資源簡介

第三章　一元一次方程（組）
3.1　等量關系和方程
一.學習目標
1.通過現實生活中的例子，理解方程的意義.
2.初步學會找實際問題中的等量關系，設出未知數，列出方程．
3.從具體問題中更深入地認識一元一次方程與現實生活的聯系,體會方程是刻畫現實世界的數學模型.
二.自主預習
1.根據要求列出式子.
（1）x的2倍與3的差是6；
正方形的周長為24cm，請寫出它的邊長a與周長的關系式.
2.觀察上面所列的兩個式子，議一議它們有什么共同特征.
【自主歸納】先設出字母表示未知數，然后根據問題中的 關系，列出一個含有未知數的 ，這樣的等式叫作方程.
(1)一般地，使方程左、右兩邊的值 的未知數的值，叫作方程的解.
(2)求方程的 的過程，叫作解方程.
(3)如果方程中只含有 個未知數(元),未知數的次數都是 ,等號兩邊都是 式,這樣的方程叫作一元一次方程.
三.探究新知
探究一：方程的概念
1.甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發，甲隊從距大本營1 km的一號營地出發，每小時行進1.2 km;乙隊從距大本營3 km的二號營地出發，每小時行進0.8 km.多長時間后，甲隊在途中追上乙隊
在這個問題中，甲、乙兩隊的行進速度是已知的，行進的時間和路程是未知的.
問題1 如果設兩隊行進的時間為xh，根據“路程=速度×時間"，甲隊和乙隊的行進路程可以分別表示為 km和 km.
問題2 甲、乙兩隊距大本營的路程可以分別表示為 km,和 km.
問題3 想一想，甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程有什么關系？如何根據等量美系，列出相應等式？
2.為進步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年9月舉辦了一次中學生籃球聯賽，比賽規則為：勝一場得2分，輸一場得1分，若某校初中男子籃球隊參加了14場比賽，共得26分.
問題1 設該隊勝了x場，則該隊輸了 場；
問題2 該隊勝的場數得分 分 ；輸的場數得分 分 ；
問題3 其中蘊含怎樣的等量關系？如何根據等量美系，列出相應等式？
3.圖是一個長方體形狀的包裝盒示意圖，長為1.2m，高為1m，表面積為6.8.
問題1 設包裝盒底面的寬是ym，則長方體底面的面積是 ，左側面的面積 ， 前面的面積是 ；
問題2 長方體前后兩個面的面積 ；左右兩個面的面積 ；上下兩個面的面積 .
問題3 其中蘊含怎樣的等量關系？如訶根據等量關系，列出相應等式？
小結：
先設出字母表示未知數，然后根據問題中的相等關系，列出一個含有未知數的表示等量關系的等式叫作方程.
探究二 ：一元一次方程的概念
1. 觀察下列方程,它們有什么共同點
①1.2x+1=0.8x+3；
②2x＋（14－x）＝26；
③（1.2×y＋y×1＋1.2×1）×2＝6.8.
問題1　每個方程中,各含有幾個未知數
問題2　說一說每個方程中未知數的次數.
問題3　等號兩邊的式子有什么共同點
小結：
一般地，只含有一個未知數,并且未知數的次數都是1,這樣的方程叫作一元一次方程.
探究三： 方程的解
《孫子算經》是我國古心重要的數學著作，成書于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有許多著名數學題，如第31題就是有趣的“雞免同籠”問題：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有多少只雞和兔？
問題1 上述趣題中存哪幾個等量關系？
問題2 設兔子有x只，根據“兔的只數十雞的只數=35”可得雞有 只；
問題3 根據“兔的腳數+雞的腳數=94”可得方程 。
問題4 方程左邊去括號，合并同類項可得 .
問題5 把方程的左邊和右邊分別看成多項式，能否找到一個數，將這個數代入方程,使左、右兩邊的多項式的值相等呢？
估計x的值 方程左邊的值 與方程右邊的值94比較
第1次估算 10 90 小了
第2次估算 15 100 大了
第3次估算 13 96 大了
第4次估算 12 94 相等
第5次估算 11 92 小了
由表格，我們知道當x= 時,2x+70的值與94的值相等,所以方程2x+70=94中的未知數的值應是 .
