資源簡介

《二次函數的圖象和性質》教學設計
一、教學內容解析
1. 本章的內容和地位
在《義務教育數學課程標準》中，對《二次函數》的課程內容做出了以下五點要求：
（1）通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義.
（2）會用描點法畫出二次函數的圖象，通過圖象了解二次函數的性質.
（3）會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函數的頂點坐標，說出圖象的開口方向，畫出圖象的對稱軸，并能解決簡單實際問題.
（4）會利用二次函數的圖象求一元二次方程的近似解.
（5）*知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數.
從內容上看，學生在八年級時學習了《一次函數》、《反比例函數》兩章內容，《二次函數》一章編排于九年級下冊，此后，在《普通高中課程標準實驗教科書 數學 必修1》的課程中，學生將繼續學習和研究指數函數、對數函數、冪函數等基本初等函數的性質.
從方法上看，在研究一次函數和反比例函數時，教材側重于通過觀察函數圖象來直觀了解函數的性質. 而進入高中后，教材則側重于通過分析解析式來研究函數性質. 因此，在《二次函數》一章的教學中，我引導學生將研究方法從圖象逐步向解析式轉移，讓學生在體會數形結合思想的同時，初步經歷代數說理的過程，也為下一學段的學習做好過渡.
2. 本課的內容和地位
在教學中，本章內容共安排了13個課時，其中第26.1節“二次函數及其圖象”包含了7個課時. 教學中為了突出學生的主體地位，適應學生的認知需求，在本章起始課上，我讓學生從已有知識和經驗出發，自己定義出一類可稱為“二次函數”的新函數，并探討對這類函數的進一步研究設想. 結合一次函數的研究經驗，依據從特殊到一般的原則，部分學生提出了如下的研究思路：
為順應學生的研究思路，我嘗試對第26.1節的內容做了調整，安排如下：
課時 原來的教學安排 我調整后的內容安排 （本課是第5課時）
第1課時 26.1.1 二次函數 26.1.1 二次函數
第2課時 26.1.2 二次函數y=ax2的圖象 26.1.2 用待定系數法求二次函數的解析式（1）——利用三點求二次函數的解析式
第3課時 26.1.3 二次函數y=a(x-h)2+k的圖象（1）——形如y=ax2+c(a≠0)的二次函數 26.1.3 二次函數的圖象和性質（1）——形如y=ax2(a≠0)的二次函數
第4課時 26.1.3 二次函數y=a(x-h)2+k的圖象（2）——形如y=a(x-h)2 (a≠0)的二次函數 26.1.3 二次函數的圖象和性質（2）——形如y=ax2+c(a≠0)的二次函數
第5課時 26.1.3 二次函數y=a(x-h)2+k的圖象（3）——形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函數 26.1.3 二次函數的圖象和性質（3）——形如y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數（數字系數）
第6課時 26.1.4 二次函數y=ax2+bx+c的圖象 26.1.3 二次函數的圖象和性質（4）——二次函數y=ax2+bx+c (a≠0)的一般規律
第7課時 *26.1.5 用待定系數法求二次函數的解析式 26.1.4 用待定系數法求二次函數的解析式（2）——利用頂點坐標或對稱軸求解析式
原教學安排以拋物線的平移作為主線，知識間的邏輯關系清晰，先從特殊到一般地研究形如y=a(x-h)2+k(a≠0)的二次函數，最后提出形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數，學生自然就能想到將后者配方變形為已學過的形式，這樣的設計便于突出重點、突破難點.
而我嘗試對內容作調整則是立足于尊重學生的認知需求，保護學生學習的主動性. 此外，我校學生程度較好，具備一定的研究問題的能力，也樂于探究問題. 因此，我結合學生學情制定了本課的教學目標，并且對教學情境、問題設計、代數說理等方面的內容和難度進行了反復推敲，進行這節課的嘗試. 從學生的課后反饋來看，取得了較好的教學效果.
