資源簡介

(共64張PPT)
基礎知識及典例
新高考數學一輪復習
函數的圖象
01
考情透視·目標導航
考點要求 考題統計 考情分析
（1）函數圖像的識別 （2）函數圖像的應用 （3）函數圖像的變換 2024年全國甲卷第7題，5分 2024年I卷第7題，5分 2023年天津卷第4題，5分 2022年天津卷第3題，5分 2022年全國乙卷第8題，5分 2022年全國甲卷第5題，5分 基本初等函數的圖像是高考中的重要考點之一，是研究函數性質的重要工具．高考中總以一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數、三角函數等的圖像為基礎來考查函數圖像，往往結合函數性質一并考查，考查的內容主要有知式選圖、知圖選式、圖像變換以及靈活地應用圖像判斷方程解的個數，屬于每年必考內容之一．
復習目標： （1）在實際情境中，會根據不同的需要選擇恰當的方法(如圖象法、列表法、解析法)表示函數. （2）會畫簡單的函數圖象. （3）會運用函數圖象研究函數的性質，解決方程解的個數與不等式解的問題.
02
知識導圖·思維引航
02
03
考點突破·題型探究
（1）一次函數；
（2）二次函數；
（3）反比例函數；
（4）指數函數；
（5）對數函數；
（6）三角函數．
知識梳理·基礎回歸
知識點1：掌握基本初等函數的圖像
1、直接畫
①確定定義域；②化簡解析式；③考察性質：奇偶性（或其他對稱性）、單調性、周期性、凹凸性；④特殊點、極值點、與橫/縱坐標交點；⑤特殊線（對稱軸、漸近線等）．
知識梳理·基礎回歸
知識點2：函數圖像作法
2、圖像的變換
（1）平移變換
①函數的圖像是把函數的圖像沿軸向左平移個單位得到的；
②函數的圖像是把函數的圖像沿軸向右平移個單位得到的；
③函數的圖像是把函數的圖像沿軸向上平移個單位得到的；
④函數的圖像是把函數的圖像沿軸向下平移個單位得到的；
知識梳理·基礎回歸
（2）對稱變換
－f(x)
f(－x)
－f(－x)
logax(a>0，且a≠1)
知識梳理·基礎回歸
(3)翻折變換
|f(x)|
f(|x|)
知識梳理·基礎回歸
（4）伸縮變換
①的圖像，可將的圖像上的每一點的縱坐標伸長或縮短到原來的倍得到．
②的圖像，可將的圖像上的每一點的橫坐標伸長或縮短到原來的倍得到．
知識梳理·基礎回歸
解題方法總結
（1）若恒成立，則的圖像關于直線對稱．
（2）設函數定義在實數集上，則函數與的圖象關于直線對稱．
（3）若，對任意恒成立，則的圖象關于直線對稱．
（4）函數與函數的圖象關于直線對稱．
（5）函數與函數的圖象關于直線對稱．
（6）函數與函數的圖象關于點中心對稱．
（7）函數平移遵循自變量“左加右減”，函數值“上加下減”．

知識梳理·基礎回歸
【典例1-1】（2024·安徽淮北·二模）函數的大致圖像為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可知，，即，
顯然該函數定義域關于原點對稱，
由可知，函數為奇函數，排除B， D兩項，
又，排除A項，故C項正確．故選：C．
題型一：由解析式選圖（識圖）
【典例1-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當時，，故排除選項C；
當時，，故排除選項B；
令，則在上恒成立，
函數在區間上是奇函數，其函數圖象關于原點對稱，
故排除選項D，A選項正確．故選：A．
題型一：由解析式選圖（識圖）
【典例1-2】（2024·陜西商洛·模擬預測）函數的部分圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
利用函數的性質（如定義域、值域、奇偶性、單調性、周期性、特殊點等）排除錯誤選項，從而篩選出正確答案．
題型一：由解析式選圖（識圖）
【變式1-1】（2024·天津·二模）研究函數圖象的特征，函數的圖象大致為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】定義域為，即定義域關于原點對稱，
且，
所以是奇函數，其圖象關于原點對稱，故排除CD，
注意到當時，有，即，
此時函數圖象位于軸下方，故排除A，經檢驗B選項符合題意．故選：B．
題型一：由解析式選圖（識圖）
【典例2-1】（2024·安徽馬鞍山·三模）已知函數的大致圖象如圖所示，
則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】對于選項A：因為，與圖象不符，故A錯誤；
對于選項B：因為，與圖象不符，故B錯誤；
對于選項C：因為，與圖象不符，故C錯誤；故選：D．
題型二：由圖象選表達式
【典例2-2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于B，當時，，易知，，