小結：
（1）方程的解：對于含有一個未知數x的方程，若x用一個數c代入能使方程左、右兩邊的值相等，這個數c就是這個方程的一個解，習慣上記作x＝c.
(2)解方程：求方程的解的過程叫作解方程.
任務四 例題講解
例1.根據下列問題， 設未知數并列出方程:
(1)某校女生占全體學生數的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生
(2)如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5m，擴大后的綠地面積是500m'，求正方形綠地的邊長.
追問 用方程的方法來解決實際問題，一般要經歷哪幾個步驟？
小結：分析實際問題中的數量關系，利用其中的相等關系列出方程，是用數學解決實際問題的一種方法：步驟如下
例2.判斷下列方程是不是一元一次方程,并說明理由.
(1)-x+3=x3;(2)2x-9=5y;(3)x-=2;(4)=x-3;(5)6-y=1.
例3分別檢驗x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
(1) x=300；（2）x=300.
四.運用新知
1.已知長方形的周長為20 cm,長比寬長3 cm,若設寬為x cm,可列方程為　 　.
2.校園足球聯賽規則規定：贏一場得3分，平一場得1分，負一場得0分．某隊比賽8場保持不敗，得18分，求該隊共勝幾場？若設該隊勝了x場，則可列方程： ．
3.七、八年級學生分別到雷鋒、毛澤東紀念館參觀,共589人,到毛澤東紀念館的人數是到雷鋒紀念館人數的2倍多56人.設到雷鋒紀念館的人數為x人,可列方程為 .
4.下列等式:①x-2=;②3x=11;③=5x-1;④y2-4y=3;⑤x+2y=1.
其中是方程的是　 　,是一元一次方程的是　　 (填序號).
5.檢驗下列各題括號內的值是否為相應方程的解：
(1)2x－3＝5(x－3){x＝6，x＝4}；
(2)4x＋5＝8x－3{x＝3，x＝2}．
五.達標測試
1.下列各式中，是一元一次方程的是（　 　）
A．x2﹣4x＜3 B．3x﹣1＝x
C．5﹣4＝1 D．xy﹣3
2.下列方程中,以x=2為解的方程是(　 　)
(A)4x-1=3x+2 (B)4x+8=3(x+1)+1
(C)5(x+1)=4(x+2)-1 (D)x+4=3(2x-1)
3.x=1是關于x的方程2x-a=0的解,則a的值是(　 　)
(A)-2 (B)2 (C)-1 (D)1
4.若方程(|m|-2)x2-(m+2)x-6=0是關于x的一元一次方程.
(1)求m的值;
(2)判斷x=3,x=-,x=是不是方程的解.
5.根據下列問題，設未知數并列出方程：
(1)小麗從出版社郵購3本一樣的書，包括郵費的總價為37.5元，如果每本書的郵費是2元，那么每本書的價格是多少元？
(2)春運期間，汽車票價上浮20%，小明從南京去上海的票價是84元，求原來的票價;
(3)A,B兩袋大米，A袋有50千克，它的比B袋的70%少8千克，B袋有多少千克大米？
參考答案
1.B 2.C 3.B
4.解:(1)因為方程(|m|-2)x2-(m+2)x-6=0是關于x的一元一次方程,
所以|m|-2=0,則m=±2.
又因為m+2≠0,即m≠-2,
所以m=2.
(2)由(1),知原方程為-4x-6=0.
當x=-時,-4x-6=0;
當x=3或x=時,-4x-6≠0,故x=-是方程的解,x=3,x=不是方程的解.
5.解：(1)設每本書的價格是x元，根據題意，得3x+3×2=37.5.
(2)設原來的票價為x元，根據題意,得x(1+20%)=84.
(3)設B袋有x千克大米，根據題意,得×50+8=70%x.
