,那么買3個籃球、5個排球、2個足球共需要　 　元.
(2)如圖(1)所示,三角尺的面積為　 　.
(3)如圖(2)所示的是一所住宅區的建筑平面圖,這所住宅的建筑面積是　 　m2.
圖(1)　圖(2)
問題1　上述幾個式子都是單項式嗎 若不是單項式，它有什么共同特點
問題2 多項式中不含分母的項怎么定義？
問題3 多項式的次數怎么定義？
問題4一個多項式的最高次項一定只有一項嗎？
例2.說出下列多項式的項，次數和常數項.
(1)2x－3；
(2)﹣x3+7x－4；
(3)3x2－5xy+y2-4x＋6y－9.
例3.已知-5xm+104xm+1-4xmy2是關于x,y的六次多項式,求m的值,并寫出該多項式.
變式　若關于x的多項式-5x3-mx2+(n-1)x-1不含二次項和一次項,求m,n的值.
四.運用新知
1.下列說法中,正確的是( )
A.單項式的系數是-2,次數是3
B.單項式a的系數是0,次數是0
C.-3x2y+4x-1是三次三項式,常數項是1
D.單項式-的次數是2,系數是-
2.如果-axyb是關于x,y的四次單項式,且系數為7,那么a+b=　　.
3.若關于x的多項式(a-4)x3-x2+x-2是二次三項式,則a=　　 .
4.下列整式中哪些是單項式 哪些是多項式 是單項式的指出系數和次數,是多項式的指出項和次數:
-a2b,,x2+y2-1,x,32t3,,3x2-y+3xy3+x4-1,2x-y.
5.多項式-3a2b3+5a2b2-4ab-2共有幾項,多項式的次數是多少 第三項是什么,它的系數和次數分別是多少
五.達標測試
1.下列式子中,是單項式的是( )
A. B. C.a2+3b3 D.
2.下列各式:1-3x2,-x3,,-,π+a,0,-x2+y2-1.其中是整式的有( )
A.7個 B.6個 C.5個 D.4個
3.若單項式-a2bm與-x3y4是次數相同的單項式,則m的值為　 　.
4.有一塊長為x m,寬為y m的長方形草坪,在草坪中間有一條寬為2m的人行道,形狀如圖所示,則這塊草坪的實際綠化面積是　　m2.
5.已知（a-1）是關于x，y的五次單項式，求這個單項式的系數．
6.已知多項式a3＋ab4－am+1b－6是六次多項式，單項式2xy3n與該多項式的次數相同，求m2＋n2的值．
參考答案
達標檢測
1.B 2.B 3.5 4.(xy-2y)
5.解：依題意得m＋1＋1＝6，1＋3n＝6，
則m＝4，n＝．
所以m2＋n2＝42＋()2=18 .
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情境導入
情境導入
港珠澳大橋是集主橋、海底隧道和人工島為一體的世界上最長的跨海大橋.一輛汽車從香港口岸行駛到東人工島的平均速度為96km/h，在海底隧道和主橋上行駛的平均速度分別為72 km/h和92 km/h.請根據這些數據回答:
汽車在主橋上行駛th的路程是多少千米
觀察所列式子包含什么運算,有什么特點.
壹
92t
新知初探
新知初探
探究一　單項式的相關概念
用含有字母的式子填空，并觀察特點：
（1）以8km/h的平均速度行走th的路程是 ;
（2）半徑為r的圓的面積是 ；
（3）底面是邊長為x的正方形，高為y的長方體的體積是 .
（4）鉛筆的單價為x元,圓珠筆的單價是鉛筆的單價2.5倍,圓珠 筆的單價是 元.
2.5x
貳
8t