則，不滿足圖象，故B錯誤；
對于C，，定義域為，
又，則的圖象關于軸對稱，故C錯誤；
對于D，當時，，
由反比例函數的性質可知，在上單調遞減，故D錯誤；
檢驗選項A，滿足圖中性質，故A正確．故選：A．
題型二：由圖象選表達式
【典例2-2】（2024·寧夏固原·一模）已知函數的部分圖像如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
1、從定義域值域判斷圖像位置；
2、從奇偶性判斷圖像的對稱性；
3、從周期性判斷圖像循環往復；
4、從單調性判斷大致變化趨勢；
5、從特殊點排除錯誤選項．
題型二：由圖象選表達式
【變式2-1】（2024·天津·二模）函數的圖象如圖所示，則的解析式可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由圖象知，該函數圖象關于原點對稱，所以函數為奇函數，
且，對于A，，為偶函數，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于C，，為奇函數，當時，，
因為，在為單調遞增函數，所以在單調遞增，故C正確；
對于D，當時，，，所以時，，
單調遞增，當時，，單調遞減，故D錯誤，故選：C．
題型二：由圖象選表達式
【典例3-1】（2024·重慶·模擬預測）已知函數，為實數，的導函數為，在同一直角坐標系中，與的大致圖象不可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由可得
對于，當時，在第一象限上遞減，對應圖象在第四象限且遞增，故A項符合；對于在第一象限上與的圖象在上都單調遞增，故且，則．
又由可得，即與的圖象交點橫坐標應大于1，顯然C項不符合，B， D項均符合．故選：C．
題型三：表達式含參數的圖象問題
【典例3-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】AB
【解析】選項A，B，C：由題意知
，
令，解得或或，
由題圖可知函數的一個極值點位于區間，
題型三：表達式含參數的圖象問題
【典例3-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
因此，又，
所以，故，因此A，B正確，C錯誤．
選項D：由題圖可知，
若取，則，解得，因此D錯誤．
故選：AB
題型三：表達式含參數的圖象問題
【典例3-2】（多選題）（2024·全國·模擬預測）已知函數（其中）的部分圖象如圖所示，則（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
根據參數的不同情況對每個選項逐一分析，推斷出合理的圖像位置關系，排除相互矛盾的位置關系，以得出正確選項．
題型三：表達式含參數的圖象問題
【變式3-1】（多選題）（2024·安徽合肥·一模）函數的圖象可能是（ ）
A． B． C． D．
【答案】ABD
【解析】由題意可知，函數的定義域為，
當時，，函數在上單調遞增，故B正確；
當時，，，所以在上單調遞增，故D正確；
當時，當時，；當時，；
故A正確；C錯誤．故選：ABD．
題型三：表達式含參數的圖象問題
【典例4-1】如圖，長方形的邊，，是的中點．點沿著邊，與運動，記．將動點到兩點距離之和表示為的函數，
則的圖像大致為（ ）

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可得，，
故，由此可排除C、D；
當時點在邊上，，，
所以 ，可知時圖像不是線段，可排除A，故選B．
故選：B．
題型四：函數圖象應用題
【典例4-2】 （2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經過的路程與的面積的函數的圖象的形狀大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】當點在上時，，
當點在上時，
，
題型四：函數圖象應用題
【典例4-2】 （2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經過的路程與的面積的函數的圖象的形狀大致是（ ）
A． B． C． D．
當點在上時，，
其中A選項符合要求，B、C、D都不符合要求，故A正確．
故選：A．
題型四：函數圖象應用題
【典例4-2】 （2024·廣東佛山·模擬預測）如圖，點在邊長為1的正方形邊上運動，是的中點，當點沿運動時，點經過的路程與的面積的函數的圖象的形狀大致是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