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情境導入
情境導入
老師有這樣一個問題，請同學們幫我解答一下：一個婦女在河邊洗碗，河官問：“洗多少只碗？有多少客人用餐？”婦女答：“洗65只碗，客人二人共用一只飯碗，三人共用一只湯碗，四人共用一只肉碗.你說有多少客人用餐？”
壹
新知初探
新知初探
探究一 方程的概念
1.甲、乙兩支登山隊沿同一條路線同時向一山峰進發，甲隊從距大本營1 km的一號營地出發，每小時行進1.2 km;乙隊從距大本營3 km的二號營地出發，每小時行進0.8 km.多長時間后，甲隊在途中追上乙隊
大本營
二號
營地
一號
營地
甲的路程
乙的路程
1km
3km
貳
設兩隊行進的時間為xh，則
大本營
二號
營地
一號
營地
甲的路程
乙的路程
1km
3km
問題1 甲隊的行進路程為 km,乙隊的行進路程為 km
1.2x
0.8x
問題2 甲隊距大本營的路程為 km,
乙隊距大本營的路程為 km
(1.2x+1)
(0.8x+3)
問題3 想一想，甲隊追上乙隊時，他們距大本營的路程有什么關系？
甲隊距大本營的路程=乙隊距大本營的路程
問題4 根據這個關系，你能列出怎樣的式子？
1.2x+1=0.8x+3
2.為進步推動全民健身，弘揚體育精神，凝聚奮進力量，某地區于今年9月舉辦了一次中學生籃球聯賽，比賽規則為：勝一場得2分，輸一場得1分，若某校初中男子籃球隊參加了14場比賽，共得26分.
問題1 設該隊勝了x場，則該隊輸了場； .
（14一x）
問題2 該隊勝的場數得分 分 ；輸的場數得分 分 ；
2x
（14一x）
問題3 其中蘊含怎樣的等量關系？如何根據等量美系，列出相應等式？
①勝的場數得分＋輸的場數得分＝總得分.
② .
2x＋（14－x）＝26
問題2 長方體前后兩個面的面積 ；左右兩個面的面積 ；上下兩個面的面積 .

問題1 設包裝盒底面的寬是ym，則長方體底面的面積是 ，左側面的面積 ， 前面的面積是 ；
1.2×y
1×y
1.2×1
相等
相等
相等
問題3 其中蘊含怎樣的等量關系？如訶根據等量關系，列出相應等式？
①（長×寬十寬X高十長×高）×2=表面積.
②
（1.2×y＋y×1＋1.2×1）×2＝6.8
先設出字母表示未知數，然后根據問題中的相等關系，列出一個含有未知數的表示等量關系的等式叫作方程.
歸納總結
探究二 一元一次方程的概念
觀察下列方程，它們有什么共同點？
1.2x+1=0.8x+3 12x=16(x-5) 0.52x-(1-0.52x)=80,
問題1 每個方程中，各含有幾個未知數？
問題2 說一說每個方程中未知數的次數.
問題3 等號兩邊的式子有什么共同點？
一個
1次
都是整式
知識要點
這樣的方程叫作一元一次方程.
等號兩邊都是整式，
（一次）
只含有一個未知數,
（一元）
未知數的次數都是1,
一元一次方程
探究三 方程的解
《孫子算經》是我國古心重要的數學著作，成書于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有許多著名數學題，如第31題就是有趣的“雞免同籠”問題：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有多少只雞和兔？
問題1 上述趣題中存哪幾個等量關系？
（1）兔的只數十雞的只數=35；
（2）兔的腳數+雞的腳數=94.
問題2 設兔子有x只，根據“兔的只數十雞的只數=35”可得雞有 只；
問題3 根據“兔的腳數+雞的腳數=94”可得方程 。
問題4 方程左邊去括號，合并同類項可得
.
