資源簡介

4.3.2　角的度量與計(jì)算
第2課時(shí) 余角和補(bǔ)角
一.學(xué)習(xí)目標(biāo)
1.在具體情境中認(rèn)識余角和補(bǔ)角,會利用互余、互補(bǔ)關(guān)系求出角的度數(shù).
2.探索并掌握余角和補(bǔ)角的性質(zhì).
3.通過互余與互補(bǔ)關(guān)系的應(yīng)用,進(jìn)一步提高學(xué)生的抽象概括能力和邏輯推理能力.
二.自主預(yù)習(xí)
1．已知∠1與∠2互余，若∠1＝25°，則∠2＝（　　）
A．35° B．45° C．55° D．65°
2．在△ABC中，∠A和∠B互余，那么∠C＝　 　°．
3．若∠α＝36°，則∠α的補(bǔ)角為　 　度．
4.圖中給出的各角,哪些互為余角
【自主歸納】
(1)如果兩個(gè)角的和等于90°(直角)，就說這兩個(gè)角互為______ (簡稱為兩個(gè)角______ ).
如圖，可以說∠1是∠2的余角，或∠2是∠1的余角，或∠1和∠2互余.
(2)如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為______ (簡稱為兩個(gè)角______).
如圖，可以說∠3是∠4的補(bǔ)角，或∠4是∠3的補(bǔ)角，或∠3和∠4互補(bǔ).
三.探究新知
探究一：余角和補(bǔ)角的概念
1.如圖所示,將一張長方形紙片,沿一個(gè)角折疊后,折痕與長方形的邊形成了4個(gè)角.
問題1 ∠1與∠2有什么數(shù)量關(guān)系
問題2 ∠3與∠4有什么數(shù)量關(guān)系
小結(jié)：
(1)如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)直角(90°),那么就說這兩個(gè)角互為　 　
(簡稱　 　)，也說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的余角.
(2)如果兩個(gè)角的和等于一個(gè)平角(180°),那么就說這兩個(gè)角互為 　
(簡 　 　)，也說其中一個(gè)角是另一個(gè)角的補(bǔ)角.
【練習(xí)】
(1)圖中給出的各角,哪些互為余角
(2)圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角
探究二 ：余角和補(bǔ)角的性質(zhì)
問題1 ∠1與∠2互補(bǔ),∠1與∠3互補(bǔ),那么∠2與∠3的大小有什么關(guān)系 請說明理由.
問題2 ∠4與∠5互余,∠4與∠6互余,那么∠5與∠6的大小有什么關(guān)系 請說明理由.
小結(jié)：
同角(等角)的補(bǔ)角相等.
類似地,可以得到同角(等角)的余角相等.
探究三 ：例題講解
例1.如圖所示,點(diǎn)A,O,B在同一條直線上,射線OD和射線OE分別平分∠AOC和
∠BOC,圖中哪些角互為余角
例2 如圖，∠AOB與∠BOD互為余角，OC是 ∠BOD的平分線，∠AOB=29.66°，求∠COD的度數(shù).
例3.若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍,求這個(gè)角的度數(shù).
四.運(yùn)用新知
1.判斷:
①∠1+∠2=90°,則∠1是余角.( )
②∠1+∠2+∠3=90°,則∠1,∠2,∠3互為余角.( )
③如果一個(gè)角有補(bǔ)角,那么這個(gè)角一定是鈍角.( )
④鈍角沒有余角,但一定有補(bǔ)角.( )
2.①70°的余角是　　　,補(bǔ)角是　　　.
②∠α(∠α<90°)的它的余角是 ,它的補(bǔ)角是 .
3..一個(gè)角的補(bǔ)角是它的3倍,這個(gè)角是多少度
4.如圖，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC.若∠BOC＝70°，∠AOC＝50°.