（1）從函數的定義域，判斷圖象的左右位置；從函數的值域，判斷圖象的上下位置．
（2）從函數的單調性，判斷圖象的變化趨勢；
（3）從函數的奇偶性，判斷圖象的對稱性；
（4）從函數的特征點，排除不合要求的圖象．
題型四：函數圖象應用題
【變式4-1】（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線在初始位置與等邊的底邊重合，之后開始在平面上按逆時針方向繞點勻速轉動（轉動角度不超過），它掃過的三角形內陰影部分的面積是時間的函數．這個函數的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】如圖所示，取的中點，連接，
因為為等邊三角形，可得，
設等邊的邊長為，且，其中，
可得，
又由的面積為，可得，
且，
則的面積為，
題型四：函數圖象應用題
【變式4-1】（2024·安徽·模擬預測）如圖，直線在初始位置與等邊的底邊重合，之后開始在平面上按逆時針方向繞點勻速轉動（轉動角度不超過），它掃過的三角形內陰影部分的面積是時間的函數．這個函數的圖象大致是（ ）
A． B． C． D．
令，其中，
可得，所以為單調遞增函數，
又由余弦函數的性質得，當時，函數取得最小值，
所以陰影部分的面積一直在增加，但是增加速度先快后慢再快，
結合選項，可得選項C符合題意．
故選：C．
題型四：函數圖象應用題
【典例5-1】（2024·北京西城·二模）將函數的圖象向右平移個單位長度，所得圖象再關于軸對稱，得到函數的圖象，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】將函數的圖象向右平移個單位長度，
所得函數為，
則函數的圖象再關于軸對稱得函數
．
故選：D．
題型五：函數圖象的變換
【典例5-2】（2024·遼寧·三模）已知對數函數，函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數的圖象重合，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為將函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數的圖象，
所以，即，
將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象的函數解析式，
因為所得圖象恰好與函數的圖象重合，
所以，
所以，又且，解得，故選：D
題型五：函數圖象的變換
【典例5-2】（2024·遼寧·三模）已知對數函數，函數的圖象上所有點的縱坐標不變，橫坐標擴大為原來的3倍，得到函數的圖象，再將的圖象向上平移2個單位長度，所得圖象恰好與函數的圖象重合，則的值是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
熟悉函數三種變換：（1）平移變換；（2）對稱變換；（3）伸縮變換．
題型五：函數圖象的變換
【變式5-1】（2024·江西贛州·二模）已知函數的圖象的一部分如下左圖，則如下右圖的函數圖象所對應的函數解析式（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
①關于y軸對稱②向右平移1個單位③縱坐標不變，橫坐標變為原來的一半
故選：C．
題型五：函數圖象的變換
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數．若，，則的最小值為（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】D
【解析】畫出的圖象如下圖所示，
令，則，
且，則，
所以且，所以，
當時，取得最小值為．故選：D．
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值
【典例6-2】用表示a，b，c三個數中的最小值，則函數
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【解析】在一個坐標系中畫出的圖像，從左到右，取橫坐標對應的縱坐標小的點構成新的圖像，如圖：
其中A點，即與的交點，其縱坐標即為所求
聯立，解得，
函數的最大值為3，故選：C．
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值
【典例6-2】用表示a，b，c三個數中的最小值，則函數
的最大值是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【方法技巧】