（35一x）
4x＋2(35-x)=94
2x＋70＝94
問題5 把方程的左邊和右邊分別看成多項式，能否找到一個數，將這個數代入方程,使左、右兩邊的多項式的值相等呢？
估計x的值 方程左邊的值 與方程右邊的值94比較
第1次估算 10
第2次估算 15
第3次估算 13
第4次估算 12
第5次估算 11
由表格，我們知道當x=12時,2x+70的值與94的值相等,所以方程2x+70=94中的未知數的值應是x=12.
90
100
96
94
92
小了
大了
大了
相等
小了
(1)對于含有一個未知數x的方程，若x用一個數c代入能使方程左、右兩邊的值相等，這個數c就是這個方程的一個解，習慣上記作x＝c.
歸納總結
(2)求方程的解的過程，叫作解方程.
例如x=5就是方程1.2x+1=0.8x+3的解
(3)設某數為x,依題意得5x-4=6x+1.
探究四 例題講解
解:(1)5x-2x=12.
1.根據下列條件列出方程:
(1)x的5倍比x的2倍大12;
(2)某數的 比它的倒數小5;
(3)某數的5倍減去4等于該數的6倍加上1;
(4)x的20%與15的差的一半等于-2.
(2)設某數為x,根據題意得 x+5= .
(4) (20%x-15)=-2.
(2)設正方形綠地的邊長為x m,那么擴大后的綠地面積為(x2+5x) m2.
根據“擴大后的綠地面積是500 m2”.列得方程x2+5x =500.

例1.根據下列問題， 設未知數并列出方程:
(1)某校女生占全體學生數的52%，比男生多80人，這所學校有多少名學生
(2)如圖，一塊正方形綠地沿某一方向加寬5m，擴大后的綠 地面積是500m'，求正方形綠地的邊長.
解: (1)設這所學校的學生數為x，那么女生數為0.52x，男生數為(1-0.52)x.
根據“女生比男生多80人”，列得方程0.52x-(1-0.52)x=80.
思考 用方程的方法來解決實際問題，一般要經歷哪幾個步驟？
實際問題
方程
設未知數，用含有未知數的等式表示相等關系
(5)6-y=1是一元一次方程.
例2.判斷下列方程是不是一元一次方程,并說明理由.
(1)-x+3=x3;(2)2x-9=5y;(3)x- =2;(4) =x-3;(5)6-y=1.
解:(1)-x+3=x3,不是,因為不是一次方程.
(2)2x-9=5y,不是,因為有兩個未知數.
(3)x- =2,不是,因為不是整式方程.
(4) =x-3是一元一次方程.
例3 分別檢驗x的下列值是否是方程2.5x+318=1068的解.
(1) x=300；（2）x=300.
解（1）把x用300代入原方程得,
左邊＝2.5×300＋318＝1068，
左邊＝右邊，
所以x=300是方程2.5x+318=1068的解；
（2）把x用330代人原方程得，
左邊=2.5×330＋318=1143,
左邊≠右邊，
所以x＝330不是方程2.5x+318=1068的解。
當堂達標
當堂達標
C
B
叁
B
(2)設原來的票價為x元，根據題意,得x(1+20%)=84.
5.根據下列問題，設未知數并列出方程：
(1)小麗從出版社郵購3本一樣的書，包括郵費的總價為37.5元，如果每本書的郵費是2元，那么每本書的價格是多少元？
(2)春運期間，汽車票價上浮20%，小明從南京去上海的票價是84元，求原來的票價;
解：(1)設每本書的價格是x元，根據題意，得3x+3×2=37.5.
(3)A,B兩袋大米，A袋有50千克，它的 比B袋的70%少8千克，B袋有多少千克大米？
解：(3)設B袋有x千克大米，根據題意,得 ×50+8=70%x.
課堂小結
課堂小結
1.方程的概念:含有未知數的等式.
2.一元一次方程的概念：只含一個未知數，并且未知數的次數是1，兩邊都是整式.
3.方程的解：能使左右兩邊的多項式的值相等.
肆
課后作業
基礎題：1.課后練習 第 1,2題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第5,6題

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