(1)求出∠AOB及其補(bǔ)角的度數(shù)；
(2)請求出∠DOC和∠AOE的度數(shù)，并判斷∠DOE與∠AOB是否互補(bǔ)，并說明理由．
五.達(dá)標(biāo)測試
1.若∠A=23°,則∠A的余角的大小是(B)
A.57° B.67° C.77° D.157°
2.下列說法錯(cuò)誤的是(D)
A.兩個(gè)互余的角都是銳角
B.銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)角本身
C.互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不可能都是銳角
D.銳角大于它的余角
3.如圖，∠1和∠2都是∠α的余角，則下列關(guān)系不一定正確的是( D )
A．∠1＋∠α＝90° B．∠2＋∠α＝90°
C．∠1＝∠2 D．∠1＋∠2＝90°
4.已知一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)為 .
5.如圖所示,已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1)圖中有哪幾對互余的角
(2)圖中哪幾對角是相等的角(直角除外)
6.如圖點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),∠BOC=∠DOE=90°，請說明：
（1）∠1=∠2；
（2）∠COF=∠AOE.
參考答案
1.B 2.D 3.D 4.45°
5.解:(1)∠A+∠B=90°,∠A+∠2=90°,
∠1+∠B=90°,∠1+∠2=90°.
所以互余的角為∠A和∠B,∠A和∠2,∠1和∠B,∠1和∠2.
(2)∠B=∠2(同角的余角相等),
∠A=∠1(同角的余角相等).
6.解：（1）因?yàn)椤螧OC=∠DOE=90°
所以∠COE+∠1=90°,∠COE+∠2=90°,
所以∠1=∠2.
（2）因?yàn)椤?+∠COF=180°,∠2+∠AOE=180°,∠1=∠2，
所以∠COF=∠AOE.
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情境導(dǎo)入
情境導(dǎo)入
如圖壩底是由石塊堆積而成，要測出∠1的度數(shù)，聰明的你有什么簡單的方法嗎？
壹
情境導(dǎo)入
要解決這問題，我們先來學(xué)習(xí)余角和補(bǔ)角.
壹
如圖（2）∠1和∠2是直角嗎？它們之間有什么關(guān)系？如圖（3）∠1與∠2有什么關(guān)系？
新知初探
新知初探
探究一 余角和補(bǔ)角的概念
將一張長方形紙片，沿一個(gè)角折疊后，折痕與長方形的邊形成了4個(gè)角.
1
2
3
4
問題
1. ∠1 與∠2 有什么數(shù)量關(guān)系？
∠1+∠2 = 90°
2. ∠3與∠4有什么數(shù)量關(guān)系？
∠3+∠4 = 180°
貳
問題
1
2
如果兩個(gè)角的和等于90°( 直角 )，就說這兩個(gè)角互為余角 ( 簡稱為兩個(gè)角互余 ).
如圖，可以說 ∠1 是 ∠2 的余角，
或 ∠2 是∠1的余角，或 ∠1和 ∠2互余.
如果兩個(gè)角的和等于180°(平角)，就說這兩個(gè)角互為補(bǔ)角 ( 簡稱為兩個(gè)角互補(bǔ) ).
如圖，可以說 ∠3 是 ∠4 的補(bǔ)角，或 ∠4是 ∠3 的補(bǔ)角，或 ∠3 和 ∠4 互補(bǔ).
4
3
練習(xí)
1.圖中給出的各角，哪些互為余角？
15o
24o
66o
75o
46.2o
43.8o
2.圖中給出的各角，哪些互為補(bǔ)角？
10o
30o
60o
80o
100o
120o
150o
170o
探究2 余角和補(bǔ)角的性質(zhì)
∠1 與∠2互補(bǔ)，∠1 與∠3都互為補(bǔ)角，
∠2 與∠3 的大小有什么關(guān)系？
問題1
1
2
3
∠2=180°－∠1
∠3=180°－∠1
=
你能將這個(gè)結(jié)論用數(shù)學(xué)語言進(jìn)行敘述嗎？
同角 (等角) 的補(bǔ)角相等.
結(jié)論：
你能說明為什么“同角 (等角) 的余角相等”嗎？
理由：因?yàn)椤?與∠2,∠1與∠3都互為補(bǔ)角，
所以∠1+∠2=180°,∠1+∠3=180°,
所以∠2=180°-∠1，∠3=180°-∠1，
所以∠2=∠3.
問題2 ∠4與∠5互余,∠4與∠6互余,那么∠5與∠6的大小有什么關(guān)系 請說明理由.