二、學生學情分析
授課班級的學生程度較好，基礎扎實，思維靈活，具備一定的探索數學問題的能力，并樂于探究具有一定挑戰性的問題.
在知識基礎方面，學生八年級時學習了一次函數和反比例函數，會用描點法繪制函數圖象，會用待定系數法求函數解析式，能夠借助函數圖象描述出函數的簡單性質，能夠理解函數的解析式、圖象和性質之間的內在聯系.
通過《二次函數》一章前幾課時的學習，學生已經了解到二次函數的圖象是拋物線，會用不共線的三點坐標求出二次函數的解析式，掌握了形如y=ax2+c(a≠0)的二次函數的圖象和性質，并能從解析式上對函數的最值、對稱性、增減性等特征進行說明.
在研究能力方面，學生在七年級時參加了我校開展的研究性學習課程，具備較強的解決問題的能力. 而在學習一次函數時，學生經歷過自己提出問題、設計方案、解決問題的過程. 比如，在學了正比例函數y=kx后，研究一次函數y=kx+b時，學生就提出想要研究“b對函數圖象的影響”這樣的問題，為解決問題，部分學生針對性地設計出函數組（如y=2x+1，y=2x+2，y=2x-1；或y=x+1，y=2x+1，y=-x+1等），還有一些學生從解析式中猜想出了直線的上下平移關系，最終從不同解法中總結出“b的幾何意義”.
因此，學生們不僅能夠適應本課教學內容的調整，還能夠從中表現出更強的自主性，獲得更高的能力提升空間.
三、教學目標設置
1. 教學目標
（1）會將數字系數的二次函數的表達式化為y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，并確定其開口方向、對稱軸和頂點坐標；
（2）經歷從特殊到一般的研究過程，體會數與形的內在聯系；
（3）能利用二次函數的圖象特征推測函數的性質，并利用二次函數的解析式對其圖象特征進行解釋和判斷；
（4）感受數學的直觀性、抽象性、嚴謹性，在方法遷移的過程中獲得成功的體驗.
2. 教學重點、教學難點
教學重點：形如y=ax2+bx(a≠0)的數字系數的二次函數的圖象與性質.
教學難點：從解析式的角度對二次函數圖象的對稱性進行說理論證.
四、教學策略分析
1. 教學面臨的問題
對本課而言，學生要掌握用配方的方法將數字系數的二次函數化為y=a(x-h)2+k(a≠0)的形式，這需要考慮以下問題：
（1）在學生提出的研究思路中，y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)兩種形式的二次函數所使用的方法本質上是一樣的，應當通過教學讓學生意識到這種關系，使知識融合為一體；
（2）在研究以上兩種形式的二次函數時，如果直接面對解析式，學生可能在繪制圖象時已經遇到障礙，根據描出的有限幾個點確定不出頂點或對稱軸的位置，讓代數變形的探究缺乏支撐；
（3）由于本課所研究的問題有一定難度，容易讓學生感覺枯燥，所以問題情境的設計要盡量新穎、淺顯，保護學生的積極性。
2. 教學方法的選擇
本課主要采用了教師啟發講授和學生探究相結合的方法，包括教師的啟發講授、提問、演示，以及學生的練習、展示、討論等過程.
3. 教學情境的設計
為了讓課堂更豐富，同時加強知識之間的聯系，我將所研究的幾個二次函數用一個橋拱的情境串聯起來，從圖形入手，由淺入深地實現問題的引入、探究、推廣和提升.
如圖是一座橋的拋物線形橋拱. 當水面在BC時，拱頂離水面的距離AD=2m，水面寬BC=2m. 問題1：請建立適當的平面直角坐標系，指出拋物線的頂點坐標和對稱軸，并求出此時拋物線的解析式. （單位：m）
問題2：某同學算出橋拱的解析式是y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建立坐標系的嗎？
問題3：在拱橋的問題中， （1）你發現y1、y2、y3、y4的圖象之間有什么聯系？ （2）如果以C為原點，直線BC為x軸，你能直接寫出橋拱所在拋物線的解析式嗎？ （3）在（2）的條件下，橋拱在水中的倒影y′也是拋物線，你能直接寫出它的解析式嗎？想一想，你的依據是什么.
