資源簡介

*3.8 三元一次方程組
一.學習目標
1.知道什么是三元一次方程和三元一次方程組.
2.會用“代入消元法”、“加減消元法”把三元一次方程組化為“二元”、進而化為“一元”方程來解決,感受消元轉化的數學思想.
3.能根據三元一次方程組的具體形式選擇適當的解法.
二.自主預習
1．解方程組時，要使解法較為簡便，應（　　）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消去常數
2．已知三元一次方程組，則x+y+z＝　 　．
【自主歸納】
1.含有 未知數，并且含未知數的項的 都是1的方程，叫作三元一次方程。
2.含有 未知數，并且含未知數的項的 都是1的方程組叫作三元一次方程組
三.探究新知
探究一：三元一次方程（組）的概念
問題 還記的二元一次方程（組）的概念嗎？
問題 你能仿照二元一次方程（組）的概念說一下三元一次方程（組）的概念嗎？
追問 三元一次方程組中的每個方程都一定含有三個未知數嗎？
小結 三元一次方程組三個特征：
(1)含有三個未知數；(2)所含未知數的項的次數都是1；(3)方程的兩邊都是整式．
探究二：三元一次方程組的解
問題 對于上述問題，設個位數字為x，十位數字為y，百位數字為z，能列出
這個方程組嗎？
問題 x，y，z能同時滿足上述三個方程嗎？
追問 還記的二元一次方程組解的定義嗎？
追問 你能根據二元一次方程組的解定義三元一次方程組的解嗎？試一試.
探究二 ：三元一次方程組的解法
問題 解二元一次方程組的思路是什么？這種思路適合解三元一次方程組嗎？
觀察下列三元一次方程組：
問題 觀看方程組，你認為哪個未知數的系數比較簡單？先消系數較簡單的未知數.
問題 類比解二元一次方程組的方法解一下三元一次方程組。
小結
解三元一次方程組的一般步驟：
1.用代入法或加減法，把方程組中的一個方程分別與另外兩個方程分別結合，消去同一個未知數，得到關于兩個未知數的二元一次方程組；
2.解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數的值；
3.將求得的未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；
4.解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；
5.將求得的三個未知數的值用“{”聯立在一起。
探究三 ：例題講解
例1 解三元一次方程組：
例2 解三元一次方程組：
四.運用新知
1．三元一次方程組的解為（　　）
A． B． C． D．
2．解方程組，如果要使運算簡便，那么消元時最好應（　　）
A．先消去x B．先消去y
C．先消去z D．先消常數項
3．關于x、y的方程組的解互為相反數，則m＝　 　．
4．解方程組 ：
．
5．在等式y＝ax2+bx+c中，當x＝0，1，3時y的值分別是﹣2，0，﹣2，根據上述條件解答下列問題．
（1）c＝　 　；
（2）求a﹣b+c的值．
五.達標測試
1.三元一次方程組的解為（ 　　）
A． B． C． D．
2.已知且x+y＝3，則z的值為（　 ）
A．9 B．﹣3 C．12 D．不確定
3.若是三元一次方程組的解，則k的值是 　 　．
4.方程組的解為 　 　．
5.解方程組：．
6.某工廠有甲、乙、丙三個車間，已知甲車間人數比丙車間人數少，而丙車間人數比乙車間人數多，且又比甲、乙兩車間人數和的少4人．三個車間共有多少人？
參考答案：
1.D 2.B 3.﹣15 4.
5.解：，
②+③得：3x﹣y＝7④，
③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤，
①+⑤得：3x﹣3y＝3，即：x﹣y＝1⑥，
④﹣⑥得：2x＝6，
解得：x＝3，
把x用3代入④得：9﹣y＝7，
解得：y＝2，
把x用3，y用2代入①得：3+2+2z＝7，
解得：z＝1，
因此，是原方程組的解．
6.解：設甲車間有x人，乙車間有y人，丙車間有z人，
根據題意得：，
由①可知：zx④，
由②可知：zy，
所以xy，
即16x＝15y⑤．
將④代入③得：（x+y）x＝4，
即y﹣x＝6⑥．
解由⑤⑥組成方程組，得：，
所以zx90＝120，
所以x+y+z＝90+96+120＝306．
答：三個車間共有306人．
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情境導入
情境導入
《前面我們學習了二元一次方程組及其解法——消元法．有些有兩個未知數的問題，可以列出二元一次方程組來解決，實際上，有不少問題含有更多未知數，我們來看下面的問題：
已知一個三位數的個位數字是十位數字與百位數字之和的2倍，百位數字是十位數字的3倍，三位數字之和為12.
對于這個問題，我們可以用二元一次方程組來解決．這個問題中有三個未知數，如果我們設三個未知數，你能列出幾個方程？它們組成一個方程組，你能解出來嗎？
壹
新知初探
新知初探
探究一 三元一次方程（組）的概念
問題 還記的二元一次方程（組）的概念嗎？
答 ：含有兩個未知數 ，并且含未知數的項的次數都是1，這樣程叫作二元一次方程.
像這樣，只含有兩個未知數，并且未知數的項的次數都是1的方程組叫作二元一次方程組．
貳
問題 你能仿照二元一次方程（組）的概念說一下三元一次方程（組）的概念嗎？
答：含有三個未知數，并且含未知數的項的次數都是1的方程，叫作三元一次方程。
含有三個未知數，并且含未知數的項的次都是1的方程組叫作三元一次方程組，一般地，三元一次方程組含有三個方程。
追問 三元一次方程組中的每個方程都一定含有三個未知數嗎？
答：不一定，只要三個方程中共有三個未知數就可以.
(1)含有三個未知數；
(2)所含未知數的項的次數都是1；
(3)方程的兩邊都是整式．
三元一次方程組三個特征：
探究二 三元一次方程組的解
問題 對于上述問題，設個位數字為x，十位數字為y，百位數字為z，能列出這個方程組嗎？



