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蘇科版·九年級上冊
1.3 一元二次方程的
根與系數(shù)的關(guān)系
第一章
一元二次方程
章節(jié)導(dǎo)讀
學(xué) 習(xí) 目 標(biāo)
1
2
探索一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系及其逆用，并證明
掌握一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，并解決求值、求參等問題
知識回顧
1. 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的求根公式：
2. 一元二次方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的根的情況：
x = ( b2 - 4ac ≥ 0 )
①當(dāng)Δ > 0時(shí)，有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②當(dāng)Δ = 0時(shí)，有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③當(dāng)Δ < 0時(shí)，方程無實(shí)數(shù)根。
新知探究
思
考
1. 完成下表并觀察一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？
x1 x2 x1 + x2 x1·x2
x2 -3x + 2 = 0 1 2
x2 + 3x + 2 = 0 -1 -2
x2 - 5x + 6 = 0 2 3
x2 + 5x + 6 = 0 -2 -3
x2 - 3x = 0 0 3
3 2
-3 2
5 6
-5 6
3 0
兩根的和與一次項(xiàng)系數(shù)互為相反數(shù)
兩根的積與常數(shù)項(xiàng)相等
新知探究
思
考
1. 完成下表并觀察一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，你發(fā)現(xiàn)了什么？
【猜想】
若x2 + px + q = 0的兩個(gè)根是x1，x2，則x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。
新知探究
思
考
2. 方程2x2 - 5x - 3 = 0的兩根是x1 = 3，x2 = ，這兩根的和、兩根的積與系數(shù)有什么關(guān)系？
x1 + x2 = ≠一次項(xiàng)系數(shù)-5
x1·x2 = ≠常數(shù)項(xiàng)-3
二次項(xiàng)系數(shù)是2，一次項(xiàng)系數(shù)是-5，常數(shù)項(xiàng)是-3，
( -5 ) ÷ 2 =
( -3 ) ÷ 2 =
解：兩根的和與互為相反數(shù)，兩根的積與相等。
新知探究
思
考
3. 求出方程3x2 - 7x + 4 = 0的解，再驗(yàn)證這個(gè)方程的根與系數(shù)是否有 2. 中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。
解：( 3x - 4 ) ( x - 1 )=0，
3x - 4 = 0或x - 1 = 0，
∴x1 = ，x2 = 1；
x1+x2 x1·x2
∴這個(gè)方程的根與系數(shù)有 2. 中發(fā)現(xiàn)的關(guān)系。
新知探究
【猜想】
若ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的兩個(gè)根是x1，x2，則x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
證
明
【證明】
在ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )中，若Δ = b2 - 4ac ≥ 0，
則它的兩個(gè)根是x1 = ，x2 =，
∴x1 +x2 = + = = ，
x1·x2 = · = = = 。
新知探究
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的兩個(gè)根是x1，x2，x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
特別地，方程x2 + px + q = 0的兩個(gè)根是x1，x2，x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。
注意：x1 + x2 = 中，的負(fù)號不要掉！
使用前提：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ = b2 - 4ac ≥ 0。
知識要點(diǎn)
典例分析
典例1 完成下列表格。
方法技巧
解題關(guān)鍵：直接用韋達(dá)定理
x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
Δ = b2 - 4ac x1 + x2 x1·x2
x2 - 2x - 3 = 0
2x2 - x - 10 = 0
4x2 + 17x + 4 = 0
4x2 - 4x + 1 = 0
x2 + 4x + 5 = 0
16 > 0 2 -3
81 > 0 -5
225 > 0 1
0 1
-4 < 0 × ×
再次強(qiáng)調(diào)：
韋達(dá)定理的使用前提：Δ = b2 - 4ac ≥ 0
典例分析
典例2 完成下列表格。
x1 + x2 x1·x2 x12 + x22 |x1 - x2|
x2 - 2x - 3 = 0 2 -3
2x2 - x - 10 = 0 -5
4x2 + 17x + 4 = 0 1
4x2 - 4x + 1 = 0 1
10
4
0
方法技巧
解題關(guān)鍵：
掌握常見的變形公式
x12 + x22 = ( x1 + x2 )2 - 2x1·x2，
|x1 - x2| = ，
……
新知探究
與x1 + x2，x1·x2有關(guān)的常見變形公式：
知識要點(diǎn)
典例分析
典例3 已知ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的兩根之和5，
兩根之積是6，則原方程可能為__________________。
解：∵ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的兩根之和5，
兩根之積是6，
∴ = 5， = 6，
∴b = -5a，c = 6a，
∴原方程為ax2 - 5ax + 6a = 0 ( a ≠ 0 )，
即a (x2 - 5x + 6 ) = 0 ( a ≠ 0 )，
若取a = 1，則原方程為x2 - 5x + 6 = 0。
x2 - 5x + 6 = 0
方法技巧
解題關(guān)鍵：
若已知兩根的和、兩根的積，
則可先用韋達(dá)定理，將條件轉(zhuǎn)化為系數(shù)之間的關(guān)系式，再進(jìn)一步求解。
新知探究
韋達(dá)定理的逆用：
若一元二次方程的兩個(gè)根x1，x2滿足x1 + x2 = m，x1·x2 = n，
