資源簡介

(共67張PPT)
基礎知識及典例
新高考數學一輪復習
對數與對數函數
01
考情透視·目標導航
考點要求 考題統計 考情分析
（1）對數的概念及運算性質 （2）對數函數的圖象 （3）對數函數的性質 2024年II卷第8題，5分 2024年北京卷第7題，4分 2024年天津卷第5題，5分 2023年北京卷第11題，5分 2023年I卷第10題，5分 2022年天津卷第6題，5分 2022年浙江卷第7題，5分 2022年I卷I卷第7題，5分 從近五年的高考情況來看，對數運算與對數函數是高考的一個重點也是一個難點，常與二次函數、冪函數、指數函數、三角函數綜合，考查數值大小的比較和函數方程問題.在利用對數函數的圖像與性質應用上，體現了邏輯推理與數學運算素養.
復習目標： （1）理解對數的概念及運算性質，能用換底公式將一般對數轉化成自然對數或常用對數. （2）通過實例，了解對數函數的概念，會畫對數函數的圖象，理解對數函數的單調性與特殊點. （3）了解指數函數與對數函數(，且)互為反函數．
02
知識導圖·思維引航
02
03
考點突破·題型探究
1.對數的定義
一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么數x叫做以a為底N的對數，記作
，其中 叫做對數的底數， 叫做真數.
以10為底的對數叫做常用對數，記作 .
以e為底的對數叫做自然對數，記作 .
x＝logaN
a
N
lg N
ln N
知識梳理·基礎回歸
知識點1：對數式的運算
2.對數的性質與運算性質
①；；其中且；
②（其中且，）；
③對數換底公式：；
④；
⑤；
⑥，；
⑦和；
⑧；
知識梳理·基礎回歸
（1）對數函數的定義：函數 且叫做對數函數．
（2）對數函數的圖象與性質
a>1 0圖象
定義域 __________
(0，＋∞)
知識梳理·基礎回歸
知識點2：對數函數的定義及圖像
a>1 0性質 過定點 ，即x＝1時，y＝0
當x>1時， ； 當01時， ；
當0函數 函數
(1,0)
y>0
y<0
y<0
y>0
增
減
值域 ____
R
知識梳理·基礎回歸
（3）反函數
指數函數y＝ax(a>0，且a≠1)與對數函數y＝ (a>0，且a≠1)互為反函數，它們的圖象關于直線 對稱.
logax
y＝x
知識梳理·基礎回歸
1、對數函數常用技巧
在同一坐標系內，當時，隨的增大，對數函數的圖象愈靠近軸；
當時，對數函數的圖象隨的增大而遠離軸．(見下圖)
解題方法總結
知識梳理·基礎回歸
【典例1-1】已知，則 ．（用含的式子表示）
【答案】
【解析】因為，所以，又，
所以
．
故答案為：
題型一：對數式的運算
【典例1-2】（2024·重慶·三模）若正實數，滿足，，則 ．
【答案】100
【解析】由于，整理得，①，
又，②，
所以①+②得：；即
對于取常用對數可得，，
故．
【方法技巧】 對數的有關運算問題要注意公式的正用、逆用及變形等應用．
題型一：對數式的運算
【變式1-1】化簡下列各式：
（1）；
（2）．
【解析】（1）原式．
（2）原式
．
題型一：對數式的運算
【變式1-2】已知，，則 ．（用表示）
【答案】
【解析】因為，所以，
又，所以
．
故答案為：
題型一：對數式的運算
【典例2-1】已知函數① y＝logax；② y＝logbx；③ y＝logcx；④ y＝logdx的大致圖象如圖所示，則下列不等關系正確的是（　　）
A．a＋c＜b＋a B．a＋d＜b＋c
C．b＋c＜a＋d D．b＋d＜a＋c
【答案】A
【解析】由已知可得b＞a＞1＞d＞c，則a＋b＞a＋c，b＋d＞a＋c，故A正確，D錯誤；又a＋d與b＋c的大小不確定，故B，C錯誤．故選A．
題型二：對數函數的圖象及應用
【典例2-2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程和方程的根分別為，設函數，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】由得，由得，
所以令，這3個函數圖象情況如下圖所示：
設交于點，交于點，
由于的圖象關于直線對稱，
而的交點為，所以，
題型二：對數函數的圖象及應用
【典例2-2】（2024·江蘇揚州·模擬預測）設方程和方程的根分別為，設函數，則（ ）
A． B．
C． D．
注意到函數的對稱軸為直線，
即，且二次函數的圖象是開口向上的拋物線方程，
從而．故選：B．
【方法技巧】
對于有關對數型函數的圖象問題，一般是從最基本的對數函數的圖象入手，通過伸縮、平移、對稱等變換得到，當時，對數函數的圖像呈上升趨勢；當時，對數函數的圖像呈下降趨勢．
題型二：對數函數的圖象及應用
【變式2-1】（多選題）（2024·河南信陽·模擬預測）函數的大致圖象不可能為（ ）
A． B． C． D．
【答案】BCD