探究三 三元一次方程組的解法
問題 觀看方程組，你認為哪個未知數的系數比較簡單？先消系數較簡單的未知數.
答：x和y的系數都比較簡單.可以先消去x或y來求解.
問題 類比解二元一次方程組的方法解一下三元一次方程組。

解三元一次方程組的一般步驟：
1.用代入法或加減法，把方程組中的一個方程分別與另外兩個方程分別結合，消去同一個未知數，得到關于兩個未知數的二元一次方程組；
2.解這個二元一次方程組，求出這兩個未知數的值；
3.將求得的未知數的值代入原方程組中的一個系數比較簡單的方程，得到一個一元一次方程；
4.解這個一元一次方程，求出最后一個未知數的值；
5.將求得的三個未知數的值用“{”聯立在一起。
探究三 三元一次方程組的解

解 ③×5－①，得y+4z＝﹣10. ④
③×3-②，得2y+7z＝﹣7. ⑤
④×2－⑤，得z=﹣13，
把z用﹣13代入方程④，得 y=42.
把y用42，z用﹣13代入方程③，得 x=﹣31.
因此，
是原方程組的解.


解 ②×3－①，得x+7z＝﹣12. ④
②+③，得5x－2z＝﹣23. ⑤
④×5－⑤，得37z=﹣37，
兩邊都除以37，得z=﹣1.
把z用﹣1代入方程④，得 x=﹣5.
把x用-5，z用﹣1代入方程②，得 y=﹣4.

是原方程組的解.
當堂達標
當堂達標
D
B
叁

-11
②+③得：3x﹣y＝7④，
③×2得：2x﹣4y﹣2z＝﹣4⑤，
①+⑤得：3x﹣3y＝3，
即：x﹣y＝1⑥，
④﹣⑥得：2x＝6，


解得：x＝3，
把x用3代入④得：9﹣y＝7，
解得：y＝2，
把x用3，y用2代入①得：3+2+2z＝7，
解得：z＝1，

是原方程組的解．


課堂小結
課堂小結
1.三元一次方程組滿足的條件：
①含有三個未知數；
②含未知數的項的次數是1；
③兩邊都是整式.
2.解三元一次方程組的基本思路：
三元一次方程組
肆
二元一次方程組
一元一次方程
課后作業
基礎題：1.課后練習第1題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第1題

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