利用函數圖像求函數的最值，先作出所涉及到的函數圖像，根據題目對函數的要求，從圖像上尋找取得最值的位置，計算出答案，體現了數形結合的思想．
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值
【變式6-1】已知，設函數在區間上的最大值為．若，則正實數的最大值為 ．
【答案】
【解析】畫出的圖象如下：
故，
由圖象可知，當時，取得最小值，最小值為，
此時，，
則①，
故只需要②，
將①代入②得，
化簡得，解得，故正實數的最大值為．
題型六：利用函數的圖像研究函數的性質、最值
【典例7-1】已知函數，則滿足的的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】令，則或，
解得或或．
令，則或，
解得或．
畫出函數圖象的草圖（如圖），得滿足的的取值范圍為．
故選：D．
題型七：利用函數的圖像解不等式
【典例7-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】根據題意當時，，
當時， ，
作出函數的圖象如圖，
在同一坐標系中作出函數的圖象，
由圖象可得不等式解集為，故選：C
題型七：利用函數的圖像解不等式
【典例7-2】（2024·重慶沙坪壩·模擬預測）已知函數，則的解集是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
利用函數圖像求解不等式的解集及參數的取值范圍．先作出所涉及到的圖像，求出它們的交點，根據題意結合圖像寫出答案．
題型七：利用函數的圖像解不等式
【變式7-1】（2024·高三·江西·期中）已知函數，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題知
在同一坐標系下畫出，圖象如下所示：
由圖可知的解集為．故選：A．
題型七：利用函數的圖像解不等式
【典例8-1】（2024·北京昌平·二模）已知函數若對任意的都有恒成立，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為，令，作出圖象，如圖所示，
令，由圖知，要使對任意的都有恒成立，則必有，
當時，，由，消得到，
由，得到，即，由圖可知，故選：B．
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
【典例8-2】已知函數設若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，令，函數的圖象如圖所示，
當函數的圖象經過點時，得．
當的圖象與的圖象相切時，
由，得，結合圖形，由得．
若不等式在R上恒成立，
當時，需滿足，即，
當時，需滿足，即，
所以，所以實數a的取值范圍為．故選：B．
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
【典例8-2】已知函數設若關于的不等式在上恒成立，則的取值范圍是（　　）
A． B． C． D．
【方法技巧】
先作出函數的圖像，觀察參數的變化怎樣影響函數的形態和位置關系，找到參數的臨界值，進一步得出參數的范圍．
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
【變式8-1】已知函數的定義域為，滿足，且時，．若，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】當時，，
因為，且時，，
所以；
當時，，
所以；
因為，
當時，，
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
【變式8-1】已知函數的定義域為，滿足，且時，．若，都有，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
所以；
所以，得，
由此做出函數圖像得：
當時，，解得或，
結合圖像得的解為：或，
因為，都有，
所以．故選：B．
題型八：利用函數的圖像求恒成立問題
【典例9-1】（2024·高三·重慶渝中·期中）已知函數，若方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由題意得有兩個不相等的實數根，
令，當時，，，
當時，，單調遞減，
當時，，單調遞增，
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數
【典例9-1】（2024·高三·重慶渝中·期中）已知函數，若方程有兩個不相等的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
且，當時，恒成立，
當時，，則，
當時，，單調遞增，
且，