【解析】函數的定義域為，
因為，所以函數為偶函數，
當時，為減函數，且過定點，
故函數的大致圖象不可能為BCD選項．
故選：BCD．
題型二：對數函數的圖象及應用
【變式2-2】（2024·高三·江西南昌·開學考試）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】作出函數和的圖象以及直線的圖象，如圖，
由函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，
結合圖象可知，A錯誤；
由題意知，也即，
由于函數和互為反函數，
二者圖象關于直線對稱，而為和的圖象與直線的交點，
題型二：對數函數的圖象及應用
【變式2-2】（2024·高三·江西南昌·開學考試）已知函數和的圖象與直線交點的橫坐標分別為，，則（ ）
A． B． C． D．
故關于對稱，故，B錯誤；
由，故，C錯誤；
因為，故，
結合，即得，D正確，
故選：D
題型二：對數函數的圖象及應用
【典例3-1】函數 （且）的圖象必經過一個定點，則這個定點的坐標是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為對數函數（且）恒過定點，
所以函數 （且）的圖象必過定點．
故選：C．
題型三：對數函數過定點問題
【典例3-2】函數（且）的圖象恒過定點，若且，，則的最小值為（ ）
A．9 B．8 C． D．
【答案】B
【解析】當時，，
函數過定點，得，所以，
因為，，
所以，，
當且僅當，即時，等號成立，
所以，的最小值為8．故選：B
題型三：對數函數過定點問題
【方法技巧】
恒過定點．
【變式3-1】函數的圖象恒過定點，若點在直線上，其中，則的最小值為（ ）
A． B．3 C．7 D．4
【答案】A
【解析】對于函數，
當時，，所以，則，
所以，
當且僅當時等號成立．故選：A
題型三：對數函數過定點問題
【變式3-2】已知直線經過函數圖象過的定點（其中均大于0），則的最小值為（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】C
【解析】因為，
所以函數圖象過的定點為，
將其代入直線方程得，即，
又，
所以，
當且僅當即時，等號成立，故有最小值4．
故選：C．
題型三：對數函數過定點問題
【典例4-1】（2024·黑龍江哈爾濱·模擬預測）設，，，
則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】∵，
，
則，故選：C．
題型四：比較對數式的大小
【典例4-2】已知，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，，∴，
因為，∴，
∴．故選：D．
題型四：比較對數式的大小
【方法技巧】
比較大小問題，常利用函數的單調性及中間值法．
【變式4-1】（2024·天津·二模）設，則的大小關系為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
，
，，．故選：C．
題型四：比較對數式的大小
【變式4-2】（2024·寧夏銀川·三模）已知，，，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題知，，，因為在定義域內單調遞增，
所以，即，
因為在定義域內單調遞減，所以，
即，
因為在上單調遞減，所以，即，
綜上：．故選：D
題型四：比較對數式的大小
【典例5-1】方程的解是 ．
【答案】
【解析】由方程，可得，
，解得．
故答案為：
題型五：解對數方程或不等式
【典例5-2】不等式的解集為 ．
【答案】
【解析】設函數，
則應有，解得，所以，定義域為．
又，
所以，由，可得．
因為以及均在上單調遞增，
所以，在上單調遞增，所以，．
綜上所述，．所以，不等式的解集為．
題型五：解對數方程或不等式
【典例5-2】不等式的解集為 ．
【方法技巧】
（1）對于形如的形式，利用轉化；對于形如的形式，可借助換元法轉化為二次方程求解．
（2）解對數不等式，也是利用對數函數的單調性將不等式轉化為比較真數之間的不等式，再解這個不等式即可．
題型五：解對數方程或不等式
【變式5-1】不等式的解集是 ．
【答案】
【解析】設，其定義域為，
和在均為增函數，
則在為增函數，且，
，即，，
不等式的解集是．
故答案為：．
題型五：解對數方程或不等式
【變式5-2】方程：的解是 ．
【答案】
【解析】因為，即，
所以，
即，解得，則，或無實根．
故答案為：
題型五：解對數方程或不等式
【變式5-3】不等式的解集是 ．
【答案】或
【解析】原不等式可化為，即，
∴，于是，亦即或，
∴或，故解集為或
故答案為：或
題型五：解對數方程或不等式
