資源簡介

3.4 一元一次方程的應用
第2課時 工程問題與行程問題
一.學習目標
1.掌握工程問題和行程問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程求解.
2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯系,加強數學建模思想的應用意識.
二.自主預習
1．已知某座橋長800米，現有一列火車從橋上通過，測得火車從開始上橋到完全通過共用了1分鐘，這列火車完全在橋上的時間為40秒，則火車的速度是（　　）
A．20米/秒 B．18米/秒 C．16米/秒 D．15米/秒
2．制造一批零件，按計劃18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成這批零件的一半，一共需要　 天．
【自主歸納】
1.行程問題中的常用關系式：
（1）速度×時間=路程；路程÷速度=時間；路程÷時間=速度;
（2）速度和×時間=路程和；
（3）速度差×時間=路程差.
2.工程問題中的常用關系式：
（1）工作總量÷工作效率=工作時間
（2）工作總量÷工作效率和=合作時間
三.探究新知
探究一：行程問題
為進一步感悟雷鋒胸懷祖國，服務人民的愛國精神，星期日早晨，小楠和小華分別騎自行車從家里同時出發去參觀雷鋒紀念館，已知他倆的家到雷鋒紀念館的路程相等，并且小楠每小時騎10km，他在上午10時到達，小華每小時騎15km，他在上午9時30分到達，他倆的家到雷鋒純念館的路程是多少？
問題1 這個問題中涉及哪些量？它們有什么數量關系？
問題2 本題的等量關系是什么？
問題3 這個題可以如何列方程？
探究二：工程問題
一份工作,甲單獨做需要m天完成,乙單獨做需要 n天完成.求甲乙合作完成這份工作需要多少天
問題1 若把工作總量設為1,則甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分別是多少？
問題2 若甲、乙合作x天，則甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？
問題3 題目中的等量關系是什么？
問題4 你將如何得出問題的答案？
小結：解決工程問題的基本思路：
1. 三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.
它們之間的關系是：工作量=工作效率×工作時間.
2. 相等關系：工作總量=各部分工作量之和.
(1) 按工作時間，工作總量=各時間段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在沒有具體數值的情況下，把工作總量看作1.
探究三:例題講解
例1 甲、乙兩人在一條長400米的環形跑道上跑步，甲的速度為360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)兩人同時同地同向跑，問第一次相遇時，兩人一共跑了多少圈？
(2)兩人同時同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？
例2、刺繡是我國民間傳統手工藝之一.我國刺銹主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類.若刺繡一件作品，甲單獨繡需要15天才能完成，乙單獨繡需要12天才能完成，現在甲先單獨繡1天,接著乙又單獨繡4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡，試問：再合繡多少天可以完成這件作品？
四.運用新知
1.一項工程甲單獨做20天可以完成,乙單獨做 30天可以完成.現在兩個人合作,但是乙中途因事離開幾天,從開工后14天把這項工作做完,則乙中途離開了( )
A.10天 B.9天 C.7天 D.5天
2.甲乙兩人跑步，從同一地點出發，沿直線同向而行，甲的速度為10km/h，乙的速度為8km/h，乙先出發小時，問甲出發 　　小時，兩人相距2km．
3.一輛卡車從A地出發勻速開往B地，速度為40千米/時，卡車出發兩小時后，一輛出租車從B地出發勻速開往A地，卡車出發6小時，兩車同時到達各自的目的地（到達目的地后兩車都停止行駛）．
解答下列問題：
（1）出租車的速度為 　　千米/時；
（2）用含x（行駛的時間）的代數式表示兩車行駛的路程之和；
（3）當兩車相距180千米時，求卡車行駛的時間．
五.達標測試
1．一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需8天完成，現由甲先做2天，乙再加入合作，完成這項工程共需多少天？若設完成這項工程共需x天，依題意可列方程（　 　）
A． B．
C． D．
2．一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以40km/h的速度前進，突然，6號隊員以50km/h的速度獨自行進，行進20km后掉轉車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合，設6號隊員從離隊開始到與隊員重新會合經過了x h，則x的值是（　 　）
A． B． C． D．
3．我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中有這樣的記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，良馬數日追及之”．其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑的慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬
　　天可以追上慢馬．
4．甲、乙兩列火車從相距60千米的兩站同時出發，同向而行，甲車在后，每小時行駛70千米，乙車在前，每小時行駛50千米，則經過 　　小時后兩車相距20千米．
5．制造一批零件，按計劃18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成這批零件的一半，一共需要　　天．
6．某市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程．這個工程若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成．若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務？
參考答案
1.D 2.D 3.20 4.2或4 5.
6.解：設甲乙兩隊同時施工4天后，余下的工程乙隊還需要x天能夠完成任務，
根據題意得：1，
解得：x＝5．
答：乙隊還需要5天能夠完成任務．
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情境導入
情境導入
親愛的同學們，你們讀過名著《西游記》嗎？關于孫悟空的故事你一定知道很多吧．有這樣一首描述孫悟空捉妖的詩：悟空順風探妖蹤，千里只用四分鐘；歸時四分行六百，風速多少才算準．請你幫孫悟空算算當時的風速每分鐘是多少里？本節課我們將來完成解答這個問題.
壹
新知初探
新知初探
探究一 行程問題
為進一步感悟雷鋒胸懷祖國，服務人民的愛國精神，星期日早晨，小楠和小華分別騎自行車從家里同時出發去參觀雷鋒紀念館，已知他倆的家到雷鋒紀念館的路程相等，并且小楠每小時騎10km，他在上午10時到達，小華每小時騎15km，他在上午9時30分到達，他倆的家到雷鋒純念館的路程是多少？
貳
問題1 這個問題中涉及哪些量？它們有什么數量關系？
答：行程問題中的量：路程、速度、時間，它們的數量關系：路程=速度×時間.
問題2 本題的等量關系是什么？
答：本題中的等量關系：
小斌用的時間－小強用的時間＝他們到達的時間差.
一份工作,甲單獨做需要m天完成,乙單獨做需要 n天完成.
求甲乙合作完成這份工作需要多少天
問題1 若把工作總量設為1,則甲、乙的工作效率(一天完成的工作量)分別是多少？
答：甲的工作效率是 ,乙的工作效率是 ;
探究二 工程問題


