資源簡介

3.5 認識二元一次方程組
一.學習目標
1．理解二元一次方程、二元一次方程組和它的解的含義；
2．會檢驗一對數是不是某個二元一次方程組的解；
3．能根據簡單的問題情境列二元一次方程組．
二.自主預習
1．下列方程是二元一次方程的是（　　）
A．2x﹣y＝0 B．xy+1＝0 C．x2+2x＝3 D．
2．下列方程組中是二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
3．已知是方程2x﹣y＝5的一組解，則a的值為 　 　．
【自主歸納】
1．方程都含有 未知數，并且含未知數的項 ，這樣的方程叫作二元一次方程.
2． 叫作二元一次方程組.
3．使二元一次方程左右兩邊的值 叫作二元一次方程的解.
4.二元一次方程組的解必須滿足 .
三.探究新知
探究一：二元一次方程
《孫子算經》是我國古心重要的數學著作，成書于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有許多著名數學題，如第31題就是有趣的“雞免同籠”問題：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有多少只雞和兔？
問題1 你能找出問題中的兩個個等量關系嗎？
問題2 若設兔有x只，雞有y只，你能根據兩個等量關系列出兩個方程嗎？
問題3 問題2中所列方程有什么特點？它與你學過的一元一次方程比較有什么區別？
問題4 根據“元”和“次”的意義，你能給這兩個方程命名嗎？
問題5 類比一元一次方程的概念，你能指出二元一次方程的概念嗎？
小結 二元一次方程三個特征：
(1)含有兩個未知數；(2)所含未知數的項的次數都是1；(3)方程的兩邊都是整式．
練習
下列方程中，哪些是二元一次方程：_ ____．
x＋3y－9＝0；(2)3－2y＋12＝0；(3)3a－4b＝7；
(4)3x－＝1；(5)3x(x－2y)＝5；(6)－5n＝1.
探究二 ：二元一次方程組
問題1 對于活動一中的問題可以列出x+y＝35和4x＋2y=94這兩個方程，其中x的含義是什么？y的含義是什么？兩個方程中x，y的含義一樣嗎？
問題2 x，y是否需要同時滿足兩個方程？
問題3 兩個方程中，一個含幾個未指數，未知數的次數是多少？
小結
像這樣，只含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1的方程組叫作二元一次方程組．
練習
判斷下列方程組是不是二元一次方程組：
(1)(2)(3)
(4)(5)(6)
探究三 ：探究二元一次方程（組）的解
觀察在程組，回答問題：
問題1 滿足方程①，且符合問題的實際意義的x，y的值有哪些 把它們填入表中.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 ... 1
結果：x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；x＝3，y＝32；…；x＝34，y＝1都能使方程的兩邊相等.
追問 如果不考慮方程的實際意義，那么x，y還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
問題2 上表中每一對x，y的值都是方程①的解.你能模仿一元一次方程的解的概念，給二元一次方程的解下定義嗎？
追問 從中你能否發現一元一次方程的解與二元一次方程的解的區別？
問題3 上表哪對x，y的值滿足方程②嗎？若有，請指出.
追問 x＝12，y＝23既是方程①的解，也是方程②的解.也就是說，它們是方程①與方程②的公共解，二元一次方程組的解必須滿足什么條件？
問題4 你知道什么是二元一次方程組的解了嗎？
追問 什么是解方程組？
探究四：例題講解
例 小玲在文具店買了3本練習本，2支圓珠筆，共花去17元，其中購買的練習本比圓珠筆多花1元.
（1）為了知道練習本、圓珠筆的單價是多少元，你能列出相應的方程組嗎？
（2），是列出的二元一次方程組的解嗎？
分析 本題中的兩個等量關系：
（1）購買筆記本所花的錢+購買圓珠筆所花的錢=17元；
（2）購買筆記本所花的錢-購買圓珠筆所花的錢=1元。
四.運用新知
1.下列方程中，是二元一次方程的是（ ）
A．3x－2y=4z B．6xy+9=0 C．+4y=6 D．4x=
2.下列方程組中，是二元一次方程組的是（ ）
A． B． C． D．
3．以為解的一個二元一次方程是_________。
4.是方程組的解嗎？
五.達標測試
1．下列方程中，屬于二元一次方程的是(　 　)
A．xy－7＝1　　　　　　　　　B．2x－1＝3y＋1
C．4x－5y＝3x－5y D．3x－＝1
2．下列方程組是二元一次方程組的是(　 　)
A. B.C. D.
3．方程組的解是(　 　)
A.， B. C. D.
4.若是x-ky＝1的解，則k＝　　．
5.某項球類比賽，每場比賽需分出勝負，其中勝一場得2分，負一場得1分.某隊在全部15場比賽中得到了26分，為了求出這個隊勝、負場數分別是多少，請你列出相應的方程組并判斷是不是方程組的一個解.
參考答案：
1.B 2.D 3.B 4.﹣1
5.解：設這個隊勝x場，負y場，根據等量關系，得
把x用11，y用4分別代入方程①②，方程①的左邊=，左方程①的右邊＝15，
方程②的左邊=，左方程②的右邊＝26，
所以是方程組的解.
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情境導入
情境導入
對話：
老牛喘著氣吃力地說：“累死我了！”
小馬說：“你還累？這么大的個，才比我多馱2個包裹．”
老牛氣喘吁吁地說：“哼，我從你背上拿來一個，我的包裹數就是你的2倍！”
小馬天真而不信地說：“真的？！”
壹
情境導入
問題1：根據它們的對話，如何列一元一次方程？
答：設老牛馱了x個包裹，則下馬馱（x-2）個包裹，
根據題意，得x+1=2[(x-2)-1].
問題2：如果假設老牛馱了x個包裹，小馬馱了y個包裹，你能得到怎樣的方程？能列幾個？
答：①x=y+2；②x+1=2（y-1）.
問題3 這兩個方程是什么方程？組合在一起又成了什么？
這就是今天我們要學習的內容？
壹
新知初探
新知初探
探究一 二元一次方程
《孫子算經》是我國古心重要的數學著作，成書于公元400年前后，本共有上、中、下三卷.下卷有許多著名數學題，如第31題就是有趣的“雞免同籠”問題：有若干只雞兔同在一個籠子里，從上面數有35個頭，從下面數有94只腳，問籠中各有多少只雞和兔？
問題2 若設兔有x只，雞有y只，你能根據兩個等量關系列出兩個方程嗎？
（1）兔的只數十雞的只數=35；（2）兔的腳數+雞的腳數=94.
問題1 你能找出問題中的兩個個等量關系嗎？
貳
x+y=35,① 4x+2y=94.②
問題3 問題2中所列方程有什么特點？它與你學過的一元一次方程比較有什么區別？
答：不是一元一次方程，方程中含有兩個未知數.
問題4 根據“元”和“次”的意義，你能給這兩個方程命名嗎？
答：二元一次方程.
問題5 類比一元一次方程的概念，你能指出二元一次方程的概念嗎？
答：含有兩個未知數 ，并且含未知數的項的次數都是1，這樣程叫作二元一次方程．
二元一次方程三個特征：
(1)含有兩個未知數；
(2)所含未知數的項的次數都是1；
(3)方程的兩邊都是整式．
小結