在問題1中，根據學生建系方式的不同，可以分別得到幾類不同形式的二次函數，這樣就把幾節課的知識巧妙地串聯起來了. 同時能夠很快得出新形式的二次函數的對稱軸和頂點坐標，為后面的探究確定了目標.
問題2在背景上看似問題1的延續，實則在思維上與問題1互逆，在方法上又是問題1的推廣，讓研究的對象過渡為形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數，這兩種二次函數在形式上有差異，但知識間是有聯系的，因而解決問題的方法是一樣的.
問題3留給學有余力的學生在課下探究，希望他們通過觀察和思考，找到拋物線位置和開口方向的決定因素，理解同一條拋物線在不同坐標系下所對應的不同解析式之間的聯系，其實這種聯系是雙向的：通過y1的平移可以得出y2、y3、y4的圖象；從更高層面理解，y2、y3、y4的性質本質上就是由y1的性質得到的. 隨著理解的深入，學生對這些知識的理解經歷著由感性到理性的過程.
如果去掉橋拱的問題背景，學生實際要研究的是以下三個二次函數：
→ →
這三個二次函數在形式和方法上由易到難.
函數y3是由圖象得解析式，便于探究規律，形成方法. 函數y4容易配方，也較容易繪制出圖象，還可以由前一個函數y3圖象的平移得到這個函數的性質，可以讓學生在方法遷移的過程中體會知識之間的聯系，并獲得成功的體驗. 最后通過研究函數y=2x2-3x-1，鞏固本課所學方法，并梳理研究二次函數的方法和過程.
4. 教學中的問題設計
本課教學中涉及到新方法的引入，研究過程中也會面臨一些思維難題，因此，針對教學中的某些環節，我通過設計啟發性或階梯性的問題來幫助學生突破難點.
（1）引入配方方法的三步引導
【環節2】探究求解 ①對y3=-2x2+4x，求證：當x=1時ymax=2.
在環節2中證明函數最值時，需要引導學生對解析式進行配方變形. 由于本章前幾課時的研究中均沒有出現配方，學生不容想到，所以需要給學生適當的引導. 在這里，我設計了三步引導來完成證明過程：
第1步：聯想y=ax2+c(a≠0)的情形 當a<0時頂點(0,c)是最高點，這是因為ax2≤0，從而y=ax2+c≤c，且當x=0時函數有最大值c，所以(0,c)是圖象的最高點. 這是利用了x2的非負性，來確定函數的最值和取得最值的條件，同時確定圖象的最高或最低點.
第2步：確定解析式的變形目標 若能夠將解析式y3=-2x2+4x也變形成y=aM2+N的形式，其中M是含x的式子、N是常數，那么就可以通過M2的非負性求出函數取得最大或最小值的條件.
第3步：想到用配方的方法將解析式變形成需要的形式.
其實，如果不做前兩步分析，仍然會有部分學生想到使用配方的方法. 但二次函數存在最值，其本質是因為實數的平方具有非負性，所以我認為應該通過教師的引導和分析使學生看到這層本質，而不是機械地使用配方的方法解題.
（2）為研究函數對稱性而設計的階梯性問題
【環節2】探究求解 ③二次函數y3=-2x2+4x的對稱性.
對二次函數對稱性的描述是本課的教學難點. 除了前兩課時教學中的適當鋪墊外，教學中我還設計了三個階梯性問題，來幫助學生找到思路.