則這個(gè)方程可以記為a ( x2 - mx + n ) = 0 ( a ≠ 0 )。
知識要點(diǎn)
題型探究
【例1】關(guān)于x的一元二次方程5x2 - 4x + k = 0的一個(gè)根為1，則它的另一個(gè)根是________。
已知方程的一個(gè)根，求另一個(gè)根
題型一
此題型默認(rèn)b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韋達(dá)定理
解：設(shè)方程的另一個(gè)根為t，
由題意可得：1 + t = ，解得：t = 。
題型探究
求關(guān)于根的代數(shù)式的值—對稱型
題型二
【例2】( 1 ) 已知a、b是一元二次方程2x2 + 3x - 4 = 0的兩個(gè)根，那么ab2 + a2b的值是________；
解：( 1 ) ∵a、b是2x2 + 3x - 4 = 0的兩個(gè)根，
∴a + b = ，ab = -2，
∴ab2 + a2b = ab ( a + b ) = -2 × ( ) = 3；
此題型默認(rèn)b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韋達(dá)定理
3
題型探究
求關(guān)于根的代數(shù)式的值—對稱型
題型二
【例2】( 2 ) 已知實(shí)數(shù)a、b分別滿足a2 - 6a + 4 = 0，b2 - 6b + 4 = 0，且a ≠ b，
則a2 + b2的值為（　　）
A．36 B．50 C．28 D．25
( 2 ) ∵a2 - 6a + 4 = 0，b2 - 6b + 4 = 0，且a ≠ b，
∴a、b可看作方程x2 - 6x + 4 = 0的兩根，
∴a + b = 6，ab = 4，
∴a2 + b2 = ( a + b )2 - 2ab = 62 - 2 × 4 = 28。
C
題型探究
求關(guān)于根的代數(shù)式的值—非對稱型
題型三
【例3】( 1 ) 已知方程x2 - 2x - 2 = 0的兩根分別為x1，x2，則x12 - x22 + 4x2的值為________；
解：( 1 ) ∵x2 - 2x - 2 = 0的兩根分別為x1，x2，
∴x1 + x2 = 2，x1·x2 = -2，
∴x12 - x22 + 4x2
= ( x1 + x2 ) ( x1 - x2 ) + 4x2
= 2 ( x1 - x2 ) + 4x2
= 2 ( x1 + x2 )
= 4；
4
此題型默認(rèn)b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韋達(dá)定理
解題方法與策略：
先通過韋達(dá)定理代值將非對稱型的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為對稱型
題型探究
求關(guān)于根的代數(shù)式的值—非對稱型
題型三
【例3】( 2 ) 若α、β為x2 + 2x - 4 = 0的兩根，則a2 + αβ + 2α的值為________。
( 2 ) ∵α、β為x2 + 2x - 4 = 0的兩根，
∴α2 + 2α - 4 = 0，αβ = -4，
∴α2 = -2α + 4，
∴a2 + αβ + 2α
= -2α + 4 + αβ + 2α
= 4 + αβ
= 4 + ( -4 )
= 0。
0
解題方法與策略：
先通過原方程式降次將非對稱型的代數(shù)式轉(zhuǎn)化為對稱型
等式左邊是二次，右邊是一次，從左到右，可以達(dá)到“降次”的目的
題型探究
已知方程的兩根，求參數(shù)
題型四
【例4】若關(guān)于x的方程2x2 + mx + n = 0的根是x1 = -1，x2 = 3，則m + n = ________。
解：根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系得： = -1 + 3， = -1 × 3，
解得：m = -4，n = -6，
∴m + n = -4 + ( -6 ) = -10。
此題型默認(rèn)b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韋達(dá)定理
-10
題型探究
已知方程兩根的關(guān)系式，求參數(shù)
題型五
【例5】若關(guān)于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的兩根互為倒數(shù)，則k =（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．±1
判斷下列做法是否正確：
解：∵關(guān)于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的兩根互為倒數(shù)，
∴x1·x2 = k2 = 1，解得：k = 1或k = -1。
兩個(gè)條件：
①兩個(gè)實(shí)數(shù)根
②兩根互為倒數(shù)
當(dāng)k = 1時(shí)，方程為x2 + x + 1 = 0，
∵Δ = b2 - 4ac = 1 - 4 = -3 < 0，
∴方程無實(shí)數(shù)根，與題意不符。
題型探究
已知方程兩根的關(guān)系式，求參數(shù)
題型五
【例5】若關(guān)于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的兩根互為倒數(shù)，則k =（　　）
A．3 B．1 C．-1 D．±1
正解：
∵關(guān)于x的方程x2 + ( 2 - k ) x + k2 = 0的兩根互為倒數(shù)，
∴Δ = ( 2 - k )2 - 4k2 ≥ 0，x1·x2 = k2 = 1，
解得：-2 ≤ k ≤ ，k = 1或k = -1，
∴k = -1。
C
題型探究
解題策略 題型四： 已知方程的兩根，求參數(shù) 在確保 a ≠ 0 的前提下 此題型默認(rèn)b2 - 4ac ≥ 0，可直接用韋達(dá)定理
題型五： 已知方程兩根的關(guān)系式，求參數(shù) 必須列兩個(gè)式子：
①兩個(gè)實(shí)數(shù)根：Δ ≥ 0（或兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根：Δ>0）
②韋達(dá)定理表示的兩根的關(guān)系式
課堂小結(jié)
一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系（韋達(dá)定理）：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的兩個(gè)根是x1，x2，x1 + x2 = ，x1·x2 = 。
特別地，方程x2 + px + q = 0的兩個(gè)根是x1，x2，x1 + x2 = -p，x1·x2 = q。
注意：x1 + x2 = 中，的負(fù)號不要掉！
使用前提：
方程ax2 + bx + c = 0 ( a ≠ 0 )的有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即Δ = b2 - 4ac ≥ 0。
課堂小結(jié)
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