資源簡介

4.2 線段、射線、直線
第2課時 線段的長短比較和線段的基本事實
一.學習目標
1.掌握用測量法與疊合法來比較線段的長短.
2.借助具體情境,了解“兩點之間,線段最短”的性質.
3、會用直尺和圓規作一條線段，使它等于已知線段.
4、理解線段的和、差以及線段中點的意義，能用直尺和圓規作出線段的和、差，并能用符號語言表示出來，感受符號語言在描述圖形中的重要作用.
二.自主預習
1．如圖，圍繞在正方形四周的四條線段a，b，c，d中，長度最長的是（　　）
A．a B．b C．c D．d
2．用圓規比較兩條線段A′B′和AB的長短（如圖），下列結論正確的是（　　）
A．A′B′＞AB B．A′B′＝AB C．A′B′＜AB D．不確定
3．如果點C是線段AB的中點，且AC＝2.5cm，則AB＝　 　cm．
4.為了節省航行時間，把彎曲的河道改直，這里體現的數學道理是 　　．
【自主歸納】
1.線段基本事實： .
2.尺規作圖：僅用 和 的直尺作圖的方法.
3.線段的中點：如圖所示,點B把線段AC分成 的兩條線段AB與BC,點B叫做線段AC的中點.其中AC= 2 = 2 .
三.探究新知
探究一：線段長短的比較
問題1　做手工時,在沒有刻度尺的條件下,如何從較長的木棒上截下一段,使截下的木棒等于另一根短木棒的長
思考:畫在黑板上的線段是無法移動的,在只有圓規和無刻度的直尺的情況下,請大家想想辦法,如何再畫一條與它相等的線段
問題2:你們平時是如何比較兩個同學的身高的 你能從比身高的方法中得到啟
問題3 比較線段AB,CD的長短.
探究二 ：線段的基本事實
問題1 杭州灣跨海大橋是跨越杭州灣的便捷通道.大橋北起嘉興市，跨越寬闊的杭州灣海域后止于寧波市，全長36 km.大橋建成后寧波至上海間的陸路距離縮短了約120 km.你知道這是根據什么原理嗎？
問題2 如圖所示,從A地到B地有四條道路,除它們外能否再修一條從A地到B地的最短道路 如果能,請你聯系以前所學的知識,在圖上畫出最短路線.
小結：
(1)經過比較,我們可以得到一個關于線段的基本事實:
兩點之間的所有連線中,線段最短.簡單說成:兩點之間,線段最短;
(2)連接兩點的線段的長度,叫作兩點間的距離.
探究三 ：線段的和、差、倍、分
問題1：作一條線段等于已知線段.
已知:線段a,作一條線段AB,使AB=a.
問題2 如圖，已知線段a，借助圓規和直尺作一條線段使它等于2a.
問題3 在直線上畫出線段AB=a,再在AB的延長線上畫線段BC=b,線段AC就是　
　與　　的和,記作AC=　　.如果在AB上畫線段BD=b,那么線段AD就是　　與　
　的差,記作AD=　　.
問題4 如圖所示：點B,C在線段AD上,完成填空.
則AB+BC=　 　；AD-CD=　 　；BC=　 　-　 　=　 　-　 　.
問題5 在一張紙上畫一條線段,折疊紙片,使線段的端點重合,折痕與線段的交點位于線段的什么位置
小結:
如圖(1)所示,點B把線段AC分成相等的兩條線段AB與BC,點B叫做線段AC的中點.類似地,還有線段的三等分點(如圖(2)所示)、四等分點(如圖(3)所示)等.
圖(1)
線段的三等分點
　　 圖(2)　　
線段的四等分點
　　 圖(3)
幾何語言:因為點B是線段AC的中點,
所以AB=CB=AC(或AC=2AB=2CB).
反之也成立:因為AB=CB=AC(或AC=2AB=2CB),
所以點B是線段AC的中點.
探究四 ：例題講解
1.在一條筆直的公路l兩側，分別有A，B兩個村莊，如圖，現在要在公路上建一個汽車站C，使汽車站到兩村的距離和最小，請在圖中畫出汽車站C的位置，并說明理由.
2.若AB=6cm,點C是線段AB的中點,點D是線段CB的中點,求線段AD的長.
3.如圖所示,B,C是線段AD上兩點,且AB∶BC∶CD=3∶2∶5,E,F分別是AB,CD的中點,且EF=24,求線段AB,BC,CD的長.