第1問：你能從圖象上找出一組對稱點嗎？ 第2問：為什么說它們關于直線x=1對稱？它們的橫坐標、縱坐標分別有什么關系？ 第3問：推廣到一般情形，可以怎么證明函數的對稱性？（換句話說，這樣的對稱點可以怎么找出來？）
通過第1問和第2問，學生已經可以總結出：關于直線x=1對稱的兩點M、N，其坐標應該滿足. 所以在第3問時學生的思路就順暢多了，在課堂上共提出了三種思路.
思路1：在拋物線上找兩點M、N，使，證明此時. 思路2：在拋物線上取一點M(m,n)，則它關于直線x=1的對稱點為N(2-m,n)，證明點N也在拋物線上. 思路3：對任意m>0，在拋物線上取M、N，使xM=1-m，xN=1+m，證明此時yM=yN.
在高中必修1教材中，主要采用上面的思路3來論證二次函數的對稱性，但這里學生能夠提出其它思路，主要是從前面的引導提問及階段性結論中受到了啟發.
5. 教具的設計和使用
在教學設計過程中，我開發了教學ppt和幾何畫板課件.
對預設中的問題，在ppt課件中都有一定的準備. 而對于課堂上可能出現的預設外情況，則可以用交互性更強的幾何畫板課件進行演示.
此外，在學生可能需要繪制函數圖象的環節，我將幾何畫板課件設計為輸入橫坐標后自動計算出縱坐標，并描出對應的點. 這樣設計是為了在有限的時間內更高效地展示出學生解決問題的不同思路，促進思維的碰撞.
五、教學過程設計
為達到教學目標，我為本課設計了四個教學環節，教學流程如下：
1. 溫故求新
在前兩節課，我們研究了形如y=ax2(a≠0)和y=ax2+c(a≠0)的二次函數，其中y=ax2又可以看做y=ax2+c當c=0時的特殊情形，而y=ax2+c則可以看做由y=ax2向上或向下平移得到.
在研究中我們還了解到，二次函數的解析式和圖象特征之間存在著對應關系：已知解析式可以得出對應圖象的特點，反之，知道了圖象的某些條件也可以求出對應的解析式. 請看下面的問題.
如圖是一座橋的拋物線形橋拱. 當水面在BC時，拱頂離水面的距離AD=2m，水面寬BC=2m. 問題1：請建立適當的平面直角坐標系，指出拋物線的頂點坐標和對稱軸，并求出此時拋物線的解析式. （單位：m）
分析與解：可以選取圖中任意點作為坐標原點建系，求出的解析式各不相同.
（選取有代表性的學生解答，投影展示，教師在黑板上畫圖以便總結、比較. ）
解1：如圖，以A為原點，以直線AD為y軸建立坐標系. 則拋物線頂點是A(0,0)，對稱軸是y軸，且經過B(-1,-2)、C(1,-2)，設拋物線為y1=ax2，解得a=-2，所以y1=-2x2.
解2：如圖，以D為原點，以直線AD為y軸建立坐標系. 則拋物線頂點是A(0,2)，對稱軸是y軸，且經過B(-1,0)、C(1,0)，設拋物線為y2=ax2+c，解得y2=-2x2+2.
解3：如圖，以B為原點，以直線BC為x軸建立坐標系. 則頂點是A(1,2)，對稱軸是直線x=1，且經過B(0,0)，C(2,0). 設拋物線為y3=ax2+bx+c，解得y3=-2x2+4x.
在前兩種解法中，分別用到了形如y=ax2和y=ax2+c兩類特殊二次函數的圖象來求解析式. 反過來，對這兩種特殊形式的二次函數，若知道了它們的解析式也可找到頂點坐標和對稱軸，并畫出圖象.
而在第三種解法中，由圖象知道了此時拋物線的頂點坐標為(1,2)，對稱軸是直線x=1，并求出了解析式. 可如果僅知道拋物線的解析式y3=-2x2+4x，能否確定出它的頂點坐標和對稱軸呢？
【設計說明】
通過橋拱的問題1，復習已經學過的兩類二次函數，并提出新形式的二次函數——y=ax2+bx(a≠0).
