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2.1直線的傾斜角與斜率題型總結(jié)
【題型1 求直線的傾斜角】
【例1】若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.1】已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.2】已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【變式1.3】設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 求直線的斜率】
【例2】若直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【變式2.1】已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則的斜率為（ ）
A． B．2 C． D．
【變式2.2】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．1
【變式2.3】斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距，均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 斜率與傾斜角的變化關(guān)系】
【例3】如圖，直線、、的斜率分別為、、，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3.1】已知直線的斜率，則的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式3.2】如圖所示，直線的斜率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3.3】已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 已知直線的傾斜角或斜率求參數(shù)】
【例4】已知兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【變式4.1】若經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線斜率為1，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【變式4.2】已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，若，則的值為（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1
【變式4.3】 經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型5 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】
【例5】已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線l與線段相交，則直線l斜率k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式5.1】已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段（含端點(diǎn)）總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式5.2】已知直線過點(diǎn)，且與以和為端點(diǎn)的線段相交.
(1)求直線的斜率k的取值范圍；(2)求直線的傾斜角的取值范圍.
【變式5.3】已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，，.
(1)求直線AC的傾斜角；
(2)若D為的AB邊上一動點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍.
【題型6 兩條直線平行的判定及應(yīng)用】
【例6】已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．3 B． C．1或 D．或3
【變式6.1】已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【變式6.2】設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，，若，則（ ）
A．6 B． C．6或 D．或3
【變式6.3】已知，則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【題型7 兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】
【例7】已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【變式7.1】已知直線與垂直，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【變式7.2】 “”是“直線與直線互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件 C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式7.3】下列哪條直線與直線垂直（ ）
A． B． C． D．
【題型8 直線平行、垂直的判定在幾何中的應(yīng)用】
【例8】已知點(diǎn)，，，是的垂心．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【變式8.1】已知直線過點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)B在第一象限， 點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若三角形OAB為鈍角三角形時，則直線的斜率的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式8.2】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)，若，求證： .

【變式8.3】如圖所示，已知四邊形的四個頂點(diǎn)分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明.

2.1直線的傾斜角與斜率題型總結(jié)答案
【題型1 求直線的傾斜角】
【例1】若一條直線經(jīng)過兩點(diǎn)和，則該直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線的斜率，進(jìn)而求出直線的傾斜角.
【解答過程】直線的斜率為，設(shè)該直線的傾斜角為，
故，解得.
故該直線的傾斜角為.
故選：D.
【變式1.1】已知直線的方程為，則直線的傾斜角為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】求出直線的斜率，即得直線的傾斜角.
【解答過程】由，可得直線的斜率為，
故直線的傾斜角為.
故選：B.
【變式1.2】已知直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，則直線l的傾斜角為（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】利用經(jīng)過兩點(diǎn)的斜率公式與，即可求得結(jié)果.
【解答過程】直線l經(jīng)過兩點(diǎn)，所以，
又傾斜角的取值范圍為，所以.
故選：D.
【變式1.3】設(shè)直線的方程為，則直線的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先求出直線的斜率范圍，從而得到，得到答案.
【解答過程】直線的斜率為，
故，
又，故.
故選：D.
【題型2 求直線的斜率】
【例2】若直線的傾斜角為，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)即可求解出斜率．
【解答過程】直線的斜率為，
故選：C．
【變式2.1】已知直線經(jīng)過點(diǎn)，，則的斜率為（ ）
A． B．2 C． D．
【解題思路】利用斜率公式求解.
【解答過程】解：直線的斜率．
故選：C.
【變式2.2】經(jīng)過兩點(diǎn)的直線的斜率是（ ）
A． B． C． D．1
【解題思路】由斜率計(jì)算公式即可求解；
【解答過程】由，
可得，
故選：C.