問題
問題1 上述代數式中含有加減運算嗎？只含哪些運算？
解：上述代數式中不含有加減運算，只含數與字母的冪的乘法運算.
問題2 單獨一個字母是單項式嗎？它的系數和次數分別是多少？
答：單獨一個字母是單項式，它的系數是1，次數是1.
問題3 單項式書寫注意哪些問題？
答：書寫單項式時，一般數字寫在前面，字母寫在后邊，字母順序一般遵循英文字母表順序.
問題4 ， ，-16x哪些是單項式 是單項式的寫出其系數和次數.
答：-16x是單項式，其系數是﹣16，次數是1.
上面各式的運算中數字和字母之間，字母與字母之間的運算都是乘法運算(都是表示數字與字母、字母與字母的積).
由數與字母及其冪的乘積組成的代數式叫作單項式,單獨的一個數也可看作單項式，并約定一個不為0的數的其次數為0.
知識要點
例如:像 2024, x , 等是單項式.
單項式中的數字因數稱為這個單項式的系數.
一個單項式中,所有字母的指數的和叫做這個單項式的次數.
系數
1
次數為3+1=4
叫做四次單項式
知識要點
1.單獨一個數或一個字母也是單項式.
2.不含加減運算，單項式只含有乘積運算.
3.單項式數字因數與字母可能一個或多個.
4.可以含有除以數的運算，不能含有除以字母的運算．
方法總結:判斷單項式的方法
例題講解
解：(1) x+1不是單項式，因為代數式中出現了加法運算.
(2) 不是單項式，因為代數式中出現了數字與字母的除法運算.
(3)πr2是單項式，系數是π，次數是2;
(4)- a2b是單項式，系數是- ，次數是3.
新知初探
探究二 多項式的相關概念
1.圖是由一個長方形和一個半圓組成，已知長方形的長為x，寬為y，半圓的直徑為y.
(1)長方形的面積為 ；
(2)半圓的面積為 ；
(3)由長方形和半圓組成的圖形的面積為 .
貳
xy


2.如圖三角尺的面積為 .
3.如圖是一所住宅區的建筑平面圖，這所住宅的建筑面積是 ㎡.
（x2+2x+18）
1.買一個籃球需要x元,買一個排球需要y元,買一個足球需要z元,那么買3個籃球、5個排球、2個足球共需要　 　 元.
(3x+5y+2z)
(1)幾個單項式的和叫作多項式.
(3) 多項式中不含字母的項次數為0.
(4)單項式和多項式統稱整式.
(2)多項式沒有系數的概念，但其每一項均有系數，每一項的系數也包括前面的符號
方法歸納
問題1 多項式中不含分母的項怎么定義？
答：不含分母的項叫作常數項.
問題2 多項式的次數怎么定義？
答：次數最高項的次數叫作多項式的次數.
問題3 一個多項式的最高次項一定只有一項嗎？
答：一個多項式的最高次項可以不只一項.
問題
例題講解
解：由題意得m＋2=6，所以m=4.
歸納總結：解題的關鍵是弄清多項式次數是多項式中次數最高的項的次數.然后根據題意，列出方程，求出m的值.
分析：該多項式最高次項為－4xmy2，其次數為m＋2，故m＋2=6.
所以該多項式為－5x4＋104x5－4x4y2.
若關于x的多項式－5x3－mx2＋（n－1）x－1不含二次項和一次項，求m、n的值.
分析：多項式不含哪一項，則哪一項的系數為0.
解：由題意得m=0，n－1=0，所以n=1.
當堂達標
1．下列式子中，是單項式的是（ ）
A． B． C．a2＋3b3 D．
B
當堂達標
叁
2．下列各式中是整式的有（ ）

A．7個 B．6個 C．5個 D．4個
B
4．有一塊長為x m、寬為y m的長方形草坪，在草坪中間有一條寬為2 m的人行道，形狀如圖所示，則這塊草坪的實際綠化面積
是 m2．
（xy－2y）
當堂達標
叁
3.若單項式-a2bm與-x3y4是次數相同的單項式,則m的值為 .
5．已知（a-1）x2ya+1是關于x，y的五次單項式，求這個單項式的系數．
解：由題意得：a+1+2=5，
解得：a=2，
則這個單項式的系數是a-1=1．
5
6．已知多項式a3＋ ab4－am+1b－6是六次四項式，單項式2xy3n與該多項式的次數相同，求m2＋n2的值．
解：依題意得m＋1＋1＝6，1＋3n＝6，
則m＝4，n＝ ．
所以m2＋n2＝42＋ = .
課堂小結
1.單項式相關概念
(1)由數與字母及其冪的乘積組成的代數式，單獨的一個數也看作單項式.
(2)單項式中的數叫作單項式系數，所有字母的指數的和叫作單項式的次數.
2.多項式相關概念
（1）幾個單項式的和叫作多項式.
（2）多項式中的每個單項式叫作多項式的項，不含字母的項叫作常數項.次數最高的項的次數叫作多項式的次數.
肆
課后作業
基礎題：1.課后練習 第 1,2題。
提高題：2.若-mx2y|n-3|是關于x，y的十次單項式，且系數是8，求m+n的值

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