在這個情境中，沒有先給出函數解析式再繪圖、研究，而是將同一條拋物線放在不同的坐標系下求解析式，這樣學生便于得到新函數的圖象特征，為下一環節的論證說理找到目標.
2. 探究求解
要研究這一問題，我們不妨先將這些圖象特征轉化為對應的代數特征，再尋求它們與解析式之間的聯系.
（1）整理出拋物線y3=-2x2+4x的開口方向、頂點坐標、對稱軸、趨勢等圖象特征.
（2）根據圖象的特征，描述出二次函數y3=-2x2+4x的對應性質.
圖象特征 函數性質
y3=-2x2+4x
開口 方向 向下 當x=1時ymax=2. 最值
頂點 坐標 (1,2)
對稱軸 直線x=1 *對任意m>0，當自變量x分別取1-m和1+m時，對應的函數值相等. 對稱性
曲線 趨勢 在對稱軸左側圖象從左到右上升； 在對稱軸右側圖象從左到右下降. 當x≤1時y隨x增大而增大； 當x>1時y隨x增大而減小. 增減性
（3）從解析式的角度對函數的性質進行論證.
①首先論證：當x=1時ymax=2.
聯想y=ax2+c(a≠0)的情形：當a<0時頂點(0,c)是最高點，這是因為ax2≤0，從而y=ax2+c≤c，且當x=0時函數有最大值c，所以(0,c)是圖象的最高點. 這是利用了x2的非負性，來確定函數的最值和取得最值的條件，同時確定圖象的最高或最低點.
類似的，若能夠將解析式y3=-2x2+4x也變形成y=aM2+N的形式，其中M是含x的式子、N是常數，那么就可以通過M2的非負性求出函數取得最大或最小值的條件，確定圖象的最高或最低點.
這個過程與解一元二次方程時使用的配方法比較類似，不妨也試著對函數解析式的二次項、一次項進行配方：y3=-2x2+4x=-2(x2-2x)=-2(x2-2x+1)+2=-2(x-1)2+2，由于(x-1)2≥0，所以y3=-2(x-1)2+2≤2，且當x=1時，函數有最大值2.
②其次來看這個函數的增減性. （說理）
由配方得到y3=-2(x-1)2+2，所以(x-1)2越大，y3的值越小. 因此，當x≤1時，x越小函數值越小，即y隨x的增大而增大；當x>1時，x越大函數值越小，即y隨x的增大而減小.
③最后來分析二次函數y3=-2x2+4x的對稱性.
學生描述對稱性時可能會遇到困難，需要有教師的幾步引導并配合課件演示：
(A)找幾組具體的對稱點；（先從圖象上具體的點入手，你能從圖象上找出一組對稱點嗎？）
(B)總結這些點的坐標特點. （為什么說它們關于直線x=1對稱？它們的橫坐標、縱坐標分別有什么關系？）
(C)推廣到一般情形，可以怎么描述？（這樣的對稱點可以怎么找出來？）
當自變量分別取xM、xN時，設對應的函數值分別為yM、yN.
〖預案1〗從橫坐標入手：可以從(1,0)點向左右等距離地取兩個點，把它們的橫坐標作為自變量，來判斷圖象上對應點的縱坐標是否相等.
對于任意實數m>0：
取xM=1-m，則yM=-2(1-m)2+4(1-m)=-2m2+2；
取xN=1+m，則yN=-2(1+m)2+4(1+m)=-2m2+2.
（若將橫坐標代入配方后的解析式，計算更簡便. ）
所以yM=yN，即點(1-m,yM)、(1+m,yN)關于直線x=1對稱，所以二次函數y3=-2x2+4x圖象的對稱軸是直線x=1.