畫出的圖象如圖：
要想有兩個不相等的實數根，則，
故有兩個不相等的實數根，則．故選：A
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數
【典例9-2】設函數，若函數恰有3個零點，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意，設函數，令，即，
所以問題轉化為，有3個交點；
在坐標系內，作出函數的圖像如下所示，
結合圖象可知，，故實數的取值范圍為．
故選：B
【方法技巧】
利用函數圖像判斷方程解的個數．由題設條件作出所研究對象的圖像，利用圖像的直觀性得到方程解的個數．
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數
【變式9-1】設函數，若有三個不同的實數根，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】當時，函數單調遞增，函數值集合為，
當時，函數單調遞減，函數值集合為，
當時，函數單調遞增，函數值集合為，
作出函數的圖象與直線，如圖，
觀察圖象知，當時，函數的圖象與直線有3個交點，
所以有三個不同的實數根，實數的取值范圍是．
故選：C
題型九：利用函數的圖像判斷零點的個數
04
真題練習·命題洞見
05
課本典例·高考素材
1．已知函數．
（1）求函數的解析式；
（2）利用信息技術，畫出函數的圖象；
（3）求函數的零點（精確度為0．1）
【解析】（1）由題意得：
（2）函數圖象如下圖所示：
（3）由圖象可知，函數分別在區間和區間內各有一個零點
取區間的中點，用計算器可算得

再取的中點，用計算器可算得

同理可得：，
因為
原方程在區間內的近似解可取為
同理可求得函數在區間內的零點可取為
函數滿足精確度的零點為或
2．如圖，是邊長為2的正三角形，記位于直線左側的圖形的面積為．試求函數的解析式，并畫出函數的圖象．
【解析】（1）當時，
如圖，設直線與分別交于、兩點，則，
又，，
（2）當時，
如圖，設直線與分別交于、兩點，則，
又，
（3）當時，
綜上所述
3．經濟學家在研究供求關系時，一般用縱軸表示產品價格（自變量），而用橫軸來表示產品數量（因變量），下列供求曲線，哪條表示廠商希望的供應曲線，哪條表示客戶希望的需求曲線？為什么？
【解析】題圖（1）中的曲線表示廠商希望的供應曲線；
題圖（2）中的曲線表示客戶希望的需求曲線．
從題圖（1）觀察，隨著產品數量的上升，單價越來越高，可見是廠商希望的供應曲線；
而題圖（2）恰恰相反，當產品數量逐漸上升時，單價越來越低，由此判斷是客戶希望的需求曲線．
4．圖（1）是某條公共汽車線路收支差額y關于乘客量x的圖象．
（1）試說明圖（1）上點A，點B以及射線AB上的點的實際意義；
（2）由于目前本條線路虧損，公司有關人員提出了兩種扭虧為贏的建議，如圖（2）（3）所示，你能根據圖象，說明這兩種建議是什么嗎？
【解析】（1）點A的實際意義為：當乘客量為0時，公司虧損1（單位）；點B的實際意義為：當乘客量為1．5時，公司收支持平；
射線AB上的點的實際意義為：當乘客量小于1．5時，公司將虧損；當乘客量大于1．5時，公司將贏利．
（2）題圖（2）的建議是：降低成本而保持票價不變；題圖（3）的建議是：提高票價而保持成本不變．
易錯分析·答題模板
06
易錯點：圖像的變換問題
易錯分析：平移變換是高中數學圖像變換中的基礎，包括左右平移和上下平移．在平移過程中，學生常常會出現平移方向或平移單位長度的誤判．學生在對稱變換方面的易錯點主要是對稱關系的混淆．伸縮變換主要涉及圖像的橫向和縱向拉伸或壓縮，學生在這方面的易錯點主要是伸縮比例的理解和應用．翻折變換主要涉及圖像沿x軸或y軸的翻折，在這方面的易錯點主要是翻折軸的選擇和翻折后的圖像判斷．
答題模板:圖像的變換問題
1、模板解決思路
仔細閱讀題目，然后確定題目要求的是哪種圖像變換，如平移、伸縮、對稱、翻折等．
2、模板解決步驟
第一步：確定變換類型，理解變換規則
第二步：分析函數表達式，繪制草圖
第三步：應用變換規則，驗證結果
【易錯題1】已知函數，則的圖象是（ ）
A． B． C． D．
【易錯題2】要得到函數的圖象，只需將函數的圖象（ ）
A．向右平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度
B．向右平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度
C．向左平移1個單位長度，再向上平移1個單位長度
D．向左平移1個單位長度，再向下平移1個單位長度
C
A
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