【典例6-1】（2024·全國·模擬預測）已知函數在區間上有最大值或最小值，則實數的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】要使函數在區間上有最大值或最小值，
由于開口向上，
故需函數在區間上有最小值，且．
該函數圖像的對稱軸為直線，所以，解得，
所以，且，即實數的取值范圍為．故選：B．
題型六：對數函數的最值與值域問題
【典例6-2】已知函數的最大值為2，則 ．
【答案】6
【解析】因為函數由
與復合而成，
而在定義域上單調遞增，所以當取最大值時，
函數取得最大值，
由二次函數的性質易知當時，，此時，
所以，解得．
【方法技巧】
對數函數的最值與值域問題通常利用對數函數的單調性解決．
題型六：對數函數的最值與值域問題
【變式6-1】若函數（且）的最小值為－4，則實數a的值為 ．
【答案】
【解析】由題意知，，解得，
因為，
因為，則，又因為的最小值為－4，
則，所以，
即，得，
因為，所以．
題型六：對數函數的最值與值域問題
【變式6-2】已知函數 （且）．
（1）當時，函數恒有意義，求實數的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實數，使得函數在區間上為減函數，且最大值為？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．
【解析】（1）當時，函數恒有意義，
所以在上恒成立，
即在上恒成立．
令，，則，
所以在上單調遞減，所以，所以．
又且，所以．
題型六：對數函數的最值與值域問題
【變式6-2】已知函數 （且）．
（1）當時，函數恒有意義，求實數的取值范圍；
（2）是否存在這樣的實數，使得函數在區間上為減函數，且最大值為？如果存在，試求出的值；如果不存在，請說明理由．
【解析】（2）函數在區間上有意義，則在上恒成立．
由（1）同理可知，，
又函數在區間上為減函數，并且最大值為．
當時，為減函數，則且在上單調遞增，
所以，即，故不存在這樣的實數；
當時，為增函數，則且在上單調遞減，
所以，即，故不存在這樣的實數．
綜上，不存在這樣的實數，使得函數在區間上為減函數，且最大值為．
題型六：對數函數的最值與值域問題
【典例7-1】已知函數，若對任意都有，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為若對任意，都有，
所以對任意，都有，
令，
則在上單調遞增．
首先．
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例7-1】已知函數，若對任意都有，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
因為在上遞增，所以在上遞增．
當時，顯然符合題意；
當時，令，
則在上遞增，所以，則．
綜上所述，，故D正確．
故選：D．
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例7-2】若不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】變形為：，
即在上恒成立，
若，此時在上單調遞減，
，
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例7-2】若不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
而當時，，顯然不合題意；
當時，畫出兩個函數的圖像，
要想滿足在上恒成立，
只需，即，
解得：，綜上：實數a的取值范圍是．故選：C
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例7-2】若不等式在上恒成立，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧】
已知不等式能恒成立求參數值（取值范圍）問題常用的方法：
（1）函數法：討論參數范圍，通常借助函數單調性求解；
（2）分離參數法：首先將參數分離，轉化成求函數的最值或值域問題加以解決；
（3）數形結合法：先對解析式變形，進而構造兩個函數，然后在同一平面直角坐標系中畫出函數的圖象，再利用數形結合的方法來解決．
題型七：對數函數中的恒成立問題
【變式7-1】已知函數，且，若對任意的，存在，使得成立，則實數的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】根據題意知，
因為，其圖象開口向下，對稱軸為，
所以當時，其最小值，
當時，，在上的最小值為，
則由得，
當時，，在上的最小值為，則時，無解，
故實數的取值范圍為．
題型七：對數函數中的恒成立問題
【變式7-2】已知且，當時，，則的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】當時，．