同角 (等角) 的余角相等.
類似地，可以得到：
解:∠5=∠6.
因?yàn)椤?與∠5互余,∠4與∠6互余，
所以∠4+∠5=90°,∠4+∠5=90°,
所以∠5=90°-∠1，∠6=90°-∠1，
所以∠5=∠6.
例1.如圖，點(diǎn)A，O，B在同一直線上，射線 OD 和射線 OE 分別平分∠AOC 和∠BOC，圖中哪些角互為余角？
解：因?yàn)辄c(diǎn)A，O，B在同一直線
上，所以 ∠AOC 和 ∠BOC 互為補(bǔ)角.
O
A
B
C
D
E
又因?yàn)樯渚€ OD 和射線 OE 分別平分∠AOC 和∠BOC，
所以∠COD+∠COE= ∠AOC+ ∠BOC
= (∠AOC+∠BOC ) = 90°.
探究三 例題講解
O
A
B
C
D
E
所以∠COD和∠COE互為余角，
同理∠AOD和∠BOE，∠AOD和∠COE，∠COD和∠BOE也互為余角.
例2 如圖，∠AOB與∠BOD互為余角，OC是 ∠BOD的平分線，∠AOB=29.66°，求∠COD的度數(shù).
解：因?yàn)椤螦OB與∠BOD互為余角，
所以∠BOD＝90°－∠AOB＝90°－29.66°＝60.34°.
因?yàn)镺C是 ∠BOD的平分線，
所以∠COD＝∠BOD ＝×60.34°＝30.17°，
因此，求∠COD的度數(shù)為30.17°.
例3.若一個(gè)角的補(bǔ)角等于它的余角的4倍,求這個(gè)角的度數(shù).
解:設(shè)這個(gè)角為x°,則它的補(bǔ)角是(180-x)°,余角是(90-x)°.
根據(jù)題意,得180-x=4(90-x).
解得x=60.
答:這個(gè)角的度數(shù)是60°.
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
當(dāng)堂達(dá)標(biāo)
1.若∠A=23°,則∠A的余角的大小是( )
A.57° B.67° C.77° D.157°
2.下列說法錯(cuò)誤的是( )
A.兩個(gè)互余的角都是銳角
B.銳角的補(bǔ)角大于這個(gè)角本身
C.互為補(bǔ)角的兩個(gè)角不可能都是銳角
D.銳角大于它的余角
B
D
叁
3． 如圖，∠1和∠2都是∠α的余角，則下列關(guān)系不一定正確的是( )
A．∠1＋∠α＝90° B．∠2＋∠α＝90°
C．∠1＝∠2 D．∠1＋∠2＝90°
D
4.已知一個(gè)角的余角是這個(gè)角的補(bǔ)角的，則這個(gè)角的度數(shù)為 .
45°
5. 如圖，已知∠ACB=∠CDB=90°.
(1) 圖中有哪幾對互余的角？
(2) 圖中哪幾對角是相等的角(直角除外)？為什么？
答案：∠A+∠B=90°
∠A+∠2=90°
∠1+∠B=90°
∠1+∠2=90°
答案：∠B=∠2
∠A=∠1
( 同角的余角相等 )
( 同角的余角相等 )
A
C
D
1
2
B
6.如圖點(diǎn)O是直線AB上一點(diǎn),∠BOC=∠DOE=90°，請說明：
（1）∠1=∠2；
（2）∠COF=∠AOE.
解：（1）因?yàn)椤螧OC=∠DOE=90°
所以∠COE+∠1=90°,∠COE+∠2=90°,
所以∠1=∠2.
（2）因?yàn)椤?+∠COF=180°,∠2+∠AOE=180°,∠1=∠2，
所以∠COF=∠AOE.
課堂小結(jié)
課堂小結(jié)
1.角的關(guān)系
(1)互為余角；
(2)互為補(bǔ)角.
2.角的性質(zhì)：
(1)同角(等角)的余角相等；
(2)同角(等角)的補(bǔ)角相等.
肆
課后作業(yè)
基礎(chǔ)題：1.課后練習(xí)第1,2題。
提高題：2.請學(xué)有余力的同學(xué)完成課后習(xí)題第10題

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