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第二章
實數(shù)
八年級數(shù)學北師版·上冊
1 第1課時 無理數(shù)
新課引入
七年級的時候，我們學習了有理數(shù)，知道了整數(shù)和分數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)，考慮下面的問題：
(1)一個整數(shù)的平方一定是整數(shù)嗎？
(2)一個分數(shù)的平方一定是分數(shù)嗎？
是
是
新知探究
隨著研究的深入，人們發(fā)現(xiàn)了不是有理數(shù)的數(shù)，現(xiàn)實生活中存在大量不是有理數(shù)的數(shù)，下面讓我們一起來探究非有理數(shù).
下面請同學們拿出準備好的兩個邊長為1的小正方形，把兩個邊長為1的小正方形通過剪、拼，設法得到一個大正方形.
1
1
1
1
新知探究
1
1
方 法 一
新知探究
方
法
二
思考:(1)設大正方形的邊長為a,則a滿足什么條件
a2=2
新知探究
a
a2=2
(2)a可能是整數(shù)嗎？說說你的理由.
(3)a可能是分數(shù)嗎？說說你的理由.
沒有兩個相等的整數(shù)的積等于2，也沒有兩個相等的分數(shù)的積等于2，因此a不可能是有理數(shù).
如圖所示，以直角三角形的斜邊為邊的正方形的面積是多少？
解：由勾股定理可知，直角三角形的斜邊的平方為5，所以正方形的面積是5.
1
2
新知探究
(2)設該正方形的邊長為b，b滿足什么條件？
解：b2=5.
(3)b是有理數(shù)嗎？
解：沒有一個整數(shù)或分數(shù)的平方為5，也就是沒有一個有理數(shù)的平方為5，所以b不是有理數(shù).
新知探究
在下列正方形網(wǎng)格中，先找出長度為有理數(shù)的線段，再找出長度不是有理數(shù)的線段.
長度不是有理數(shù)的線段有CD，GH，MN.
長度為有理數(shù)的線段有AB，EF.
新知探究
正方形網(wǎng)格中的線段既可以表示有理數(shù)，也可以表示有理數(shù)之外的數(shù).數(shù)軸上的點可以表示有理數(shù)，也可以表示有理數(shù)之外的數(shù).
比如正方形OCBA的對角線長度就不是有理數(shù)，數(shù)軸上的點P表示的就是這個非有理數(shù).網(wǎng)格上長方形(包括正方形)的對角線的長度都不一定是有理數(shù).
-3
-2
0
-1
3
2
1
C
O
B
A
P
新知探究
面積為2的正方形的邊長a究竟是多少呢
(1)如圖所示，三個正方形的邊長之間有怎樣的大小關系？說說你的理由.
(2)邊長a的整數(shù)部分是幾？十分位是幾？百分位呢？千分位呢？……借助計算器進行探索.
1
1
面積為2
a
a
2
2
新知探究
(3)小明將他的探索過程整理如下，你的結果呢？
邊長a 面積S
11.41.411.4141.4142新知探究
a是介于1和2之間的一個數(shù)，既不是整數(shù)，也不是分數(shù)，則a一定不是有理數(shù).
如果寫成小數(shù)形式，它是有限小數(shù)嗎？
事實上，a=1.41421356…，它是一個無限不循環(huán)小數(shù).
(1)請大家用上面的方法估計面積為5的正方形的邊長b的值(結果精確到0.1)，并用計算器驗證你的估計.
(2)如果結果精確到0.01呢？ (提示：精確到0.1，b≈2.2，精確到0.01，b≈2.24)
新知探究
把下列各數(shù)表示成小數(shù)，你發(fā)現(xiàn)了什么？
3,
解：3=3.0,
分數(shù)化成小數(shù),最終此小數(shù)的形式有哪幾種情況
分數(shù)只能化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)，即任何有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù).
新知探究
像0.585885888588885…，1.41421356…， 2.2360679…等這些數(shù)的小數(shù)位數(shù)都是無限的，并且不是循環(huán)的，它們都是無限不循環(huán)小數(shù).
我們把無限不循環(huán)小數(shù)稱為無理數(shù).
(圓周率π=3.14159265…也是一個無限不循環(huán)小數(shù)，故π是無理數(shù)).
你能找到其他的無理數(shù)嗎
新知探究
解：有理數(shù)有：3.14, - , ；
無理數(shù)有：0.1010001000001…(相鄰兩 個1之間0的個數(shù)逐次加2).
下列各數(shù)中，哪些是有理數(shù)？哪些是無理數(shù)？
3.14, － , ，0.1010001000001…(相鄰兩個1之間0的個數(shù)逐次加2).
新知探究
鞏固練習
1.在直角三角形中兩個直角邊長分別為2和3，則斜邊的長(　　)
A.是有理數(shù)　　　　　 B.不是有理數(shù)
C.不確定 D.4
B
2.下列面積的正方形，邊長不是有理數(shù)的是 (　　)
A. 16 B. 25
C. 2 D. 4
C
鞏固練習
3.下列說法中正確的是 (　　)
A.無限小數(shù)都是無理數(shù)
B.有限小數(shù)是無理數(shù)
C.無理數(shù)都是無限小數(shù)
D.有理數(shù)是有限小數(shù)
C
鞏固練習
4.以下各正方形的邊長是無理數(shù)的是 (　　)
A.面積為25的正方形
B.面積為 的正方形
C.面積為8的正方形
D.面積為1.44的正方形
C
鞏固練習
2.任何一個有理數(shù)都可以化成分數(shù) 的形式(q≠0，p，q為整數(shù))，而無理數(shù)不能.
1.無理數(shù)是無限不循環(huán)小數(shù)，有理數(shù)是有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù).
數(shù)
{
有理數(shù)：有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)
無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)
{
整數(shù)
分數(shù)
按小數(shù)的形式分類
課堂小結
1.下列各數(shù)： 1， (相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次加1)中，無理數(shù)的個數(shù)有（ ）
A.2個 B.3個 C.4個 D.5個
【解析】無限不循環(huán)小數(shù)是無理數(shù)，其中
(相鄰兩個3之間0的個數(shù)逐次加1)是無理數(shù)，其他是有理數(shù).
A
課堂小測
【解析】因為3.14是小數(shù)， 是分數(shù)， 是無限循環(huán)小
數(shù)，所以選項A,B,D都是有理數(shù)； 是無限不循環(huán)小數(shù)，所以是無理數(shù).
2.下列各數(shù)中，是無理數(shù)的為（ ）
A. 3.14 B. C. D.
C
課堂小測
(1)有限小數(shù)是有理數(shù); （ ）
(2)無限小數(shù)都是無理數(shù); （ ）
(3)無理數(shù)都是無限小數(shù); （ ）
(4)有理數(shù)是有限小數(shù). （ ）
3. 判斷題
×
√
√
×
課堂小測
4.以下各正方形的邊長是無理數(shù)的是（ ）
A.面積為25的正方形
B.面積為 的正方形
C.面積為8的正方形
D.面積為1.44的正方形
C
課堂小測

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