問題2 若甲、乙合作x天，則甲、乙的工作量各是多少？甲乙合作的工作量是多少？
答：甲做x天完成的工作量是　　,乙做x天完成的工作量是　　,甲、乙合作x天完成的工作量是　 　.
問題3 題目中的等量關系是什么？
答：等量關系是:甲工作總量+乙工作總量=總工作量1.





解決工程問題的基本思路：
1. 三個基本量：工作量、工作效率、工作時間.
它們之間的關系是：工作量=工作效率×工作時間.
2. 相等關系：工作總量=各部分工作量之和.
(1) 按工作時間，工作總量=各時間段的工作量之和；
(2) 按工作者，工作總量=各工作者的工作量之和.
3. 通常在沒有具體數值的情況下，把工作總量看作1.
小結
例1 甲、乙兩人在一條長400米的環形跑道上跑步，甲的速度為360米/分，乙的速度是240米/分．
(1)兩人同時同地同向跑，問第一次相遇時，兩人一共跑了多少圈？
(2)兩人同時同地反向跑，問幾秒后兩人第一次相遇？
探究三:例題講解

例2、刺繡是我國民間傳統手工藝之一.我國刺銹主要有湘繡、蘇繡、蜀繡、粵繡四大類.若刺繡一件作品，甲單獨繡需要15天才能完成，乙單獨繡需要12天才能完成，現在甲先單獨繡1天,接著乙又單獨繡4天，剩下的工作由甲、乙兩人合繡，試問：再合繡多少天可以完成這件作品？
解：設甲加工x天，兩人如期完成任務，則在甲加入之前，乙先工作了(8-x)天.
依題意，得
解得x=4,則8-x=4.
答：乙需加工4天后,甲加入合作加工才可正好按期完成任務.
當堂達標
當堂達標
1．一項工程，甲單獨做需12天完成，乙單獨做需8天完成，現由甲先做2天，乙再加入合作，完成這項工程共需多少天？若設完成這項工程共需x天，依題意可列方程（　 　）
C
D
叁

2．一個自行車隊進行訓練，訓練時所有隊員都以40km/h的速度前進，突然，6號隊員以50km/h的速度獨自行進，行進20km后掉轉車頭，仍以50km/h的速度往回騎，直到與其他隊員會合，設6號隊員從離隊開始到與隊員重新會合經過了x h，則x的值是（　　）
D

3．我國元朝朱世杰所著的《算學啟蒙》中有這樣的記載：“良馬日行二百四十里，駑馬日行一百五十里，駑馬先行一十二日，良馬數日追及之”．其大意是：跑得快的馬每天走240里，跑的慢的馬每天走150里，慢馬先走12天，快馬 天可以追上慢馬．
20
4．甲、乙兩列火車從相距60千米的兩站同時出發，同向而行，甲車在后，每小時行駛70千米，乙車在前，每小時行駛50千米，則經過 小時后兩車相距20千米．
5．制造一批零件，按計劃18天可以完成它的．如果工作4天后，工作效率提高了，那么完成這批零件的一半，一共需要　　天．
　2或4　

6．某市今年進行煤氣工程改造，甲乙兩個工程隊共同承包這個工程．這個工程若甲隊單獨做需要10天完成；若乙隊單獨做需要15天完成．若甲乙兩隊同時施工4天，余下的工程由乙隊完成，問乙隊還需要幾天能夠完成任務？

課堂小結
課堂小結
用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下：
實際問題
設未知數，列方程
一元一次方程
實際問題的答案
解方程
一元一次方程的解
(x=a)
檢驗
肆
課后作業
基礎題：1.課后練習 第1題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第4題

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