四．運用新知
1．A，B，C，D四個村莊之間的道路如圖，從A去D有四條路線：①A→B→C→D，②A→B→D，③A→C→D，④A→E→D，這四條路線中路程最短的是（　　）
A．① B．② C．③ D．④
2．下列四個生活現象中，可用“兩點之間，線段最短”來解釋的是（　　）
A．用兩個釘子就可以把木條固定在墻上
B．植樹時只要沿著公路走，就能確定同一行樹所在的直線
C．把彎曲的公路改直，就能縮短路程
D．利用圓規可以比較兩條線段的大小關系
3.下列四種說法:①因為AM=MB,所以M是AB中點;②在線段AM的延長線上取一點B,如果AB=2AM,那么M是AB的中點;③因為M是AB的中點,所以AM=MB=AB;④因為A,M,B在同一條直線上,且AM=BM,所以M是AB的中點.其中正確的是( )
A.①③④ B.④ C.②③④ D.③④
4.已知線段AB＝10cm，直線AB上有一點C，且BC＝6cm，AC的長為 　　．
5.如圖所示，點C在線段AB上，AB＝15，AC＝6，點M、N分別是AB、BC
的中點．
（1）求CN的長度；
（2）求MN的長度．
五．達標檢測
1.如圖所示,小紅同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分,發現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小,能正確解釋這一現象的數學知識是( )
A.兩點之間,線段最短
B.兩點確定一條直線
C.過一點,有無數條直線
D.連接兩點之間的線段叫做兩點間的距離
2.點C在線段AB上,下列條件中不能確定點C是線段AB中點的是( )
A.AC=BC B.AC+BC=AB C.AB=2AC D.BC=AB
3.如圖所示,點C在線段AB上,AB=10cm,AC=4cm,點D是BC的中點,則BD等于( )
A.2cm B.3cm C.5cm D.6cm
4.已知線段AB=10cm,直線AB上有一點C,且BC=4cm,M是線段BC的中點,則AM的長是　 　cm.
5.如圖所示,AB=4cm,BC=3cm,如果點O是線段AC的中點.求線段OB的長度.
參考答案：
1.A 2.B 3.B 4.8或12
5.解:因為AC=AB+BC=4+3=7(cm),
點O為線段AC的中點,
所以OC=AC=×7=3.5(cm).
所以OB=OC-BC=3.5-3=0.5(cm).
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情境導入
情境導入
比較兩名同學的身高，可以有幾種比較方法？向大家說說你的想法．
壹
新知初探
探究一　線段長短的比較
做手工時，在沒有刻度尺的條件下，若想從較長的木棍上截下一段，使截下的木棒等于另一根短木棒的長，我們常采用以上辦法.
新知初探
貳
畫在黑板上的線段是無法移動的，在只有圓規和無刻度的直尺的情況下，請大家想想辦法，如何再畫一條與它相等的線段？
思考：
小提示：在可打開角度的最大范圍內，圓規可截取任意長度，相當于可以移動的“小木棍”.
　　 你們平時是如何比較兩個同學的身高的？你能從比身高的方法中得到啟示來比較兩條線段的長短嗎？
問題2
比較兩個同學高矮的方法：
——疊合法.
②讓兩個同學站在同一平地上，腳底平齊，觀看
兩人的頭頂，直接比出高矮.
①用卷尺分別度量出兩個同學的身高，將所得的
數值進行比較.
——度量法.
問題3 黑板上有兩條線段，你能判斷一下它們的長短嗎？你用的什么方法？
a
度量法：即用刻度尺分別量出它們的長度，然后比較它們的長度的大小.
a
b
A B
C D
（A）
B
b
疊合法
記作 AB＜CD
線段AB小于線段CD
C
D
1. 若點 A 與點 C 重合，點 B 落
在C，D之間，那么 AB CD.
(A)
B
＜
疊合法結論：
C
D
A
B
B
(A)
2. 若點 A 與點 C 重合，點 B 與
點 D ，那么 AB = CD.
3. 若點 A 與點 C 重合，點 B 落
在 CD 的延長線上，那么 AB
CD.
重合
＞
B
A
B
A
C
D
(A)
(B)
1
2
兩條線段要放在同一條直線上.
一個端點重合，另一個端點要放在公共端點的同側.
用疊合法比較線段的長短時，有什么需要注意的嗎？
思考
探究二 線段的基本事實
議一議
如圖，從A地到B地有四條道路.
思考1 除它們之外能否再修一條從A地到B地的最短道路？
探究二 線段的基本事實
問題1
杭州灣跨海大橋是跨越杭州灣的便捷通道.大橋北起嘉興市，跨越寬闊的杭州灣海域后止于寧波市，全長36 km.大橋建成后寧波至上海間的陸路距離縮短了約120 km.你知道這是根據什么原理嗎？
答：連接兩點之間的線段長度比折線長度短.
經過比較，我們可以得到一個關于線段的基本事實：
兩點的所有連線中，線段最短.
連接兩點的線段的長度，叫做
兩點間的距離.
你能舉出這條性質在生活中的應用嗎？
簡單說成：兩點之間，線段最短.
問題2 如果能，在圖上畫出最短路線.
①
②
③
④
⑤
已知：線段 a，作一條線段 AB，使 AB=a.
第一步：用直尺畫射線 AF；
第二步：用圓規在射線 AF 上截取
AB = a.
所以 線段 AB 為所求.
a
A F
a
B
在數學中，我們常限定用無刻度的直尺和圓規作圖，這就是尺規作圖.
探究三 ：線段的和、差、倍、分
A B C
問題3 （1）如圖，已知線段 a 和 b，且 a＞b.
a
b
AB=a，BC=b，則線段AC就是a與b的 .