【變式2.3】斜拉橋是橋梁建筑的一種形式，在橋梁平面上有多根拉索，所有拉索的合力方向與中央索塔一致.如圖，一座斜拉橋共有10對拉索，在索塔兩側(cè)對稱排列，已知拉索上端相鄰兩個錨的間距均為，拉索下端相鄰兩個錨的間距，均為，最短拉索滿足，，若建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則最長拉索所在直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】根據(jù)已知條件，結(jié)合直線的斜率公式，計(jì)算即可得答案.
【解答過程】解：，
故，，
則，
故選：D.
【題型3 斜率與傾斜角的變化關(guān)系】
【例3】如圖，直線、、的斜率分別為、、，則（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)圖象結(jié)合斜率及傾斜角的關(guān)系分別判斷即可.
【解答過程】設(shè)直線、、的傾斜角為、、，由圖可知，
所以，即.
故選：A.
【變式3.1】已知直線的斜率，則的傾斜角的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用斜率的定義得到直線傾斜角的正切值的范圍，再利用正切函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【解答過程】設(shè)的傾斜角為，則，且，
如圖，由正切函數(shù)的性質(zhì)知.
故選：C.
【變式3.2】如圖所示，直線的斜率分別為，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】應(yīng)用斜率與傾斜角的關(guān)系即可判斷．
【解答過程】由，結(jié)合的函數(shù)圖象，
直線對應(yīng)的傾斜角為鈍角，則，
直線與都為銳角，且的傾斜角大于的傾斜角，
則，故．
故選：B.
【變式3.3】已知直線的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得到斜率的取值范圍.
【解答過程】函數(shù)在上單調(diào)遞增，
又，，
故的取值范圍是.
故選：C.
【題型4 已知直線的傾斜角或斜率求參數(shù)】
【例4】已知兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，則實(shí)數(shù)等于（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】利用兩點(diǎn)的斜率公式及直線的斜率定義即可求解.
【解答過程】由題，直線的斜率為，又，
.
故選：B.
【變式4.1】若經(jīng)過，兩點(diǎn)的直線斜率為1，則實(shí)數(shù)（ ）
A．3 B． C．2 D．1
【解題思路】根據(jù)斜率公式結(jié)合已知斜率可求實(shí)數(shù).
【解答過程】過，兩點(diǎn)的直線斜率為，
所以，解得，．
故選：B．
【變式4.2】已知點(diǎn)，直線的傾斜角為，若，則的值為（ ）
A．3 B．－1 C．3或－1 D．3或1
【解題思路】根據(jù)條件得到直線的傾斜角，利用傾斜角與斜率的關(guān)系計(jì)算可得結(jié)果.
【解答過程】由得，或．
當(dāng)時，，解得；
當(dāng)時，，解得．
綜上，的值為3或．
故選：C.
【變式4.3】 經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，則實(shí)數(shù)m的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】根據(jù)題意列出相應(yīng)的不等式，即可得答案.
【解答過程】由題意經(jīng)過兩點(diǎn)，的直線的傾斜角是銳角，
可知 ，且 ，
解得 ，即實(shí)數(shù)m的范圍是，
故選：C.
【題型5 直線與線段的相交關(guān)系求斜率范圍】
【例5】已知點(diǎn)，，若過點(diǎn)的直線l與線段相交，則直線l斜率k的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】數(shù)形結(jié)合，求出臨界條件結(jié)合斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可.
【解答過程】由題設(shè)，，如下圖示，所以．
故選：D.
【變式5.1】已知點(diǎn)，經(jīng)過點(diǎn)P作直線l，若直線l與連接，兩點(diǎn)的線段（含端點(diǎn)）總有公共點(diǎn)，則直線l的斜率k的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】由題意作圖，利用斜率的計(jì)算公式，可得答案.
【解答過程】由題意作圖如下：
設(shè)直線的斜率為，直線的斜率為，直線的斜率為，
由圖可知，
由，，，則，，
所以.
故選：B.
【變式5.2】已知直線過點(diǎn)，且與以和為端點(diǎn)的線段相交.
(1)求直線的斜率k的取值范圍；
(2)求直線的傾斜角的取值范圍.
