資源簡介

(共30張PPT)
1 探索勾股定理
【北師·數學八年級上冊】
第1課時 勾股定理（1）
知識回顧
三角形
定義
角
邊
直角
三角形
定義
角
邊
由不在同一條直線上的三條線段首尾順次相接組成的平面圖形。
三角形的內角和是 180°。
兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊。
有一個角是 90°的三角形是直角三角形。
直角三角形的兩個銳角互余；兩個銳角互余的三角形是直角三角形。
？
新課導入
6 m
8 m
如圖，從電線桿離地面 8 m 處向地面拉一條鋼索，如果這條鋼索在地面的固定點距離電線桿底部 6 m，那么需要多長的鋼索？
？
我們帶著這個問題開始探究吧！
新知探索
（1）在紙上畫若干個直角三角形，分別測量它們的三條邊，看看三邊長度的平方之間有怎樣的關系。與同伴進行交流。
（2）如圖，直角三角形三邊長度的平方分別是多少，它們滿足上面所猜想的數量關系嗎？你是如何計算的？與同伴進行交流。
A
B
C
A
B
C
（每個小正方形的邊長均為 1）
A
B
C
A
B
C
左圖 A 的面積
B 的面積
C 的面積
面積關系 邊的關系 9
9
18
9 + 9 = 18
a
c
b
a2+b2=c2
（每個小正方形的邊長均為 1）
A
B
C
A
B
C
右圖 A 的面積
B 的面積
C 的面積
面積關系 邊的關系 4
4
8
4 + 4 = 8
a
c
b
a2+b2=c2
（每個小正方形的邊長均為 1）
A
B
C
B
C
（每個小正方形的邊長均為 1）
對于右圖中的直角三角形，是否還滿足這樣的關系？你又是如何計算的呢？
A
左圖 A 的面積
B 的面積
C 的面積
面積關系 邊的關系 16
9
25
16 + 9 = 25
A
B
C
B
A
C
a
c
b
a2+b2=c2
（每個小正方形的邊長均為 1）
右圖 A 的面積
B 的面積
C 的面積
面積關系 邊的關系 1
9
10
1 + 9 = 10
A
B
C
B
C
a
c
b
a2+b2=c2
（每個小正方形的邊長均為 1）
A
（3）如果直角三角形的兩條直角邊的長度分別為 1.6 和 2.4 ，那么上面所猜想的數量關系還成立嗎？說說你的理由。
2.4
1.6
（每個小正方形的邊長均為 1）
勾股定理
直角三角形兩直角邊長度的平方和等于斜邊的平方。 如果用 a，b 和 c 分別表示直角三角形的兩條直角邊和斜邊的長度，那么 a2 + b2 = c2。
圖示
A
C
B
a
b
c
A
C
B
a
b
c
符號語言
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，則 a2 + b2 = c2。
定理變式
在 Rt△ABC 中，∠C = 90°，則 a2 = c2 - b2，b2 = c2-a2。
在中國古代，人們把彎曲成直角的手臂的上半部分稱為“勾”，下半部分稱為“股”。我國古代把直角三角形中較短的直角邊稱為“勾”，較長的直角邊稱為“股”，斜邊稱為“弦”。
勾
股
此結論被稱為“勾股定理”。
古希臘數學家畢達哥拉斯，在公元前5世紀給出了這個定理的證明，所以在國外這個定理也稱為畢達哥拉斯定理，相傳他證出這個定理后非常高興，宰了一百頭牛進行慶祝，于是也有人把它稱為“百牛定理”。
6 m
8 m
？
現在你會求鋼索的長度嗎？
解：根據勾股定理，
得 82 + 62 = 100，
所以鋼索的長度為 10 m。
隨堂練習
【課本P3 隨堂練習 第1題】
1. 求圖中字母所代表的正方形的面積。
（1）
225
400
A
A = 225 + 400 = 625
（2）
225
B
81
B = 225 - 81 = 144
2.小明家買了一部 55 in 的電視機。小明量了電視機的屏幕后，發現屏幕只有 121.5 cm 長和 68.5 cm 寬，他覺得一定是售貨員搞錯了。 你同意他的想法嗎？你能解釋這是為什么嗎？
隨堂練習
【課本P3 隨堂練習 第2題】
1 英寸(in) = 2.54 厘米(cm)
55 (in) = 55×2.54 =139.7 (cm)
121.52 + 68.52 ≈ 139.72
售貨員沒有搞錯。
電視尺寸對照表
題型一 直接利用勾股定理求線段長
如圖，在 △ABC 中，AD⊥BC 于點 D，且 AC + AD = 32，BD = 5，CD = 16，求 AB 的長。
A
B
D
C