記作 .
和
AC=a+b
（2）如圖，已知線段 a 和 b，且 a＞b.
a
b
AB=a，BD=b，則線段AD就是a與b的 .
記作 .
A B
差
AD=a-b
D
問題 如圖，已知線段a和線段b，怎樣通過作圖得到a與b的和、a與b的差呢？
b
a
B
C
a
b
A
P
B
C
a
b
A
P
AC=a＋b
CB=a－b
如圖，點B，C在線段 AD 上則AB+BC=____； AD－CD=___；BC＝ ___ －___= ___ － ___.
A
B
C
D
AC
AC
AC
AB
BD
CD
問題4
在一張紙上畫一條線段，折疊紙片，使線段的端點重合，折痕與線段的交點處于線段的什么位置？
A
B
M
問題5
解:位于線段的中點.
A
B
M
如圖，點 M 把線段 AB 分成相等的兩條線段AM 與 BM，點 M 叫做線段 AB 的中點. 類似地，還有線段的三等分點、四等分點等.
線段的三等分點
線段的四等分點
A
a
a
M
B
M 是線段 AB 的中點
幾何語言：因為 M 是線段 AB 的中點
所以 AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 MB )
反之也成立：因為AM = MB = AB
( 或 AB = 2 AM = 2 AB )
所以M 是線段 AB 的中點
點 M , N 是線段 AB 的三等分點：
AM = MN = NB = ___ AB
(或 AB = ___AM = ___ MN = ___NB)
3
3
3
N
M
B
A
1.在一條筆直的公路l兩側，分別有A，B兩個村莊，如圖，現在要在公路上建一個汽車站C，使汽車站到兩村的距離和最小，請在圖中畫出汽車站C的位置，并說明理由.
如圖，連接AB，交直線l于點C，點C 就是建汽車站的位置.
理由：兩點之間線段最短.
探究四 例題講解
2.若 AB = 6cm，點 C 是線段 AB 的中點，點 D是線段 CB 的中點，求：線段 AD 的長是多少
解：因為 C 是線段 AB 的中點，
因為 D 是線段 CB 的中點，
所以 AC = CB = AB = ×6= 3 (cm).
所以 CD = CB = ×3=1.5 (cm).
所以 AD =AC + CD = 3 + 1.5 = 4.5 (cm).
A C B
D
3.如圖，B、C是線段AD上兩點，且AB：BC：CD=3：2：5，E、F分別是AB、CD的中點，且EF=24，求線段AB、BC、CD的長．
F
E
C
B
D
A
解析：根據已知條件AB：BC：CD=3：2：5，不妨設AB=3x,BC =2x,CD=5x,然后運用線段的和差倍分，用含x的代數式表示EF的長，從而得到一個關于x的一元一次方程，解方程，得到x的值，即可得到所求各線段的長.
F
E
C
B
D
A
解：設AB=3x，BC=2x，CD=5x，
因為E、F分別是AB、CD的中點，
所以
所以EF=BE+BC+CF=
因為EF=24，所以6x=24,解得x=4.
所以AB=3x=12，BC=2x=8，CD=5x=20.
【方法歸納】求線段的長度時，當題目中涉及到線段長度的比例或倍分關系時，通常可以設未知數，運用方程思想求解．
當堂達標
當堂達標
1．如圖，小紅同學用剪刀沿直線將一片平整的樹葉剪掉一部分，發現剩下樹葉的周長比原樹葉的周長要小，能正確解釋這一現象的數學知識是( )
A．兩點之間，線段最短
B．兩點確定一條直線
C．過一點，有無數條直線
D．連接兩點之間的線段叫做兩點間的距離
A
叁
2．點C在線段AB上，下列條件中不能確定點C是線段AB中點的是( )
A．AC＝BC B．AC＋BC＝ AB
C．AB＝2AC D．BC＝AB
3．如圖，點C在線段AB上，AB＝10 cm，AC＝4 cm，點D是BC的中點，則BD＝( )
A．2 cm B．3 cm C．5 cm D．6 cm
B
B
4．已知線段AB＝10 cm，直線AB上有一點C，且BC＝4 cm，M是線段BC的中點，則AM的長是 cm．
5．如圖：AB = 4 cm，BC = 3 cm，如果點O 是線段 AC 的中點．求線段 OB 的長度．
8或12
解：因為 AC=AB+BC=4+3=7(cm)，
點O 為線段AC的中點，
所以 OC= AC= ×7=3.5(cm)，
所以 OB=OC－BC=3.5－3= 0.5 (cm)．
課堂小結
課堂小結
1.線段的比較與性質
(1)比較線段:度量法和疊合法;
(2)兩點之間,線段最短.
2.線段長度的計算
(1)中點:把線段AB分成兩條相等線段的點;
(2)兩點間的距離:連接兩點間的線段的長度.
肆
課后作業
基礎題：1.課后練習 第 1,2題。
提高題：2.請學有余力的同學完成課后習題第5題

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