練習
看好它們的特征吆
（1）（3）（6）
探究二 二元一次方程組
問題1 對于活動一中的問題可以列出x+y＝35和4x＋2y=94這兩個方程，其中x的含義是什么？y的含義是什么？兩個方程中x，y的含義一樣嗎？
答：x表示兔子的數量，y表示雞的數量，兩個方程中x，y的含義是一樣的．
問題2 x，y是否需要同時滿足兩個方程？
答：x，y同時滿足兩個方程。
既然x，y同時滿足兩個方程，所以我們把兩個方程聯立,得
問題3 兩個方程中，一個含幾個未指數，未知數的次數是多少？
答：一共含兩個未知數，未知數的次數都是1.
小結：
像這樣，只含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1的方程組叫作二元一次方程組．
下判斷下列方程組是不是二元一次方程組：
答：（1）（3）是二元一次方程組.
練習
看好它們的特征
探究三 ：探究二元一次方程（組）的解
觀察在程組，回答問題：
問題1 滿足方程①，且符合問題的實際意義的x，y的值有哪些 把它們填入表中.
x 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ... 34
y 34 33 32 31 30 29 28 27 26 ... 1
結果：x＝1，y＝34；x＝2，y＝33；x＝3，y＝32；…；x＝34，y＝1都能使方程 的兩邊相等.
追問 如果不考慮方程的實際意義，那么x，y還可以取哪些值？這些值是有限的嗎？
答：還可以取x＝-10，y＝70；x＝-20，y＝80，等等.
問題2 上表中每一對x，y的值都是方程①的解.你能模仿一元一次方程的解的概念，給二元一次方程的解下定義嗎？
答：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的兩個未知數的值，叫作二元一次方程的解.
追問 從中你能否發現一元一次方程的解與二元一次方程的解的區別？
答：一元一次方程的解只有1個，二元一次方程的解有無數組.
問題3 上表哪對x，y的值滿足方程②嗎？若有，請指出.
答：x＝12，y＝23滿足方程②.
追問 x＝12，y＝23既是方程①的解，也是方程②的解.也就是說，它們是方程①與方程②的公共解，二元一次方程組的解必須滿足什么條件？
答：必須適合方程組中的每一個方程.

探究四：例題講解



當堂達標
當堂達標

2．下列方程組是二元一次方程組的是(　 　)
B
D
叁
B
﹣1

解：設這個隊勝x場，負y場，根據等量關系，得
①
②
把x用11，y用4分別代入方程①②，
方程①左邊的值是11＋4=15，方程①右邊的值也是15，
方程②左邊的值是2×11＋4=26，方程②右邊的值也是26，
所以 是方程組 的解.



課堂小結
課堂小結
1.二元一次方程（組）：
①含有兩個未知數；②含未知數的項的次數是1；③是整式方程.
2.二元一次方程的解：
使二元一次方程左右兩邊的值相等的兩個未知數的值,二元一次方程的解有無數組.
3.方程組的解：
使每個方程左右兩邊的值相等
肆
課后作業
基礎題：1.課后習題 第 1，2題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第1題

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