〖預案2〗從縱坐標入手：由于函數的最大值是2，可以在直線y=2下方畫一條平行于x軸的直線，這條直線與拋物線有兩個交點，求出交點的橫坐標，判斷它們到直線x=1的距離是否相等. 比如：當y=1.5時，求出x1=0.5，x2=1.5，它們到直線x=1的距離都是0.5，是關于直線x=1對稱的.
令y=n，則：-2x2+4x=n，用配方法解：-2(x-1)2=n-2，(x-1)2=，
所以，當n≤2時，，關于直線x=1對稱.
〖預案3〗從圖象上任意點入手，證明其對稱點也在拋物線上.
設M(m,n)是拋物線上任意一點，則n=-2m2+4m，作點M關于直線x=1的對稱點N，則N(2-m,n).
當x=2-m時，y=-2(2-m)2+4(2-m)=-2m2+4m=n，所以N也在拋物線上，因此圖象的對稱軸是直線x=1.
小結：從上面的研究中會發現，在二次函數的主要性質中，對稱軸、頂點坐標、最值三者是相互關聯的，只要確定了其中之一，就能夠很快地說出函數的其它性質. 而對稱軸和頂點是從函數的圖象上得到的，最值則可以通過對解析式配方變形求出來. 所以，在研究形如y=ax2+bx的二次函數時，無論是先知道了圖象，還是先知道解析式，都可以推導出函數的性質.
【設計說明】
這個環節從二次函數y3=-2x2+4x的圖象特征入手，通過函數性質由“形”到“數”的轉化，來尋求解析式與圖象特征之間的聯系，并從中找到通過解析式來求解二次函數的對稱軸、頂點坐標的一般方法.
3. 推廣遷移
問題2：某同學算出橋拱的解析式是y4=-2x2+4x-2. 你知道他是怎么建立坐標系的嗎？
分析：要知道這名同學建立坐標系的方法，就是要知道他把原點定在什么位置，反過來看，也就是需要找出拋物線y4的頂點坐標.
〖預案1〗在坐標系中描點、繪制拋物線y4=-2x2+4x-2.
x … -2 -1 0 1 2 …
y … -18 -8 -2 0 -2 …
從圖象中觀察出，對稱軸是直線x=1，所以頂點A的坐標為(1,0).
〖預案2〗對解析式進行配方：y4=-2x2+4x-2=-2(x2-2x+1)=-2(x-1)2.
可得：當x=1時函數有最大值0，所以y4的頂點坐標為(1,0)，可以得知坐標系的建立方法如圖.
可以看出，對于形如y=ax2+bx+c的二次函數，用配方的方法同樣可以幫助我們求出函數的最值，從而確定頂點坐標和對稱軸.
〖預案3〗從解析式上分析，拋物線y4=-2x2+4x-2可以看做由拋物線y3=-2x2+4x向下平移2個單位得到，所以其頂點A的坐標為(1,0).
〖預案4〗設B(a,b)，則A(a+1,b+2)，C(a+2,b)，代入拋物線的解析式，解得a=-2，b=-2，所以B(-2,-2)，由此可確定原點的位置.
小結：從大家的解法中不難發現，對形如y=ax2+bx+c的二次函數，同樣可以通過繪制圖象或者對解析式配方來確定它的頂點坐標. 事實上，還有同學發現，這一類二次函數可以由二次函數y=ax2+bx向上或向下平移得到，只要研究清楚二次函數y=ax2+bx的性質，就容易研究出二次函數y=ax2+bx+c的性質，所以我們在問題1中使用的配方的方法在這里仍然可以適用.
【小試身手】試研究二次函數y=2x2-3x-1的性質.
解：（1）繪制圖象：列表、描點，畫出函數的圖象
x … -2 -1 0 1 2 3 …
y … 13 4 -1 -2 1 8 …
描點后發現這些點能夠反映出圖象的大致走勢，且開口向上，但還不足以準確確定對稱軸和頂點坐標.
