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2025墨西哥女子數(shù)學(xué)競(jìng)賽
高一組做1,2,3；5,6,7；高二組做2,3,4；6,7,8.
第一天
題1.露娜和朋友們正在玩水。他們有n個(gè)無(wú)限容量的空壺和m個(gè)裝滿水的瓶子，且m>n。
瓶子按容量從小到大編號(hào)為1,2，，m。第i號(hào)瓶子需要恰好秒倒空(1≤1≤m)。朋友們將
按照以下規(guī)則將水倒入壺中：
1.游戲開(kāi)始時(shí)，最小的n個(gè)瓶子同時(shí)開(kāi)始向個(gè)壺倒水，每個(gè)壺對(duì)應(yīng)一個(gè)瓶子。
2.當(dāng)一個(gè)瓶子倒空后，下一個(gè)未被倒空的最小瓶子立即開(kāi)始向同一個(gè)壺倒水。如果沒(méi)有可用
的瓶子，露娜啟動(dòng)秒表，其余瓶子繼續(xù)倒水。
3.當(dāng)所有瓶子倒空時(shí)，露娜停止秒表。
問(wèn)：秒表最終顯示的時(shí)間是多少？
題2.集合A,B,C,D滿足以下條件：
1.元素均為1至20的整數(shù)。
2.每個(gè)集合有4個(gè)元素，且任意數(shù)字不重復(fù)出現(xiàn)在不同集合中。
3.記Pa,P,P。,Pa為各集合元素乘積，Qa,Qb,Qc,Qa為對(duì)應(yīng)P的質(zhì)因數(shù)乘積（去重)。滿足：
P。·P,=Pe·Pa且gcd(Qa,Qb)·gcd(Qc,Qa)≤3.
問(wèn)：有多少種選擇集合的方式？
注：gCd表示最大公約數(shù)。
題3.設(shè)ABC為∠BAC=90°的不等邊三角形，M為BC中點(diǎn)。過(guò)M作AM的垂線，分別
交AB、AC于P、Q。記H1、H2分別為三角形CMP、BMQ的垂心。證明：直線H1H2通過(guò)
點(diǎn)A。注：垂心是三角形三條高的交點(diǎn)。
題4.設(shè)a,b,c,d為正實(shí)數(shù)。證明：
64abcd
a+b
第二天
題5.設(shè)ao,a1,a2,.為嚴(yán)格遞增的等比數(shù)列。求所有實(shí)數(shù)x,使得存在整數(shù)n≥0滿足：
anz"+an-1x"-1+...+ax+ao =0.
注：若存在常數(shù)r使an+1=ran對(duì)所有n≥0成立，則稱該數(shù)列為等比數(shù)列：若對(duì)所有n有an+1>
an,則稱嚴(yán)格遞增。
題6.設(shè)ABCD為圓內(nèi)接四邊形，E為對(duì)角線交點(diǎn)。過(guò)三角形BEC頂點(diǎn)的圓分別交直線AB于F、
直線CD于G。記P為A到BC的垂足，Q為B到AD的垂足。證明：
AF AP
DG BQ
題7.設(shè)n為正整數(shù)。將×n網(wǎng)格的行列標(biāo)號(hào)為1至n。每個(gè)方格內(nèi)填入非負(fù)整數(shù)，使得第i行
第列方格中的數(shù)字等于網(wǎng)格中數(shù)字為1·的方格數(shù)量。求滿足條件的填數(shù)方式總數(shù)。
題8.求所有正整數(shù)對(duì)(n,m),使得存在奇數(shù)r滿足0≤T≤m-1,且存在{2,3，.·，2m,2m+
1}的排列{a1,,an,b1,.,bn},使得所有數(shù)
a1b1-r,a262-T,...anon-r
均為m的倍數(shù)。

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