【解題思路】（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象，根據(jù)圖象分析，，三點(diǎn)之間的關(guān)系，不難給出直線的斜率的取值范圍；
（2）根據(jù)直線斜率與傾斜角的關(guān)系，結(jié)合圖象即可求解直線的傾斜角的取值范圍．
【解答過程】（1）在平面直角坐標(biāo)系中畫出圖象如圖：
，
直線過點(diǎn)，且與以和為端點(diǎn)的線段相交.
所以直線的斜率的取值范圍.
（2）由（1）可知，，
直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
由此可得此時直線的傾斜角的取值范圍，
由圖可知，當(dāng)直線斜率不存在時，所得直線符合題意，故此時直線的傾斜角，
綜上，直線的傾斜角的取值范圍.
【變式5.3】已知坐標(biāo)平面內(nèi)三點(diǎn)，，.
(1)求直線AC的傾斜角；
(2)若D為的AB邊上一動點(diǎn)，求直線CD的傾斜角的取值范圍.
【解題思路】（1）由兩點(diǎn)式斜率公式求出斜率，然后根據(jù)斜率與傾斜角的關(guān)系求解即可
（2）數(shù)形結(jié)合，利用兩點(diǎn)式斜率公式，根據(jù)斜率與傾斜角變化的規(guī)律分析求解即可.
【解答過程】（1）由，得，
因?yàn)樾甭实扔趦A斜角的正切值，且傾斜角的范圍是，所以直線AC的傾斜角為.
（2）如圖，當(dāng)直線CD繞點(diǎn)C由CA逆時針轉(zhuǎn)到CB時，直線CD與線段AB恒有交點(diǎn)，即D在線段AB上，

此時由增大到，又，，
所以的取值范圍為，
即直線CD的傾斜角的取值范圍為.
【題型6 兩條直線平行的判定及應(yīng)用】
【例6】已知直線與直線平行，則的值為（ ）
A．3 B． C．1或 D．或3
【解題思路】根據(jù)兩條直線平行列出方程，再代入驗(yàn)證即可.
【解答過程】因?yàn)橹本€與直線平行，
所以,解得，或；
當(dāng)時，兩條直線為：兩條直線重合，舍去；
當(dāng)時，兩條直線為：兩條直線平行；
故選：B.
【變式6.1】已知直線的傾斜角為，直線經(jīng)過點(diǎn)，則直線的位置關(guān)系是（ ）
A．平行或重合 B．平行 C．垂直 D．重合
【解題思路】由斜率的定義及坐標(biāo)公式分別求出兩條直線的斜率即可判斷位置關(guān)系.
【解答過程】依題意，直線的斜率，直線的斜率，
即，所以或重合.
故選：A.
【變式6.2】設(shè)為實(shí)數(shù)，已知直線，，若，則（ ）
A．6 B． C．6或 D．或3
【解題思路】根據(jù)直線一般形式下的平行條件計(jì)算即可.
【解答過程】因?yàn)椋裕獾没颍?br/>當(dāng)時，，滿足與平行；
當(dāng)時，，可判斷此時與重合，舍去；
所以.
故選：A．
【變式6.3】已知，則直線與的位置關(guān)系是（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【解題思路】根據(jù)直線的斜率來進(jìn)行判斷.
【解答過程】，
由圖可知不共線，所以．
故選：B.
【題型7 兩條直線垂直的判定及應(yīng)用】
【例7】已知直線經(jīng)過，兩點(diǎn)，直線的傾斜角為，那么與（ ）
A．垂直 B．平行 C．重合 D．相交但不垂直
【解題思路】分別求出兩直線的斜率，根據(jù)斜率即可得出兩直線的關(guān)系.
【解答過程】由題意，
所以，
所以.
故選：A.
【變式7.1】已知直線與垂直，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．
【解題思路】利用一般式方程下兩直線垂直的公式代入求解即可得到結(jié)果.