Rt△ACD
Rt△ABD
CD = 16，
AD = x，
AC = 32-x
BD = 5
求AD
求AB
題型一 直接利用勾股定理求線段長
解：因為 AD⊥BC，
所以∠ADC =∠ADB ＝ 90°。
由 AC + AD = 32，設 AD = x，則 AC = 32-x。
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得 AD2 +CD2 = AC2，
即 x2 + 162 = (32-x)2，解得 x = 12，所以 AD = 12。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得 AD2 + BD2 = AB2，
即 122 + 52 = 169 = AB2，所以 AB = 13。
練 習
如圖，將長為 16 cm 的橡皮筋放置在數軸上，兩端固定在點 A 和點 B 處，然后把中點 C 沿垂直于 AB 的方向拉升 6 cm 至點 D 處，則橡皮筋被拉長了______cm。
【解析】由題易知 AC = AB = ×16 = 8 (cm)，
CD = 6 cm。 在 Rt△ACD 中，由勾股定理，
得 AD2 = AC2 + CD2 = 82 + 62 = 100，
則 AD = 10 cm。 同理可得 BD = 10 cm。
所以 AD + BD-AB = 10+10-16 = 4 (cm)。
故橡皮筋被拉長了 4 cm。
1
2
1
2
4
題型二 先構造直角三角形再利用勾股定理解決問題
如圖，在 △ABC 中，AB = 15，AC = 13，BC = 14，求△ABC 的面積。
思路分析
過點 A 作 AD⊥BC
AD2=AB2-BD2
AD2=AC2-CD2
求 AD
求 S△ABC
解：如圖，過點 A 作 AD⊥BC 于點 D，
則∠ADB = ∠ADC = 90°。
設 BD = x，則 CD = BC-BD = 14-x。
在 Rt△ABD 中，由勾股定理，得
AD2 = AB2 - BD2 = 152-x2。
在 Rt△ACD 中，由勾股定理，得
AD2 = AC2-CD2 = 132-(14-x)2。
所以152-x2 = 132-(14-x)2，
解得 x = 9，即 BD = 9。
所以 AD2 = AB2-BD2 = 152-92 = 144。
所以 AD = 12。
所以 S△ABC = BC·AD = ×14×12 = 84。
1
2
1
2
題型三 利用勾股定理解決折疊問題
如圖，有一張直角三角形紙片，其中∠ACB = 90°，AB = 5，AC = 3。 現將△ABC 折疊，使點 C 落在 AB 邊上的點 D 處，
折痕為 AE，則 CE 的長為（ ）
A. 1 B. 2 C.1.5 D. 2.5
C
解析：由折疊知 AD = AC = 3，
CE = DE，∠ADE = ∠ACE = 90°，
所以 BD = AB-AD = 2，
∠BDE = 180°-∠ADE = 90°。
在Rt△ABC 中，BC2 =AB2-AC2 = 52-32 = 16，
所以 BC = 4，所以 BE = 4-DE。
在Rt△BDE 中，BE2 = DE2 + BD2，
即 (4-DE)2 =DE2 + 22，解得 DE = 1.5，即 CE = 1.5。
練 習
如圖，在 Rt△ABC中，AB = 9，BC = 6，∠B = 90°，將△ABC折疊，使點 A 與 BC 的中點 D 重合，折痕為 MN，則線段 BN 的長為（ ）
A. B. C.4 D.5
5
3
5
2
C
【解析】設 BN = x，則 DN = AN = AB-BN = 9-x。
因為 D 是 BC 的中點，BC = 6，所以 BD = 3。
在Rt△BDN 中，BN2 + BD2 = DN2，
即 x2 + 32 = (9- x)2，解得 x = 4。
所以線段 BN 的長為 4。
課堂小結
認識勾股定理
直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方。 如果用 a，b 和 c 分別表示直角三角形的兩直角邊和斜邊，那么 a2 + b2 = c2。
利用勾股定理進行計算
課后作業
從課后習題中選取
完成練習冊本課時的習題

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