當時，成立．
當時，若成立，是減函數，是增函數，則，解得，所以．
綜上，的取值范圍為．
題型七：對數函數中的恒成立問題
【典例8-1】（2024·四川南充·模擬預測）函數的零點為，
函數的零點為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意知，，
，
令，則，
又因為與互為反函數，
所以、分別與的的交點關于對稱，
所以，即：，
又因為，，
所以由零點存在性定理可知，，
題型八：對數函數的綜合問題
【典例8-1】（2024·四川南充·模擬預測）函數的零點為，
函數的零點為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
又因為，即，
所以，
對于A項，因為，，
所以，故A項錯誤；
對于B項，因為，所以，
又因為，，
所以，故B項正確；
題型八：對數函數的綜合問題
【典例8-1】（2024·四川南充·模擬預測）函數的零點為，
函數的零點為，則下列結論正確的是（ ）
A． B． C． D．
對于C項，因為，，
所以，故C項錯誤；
對于D項，因為， ，，
所以，故D項錯誤．故選：B．
題型八：對數函數的綜合問題
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函數的定義域為，且
若，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】當時，，
由復合函數的單調性可知在上單調遞減，
所以；
當時，，
因為在上單調遞增，為增函數，
所以在上單調遞增，
題型八：對數函數的綜合問題
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函數的定義域為，且
若，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
又在上為增函數，所以在單調遞增，
所以．
綜上，在上恒成立，當且僅當時取等號．
所以不等式，
解得且且，即原不等式的解集為．
故選：D
題型八：對數函數的綜合問題
【典例8-2】（2024·云南·二模）已知函數的定義域為，且
若，則的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧】
對數函數常與其他函數形成復合函數問題，解題時要清楚復合的層次，外層是對數函數還是內層是對數函數，其次如果涉及到定義域、值域、奇偶性、單調性等問題，則要按復合函數的性質規律求解．
題型八：對數函數的綜合問題
【變式8-1】設定義域為R的函數，若關于x的方程有8個不同的實根，到實數b的取值范圍是 ．
【答案】
【解析】由題設，的圖象如圖所示：
令，則化為
，∴要使原方程有8個不同實根，
則有2個不同的實根且兩根、，
題型八：對數函數的綜合問題
【變式8-1】設定義域為R的函數，若關于x的方程有8個不同的實根，到實數b的取值范圍是 ．
∴，可得，
又在上遞減，在上遞增，且，
即，綜上，．
題型八：對數函數的綜合問題
04
真題練習·命題洞見
05
課本典例·高考素材
1．我們可以把看作每天的"進步”率都是1%，一年后是；而把看作每天的“落后”率都是1%，一年后是．利用計算工具計算并回答下列問題：
（1）一年后“進步”的是“落后”的多少倍？
（2）大約經過多少天后“進步”的分別是“落后”的10倍、100倍、1000倍？
【解析】（1）．
∴一年后“進步”的大約是“落后”的倍
（2）由得,
∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍．
由得．
∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍．
由得解得
∴大約經過天“進步”的是“落后”的倍．
3．已知， ， ，求實數a的取值范圍．
【解析】解：，
當時成立；
②當時，解得．
又，
∴a的取值范圍是．
06
易錯分析·答題模板
答題模板：對數型復合函數的單調問題
1、模板解決思路
判斷復合函數單調性的原則是“同增異減”．
2、模板解決步驟
第一步：求函數的定義域．
第二步：將函數分解成內層函數和外層函數．
第三步：判斷內層函數和外層函數的單調性．
第四步：根據“同增異減”的原則確定復合函數的單調性．
【典例1】若函數在上單調遞減，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知函數在上單調遞減，則實數a的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
B
A
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