〖預案〗可以再增加一些點（紅色），匯總如下表：
x … -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 2 2.5 3 3.5 …
y … 13 8 4 1 -1 -2 -2 -1 1 4 8 13 …
加入新的點并連線后，能夠看出拋物線開口向上，并且關于一條平行于y軸的直線對稱，由一組對稱點 (0,-1)、(1.5,-1)，容易找到圖象的對稱軸是直線x=.
當時，，所以頂點坐標是.
（2）最值：
由于對任意實數x，，因此. 只有當時. 所以圖象的頂點坐標為，是圖象的最低點.
（2）對稱性：
圖象的對稱軸是直線.
對任意m>0，當自變量x分別取和時，對應的函數值相等.
事實上，通過配方確定了拋物線的對稱軸后，若利用對稱性進行描點會更加的方便.
（3）增減性：
在對稱軸左側圖象從左到右上升，即當時 y隨x的增大而減小；
在對稱軸右側圖象從左到右下降，即當時， y隨x的增大而增大.
歸納：二次函數y=2x2-3x-1的圖象與性質
函數性質 圖象特征
最值 當時. 向上 開口 方向
頂點 坐標
對稱性 對任意m>0，當自變量x分別取和時，對應的函數值相等. 直線 對稱軸
增減性 當時y隨x的增大而減小； 當時y隨x的增大而增大. 在對稱軸左側圖象從左到右下降; 在對稱軸右側圖象從左到右上升. 曲線 趨勢
【設計說明】
在問題2中，讓學生將前面用到的方法運用到形如y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數中，體會知識之間的聯系. 然后，再通過一個具體的數字系數的二次函數，結合圖象和解析式梳理研究二次函數性質的一般過程和方法.
4. 總結提升
這節課我們主要研究了形如y=ax2+bx(a≠0)和y=ax2+bx+c(a≠0)的二次函數的圖象與性質.
【想一想】 （1）對于函數性質的研究，你有什么心得？ （2）我們還能從哪些方面繼續研究二次函數的性質呢？
從研究思路來看，在研究某一類函數的性質時，通常先從形式較簡單的特殊情形開始研究，比如在二次函數中我們先研究形如y=ax2的一類二次函數，再逐漸過渡到一般形式的二次函數.
從研究方法來看，圖象能幫助我們直觀把握函數的一些特征，而通過分析解析式能讓研究的過程更嚴謹、結論更可靠. 就像著名數學家華羅庚先生所說：“數缺形時少直覺，形缺數時難入微. 數形結合百般好，隔離分家萬事非. ”
今天我們主要對二次函數圖象的對稱性、頂點是最值點兩方面的圖象特征進行了說理論證. 其實，圖象的升降趨勢、開口方向等特征也同樣可以從解析式中找到依據，今后同學們在學習了其它相關知識后就可以對它們加以論證了.
【課后作業】 （1）試研究下列二次函數的性質，并作出圖象： ①； ②. （2）試用含a、b、c的式子表示二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)的對稱軸和頂點坐標，并確定其開口方向. （3）（選做）問題3：在拱橋的問題中， ①你發現y1、y2、y3、y4的圖象之間有什么聯系？ ②如果以C為原點，直線BC為x軸，你能直接寫出橋拱所在拋物線的解析式嗎？和同學交流一下，看看誰的方法又快又好. ③在②的條件下，橋拱在水中的倒影y′也是拋物線，你能直接寫出它的解析式嗎？想一想，你的依據是什么.
【設計說明】
在總結提升環節，通過課堂小結讓學生再次梳理研究的思路和方法，進一步體會函數“數形結合”的特點.
課后作業的層次鮮明：第（1）題鞏固本課的研究過程和方法；第（2）題讓學生試著將方法推廣到一般情形，找出一般性規律；第（3）題給學有余力的學生更高的思維空間，讓他們體會拋物線進行平移或對稱變化時解析式的變化規律，加深對二次函數圖象與性質的理解.

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