【解答過程】因?yàn)橹本€與垂直，
所以，解得．
故選：C．
【變式7.2】“”是“直線與直線互相垂直”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【解題思路】先根據(jù)直線一般方程垂直系數(shù)關(guān)系求參，再結(jié)合充分必要條件定義判斷即可.
【解答過程】因?yàn)椤爸本€與直線互相垂直”可得,
所以，故或.
所以“”是“直線與直線互相垂直”的充分不必要條件.
故選：A.
【變式7.3】下列哪條直線與直線垂直（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】先求得出直線的斜率，利用兩直線垂直的斜率公式對各個選項(xiàng)進(jìn)行驗(yàn)證即可求解.
【解答過程】直線的斜率為2,
若直線m與直線垂直，則，，
對于A,的斜率為2,不與直線垂直;
對于B,的斜率為2,不與直線垂直;
對于C,的斜率為-1，不與直線垂直；
對于D,的斜率為 ,與直線垂直.
故選:D.
【題型8 直線平行、垂直的判定在幾何中的應(yīng)用】
【例8】已知點(diǎn)，，，是的垂心．則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
【解題思路】先設(shè)點(diǎn)C的坐標(biāo),再求出直線的斜率，則可求出直線的斜率和直線的傾斜角，聯(lián)立方程組求出C的坐標(biāo)；
【解答過程】設(shè)C點(diǎn)標(biāo)為，直線AH斜率，
∴，而點(diǎn)B的橫坐標(biāo)為6，則，
直線BH的斜率，
∴直線AC斜率，
∴，
∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為．
故選：D.
【變式8.1】已知直線過點(diǎn)，直線與直線的交點(diǎn)B在第一象限， 點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn). 若三角形OAB為鈍角三角形時，則直線的斜率的范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【解題思路】找到三個極端位置的斜率值，并旋轉(zhuǎn)相關(guān)直線得到斜率范圍.
【解答過程】當(dāng)三角形為直角三角形時，或，
此時的斜率或0.
當(dāng)從順時針旋轉(zhuǎn)到軸之間時，三角形為鈍角三角形，此時；
當(dāng)從逆時針旋轉(zhuǎn)到與直線平行之間時，三角形為鈍角三角形，此時，
綜上，，
故選：C.
【變式8.2】在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)三角形的頂點(diǎn)分別為，，，點(diǎn)是線段上的一點(diǎn)（異于端點(diǎn)），設(shè)均為非零實(shí)數(shù)，直線分別交于點(diǎn)，若，求證： .

【解題思路】利用斜率公式求得直線與的斜率，從而利用直線垂直的性質(zhì)得到，再求得直線與的斜率之積，由此得證.
【解答過程】由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
因?yàn)椋裕矗?br/>由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
由點(diǎn)和點(diǎn)，知直線的斜率為，
則直線與的斜率之積為，
所以.
【變式8.3】如圖所示，已知四邊形的四個頂點(diǎn)分別為，，，，試判斷四邊形的形狀，并給出證明.

【解題思路】通過計(jì)算得到，，從而判斷出四邊形的形狀.
【解答過程】由已知可得邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率，邊所在直線的斜率，
邊所在直線的斜率.
因?yàn)椋裕?
因此四邊形是平行四邊形.
（3）直線的斜率，直線的斜率，，故.
（4）的傾斜角為90°，則軸.直線的斜率，則軸，故.
19．（24-25高二上·浙江·期中）已知，，．
(1)求直線AB和AC的斜率；
(2)若點(diǎn)D在線段BC（包括端點(diǎn)）上移動時，求直線AD的斜率的變化范圍．
【解題思路】（1）由斜率公式直接求解；
（2）由傾斜角與斜率的關(guān)系即可求解.
【解答過程】（1）由斜率公式可得直線AB的斜率，
直線AC的斜率，
故直線AB的斜率為，直線AC的斜率為3．
（2）當(dāng)D由B運(yùn)動到C時，直線AD的傾斜角增大且為銳角，
直線AD的斜率由增大到，
所以直線AD的斜率的變化范圍是.

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