資源簡介

5.4　一元一次方程與實際問題
第1課時　一元一次方程與實際問題(1)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
能根據具體問題列出方程.能根據具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.
1.掌握實際問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程求解.
2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯系,加強數學建模思想的應用意識.
重點:正確列出一元一次方程解決實際問題.
難點:能夠準確找出實際問題中的等量關系,并建立模型解決問題.
1.以生活中一個常見的問題展開,引起學生的興趣,讓學生們認識到數學知識與實際生活息息相關.然后通過例題教學,為學生提供探索空間,通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動,充分調動學生學習的積極性.讓學生在實踐中獲得解決問題的方法.
2.引導學生用不同的方式設未知數,用不同的相等關系列方程,并加以比較研究,同時讓學生注意到檢驗方程解的合理性,切實提高學生分析問題和解決問題的能力.
(一)情境導入
王老師為學校購買運動會的獎品,回學校向領導交付時說:“我買了筆記本和課外書共100本,單價分別為8元和12元,共花費了1500元,還剩余460元,請領導驗收!”請幫忙算一下,王老師買了多少本筆記本和課外書
問題1　該問題中的等量關系是什么
問題2　你能不能根據你說的等量關系列出方程解決這個問題呢
(二)新知初探
探究一　積分問題
問題1　某中學正在舉辦科普知識競賽,規則如下:每次答題前需要先按響搶答器,獲得搶答權,答對一次得20分,答錯、答不出均扣10分,小亮按響搶答器12次,最后得120分,他答對的次數是多少
解:設小亮答對的次數為x,在下面的表格中,用含x的代數式表示問題中其他的未知量,
答對 答錯、答不出
次數/次 x 12-x
得(扣)分/分 20x 10(12-x)
根據題目中的等量關系:
所得的分數-扣掉的分數=120.
列出方程
20x-10(12-x)=120.
解方程,得x=8.
所以小亮答對8次.
小結:
列方程解決實際問題的一般步驟:
①理解題意,明確問題中的已知量、未知量;
②用字母表示問題中的一個未知量,并根據問題中的數量關系用含該字母的代數式表示其他未知量;
③根據等量關系,列出方程;
④解方程求出未知數的值;
⑤寫出答案.
任務一　意圖說明
通過提問和學生回答,了解學生對問題中信息的理解能力,引導學生對問題中信息通過表格做初步梳理和簡單加工;通過對表格填空,檢驗學生是否能夠理解問題中信息的含義,并滲透如何尋求相等關系.最終得出列方程解決實際問題的一般步驟.
探究二　例題講解
例題.糧倉在保障糧食安全方面發揮著重要作用.甲、乙兩個糧倉共存小麥400 t,如果甲糧倉運進小麥30 t,乙糧倉運出小麥50 t,兩個糧倉所存小麥質量恰好相等,那么原來兩個糧倉各存小麥多少噸
分析:設甲糧倉原來存小麥x t,完成下列表格:
甲糧倉存小麥質量/t 乙糧倉存小麥質量/t
原來 x
現在
題目中的等量關系是甲糧倉現存小麥質量=乙糧倉現存小麥質量
解:設原來甲糧倉存小麥xt,則乙糧倉存小麥(400-x)t,根據題意,得
x+30=(400-x)-50.
解方程,得x=160.
此時,400-x=240.
所以,原來甲、乙兩糧倉分別存有小麥160 t和240 t.
[方法歸納] 列方程解實際問題時,首先要讀懂題意,明確問題中的已知量和未知量.然后用字母表示其中一個未知量,為了更加明確題目中的等量關系,可畫出表格表示各個量,最后根據等量關系列方程求解.注意,要檢驗一下得出的解是不是符合實際意義.
任務二　意圖說明
通過例題,引導學生用列表法尋找題目中的等量關系,體會列表法在實際問題中的應用.
(三)當堂達標(要求:限時5分鐘,獨立完成)
1.父親與小強下棋(設沒有平局),父親勝一盤記2分,小強勝一盤記3分,下了10盤后,兩人得分相等.若設小強勝的盤數是x,則x應滿足的方程是(B)
A.2x=3(10-x) B.3x=2(10-x)
C.2x=3(10+x) D.3x=2(10+x)
2.程大位是我國明朝商人,珠算發明家.他60歲時完成的《直指算法統宗》是東方古代數學名著,詳述了傳統的珠算規則,確立了算盤用法.書中有如下問題:一百饅頭一百僧,大僧三個更無爭,小僧三人分一個,大小和尚得幾丁 意思是:有100個和尚分100個饅頭,如果大和尚1人分3個,小和尚3人分1個,正好分完,大、小和尚各有多少人 下列求解結果正確的是(A)
A.大和尚25人,小和尚75人
B.大和尚75人,小和尚25人
C.大和尚50人,小和尚50人
D.大、小和尚各100人
3.兒子今年12歲,父親今年40歲,則再過　16　年,父親的年齡是兒子的年齡的2倍.
4.某試卷由26道題組成,答對一題得8分,答錯一題倒扣5分.今有一考生雖然做了全部的26道題,但所得總分為零,他做對的題有　10　道.
5.學校要購入兩種記錄本,預計花費460元,其中A種記錄本每本3元,B種記錄本每本2元,且購買A種記錄本的數量比B種記錄本數量的2倍還多20本.
(1)求購買A和B兩種記錄本的數量;
(2)某商店搞促銷活動,A種記錄本按8折銷售,B種記錄本按9折銷售,則學校此次可以節省多少錢
解:(1)設購買B種記錄本x本,則購買A種記錄本(2x+20)本,
依題意,得3(2x+20)+2x=460,
解得x=50,
所以2·x+20=120.
答:購買A種記錄本120本,B種記錄本50本.
(2)460-3×120×0.8-2×50×0.9=82(元)
答:學校此次可以節省82元錢.
(四)課堂小結
用一元一次方程解決實際問題的基本過程如下:
(五)板書設計
本節課從和我們的生活息息相關的比賽積分問題入手,讓學生在具體情境中感受到數學在生活實際中的應用,從而激發他們學習數學的興趣.審清題意,找出等量關系是解決問題的關鍵,而列表法更能清晰的將題目中的等量關系呈現出來.
第2課時　一元一次方程與實際問題(2)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
能根據具體問題列出方程.能根據具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.
1.掌握行程問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程求解.
2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯系,加強數學建模思想的應用意識.
重點:正確列出一元一次方程解決實際問題.
難點:能夠準確找出實際問題中的等量關系,并建立模型解決問題.
1.通過提問行程問題中有哪些基本關系,調動學生上課的積極性,提高學生的興趣,然后通過例題教學,為學生提供探索空間,通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動,充分調動學生學習的積極性.讓學生在實踐中獲得解決問題的方法.
2.引導學生畫出示意圖來分析題目中的數量關系,同時讓學生注意到檢驗方程解的合理性,切實提高學生分析問題和解決問題的能力.
(一)問題導入
行程問題中的等量關系是什么
1.行程問題中的基本關系:路程=速度×時間,時間=路程÷速度,速度=路程÷時間.
2.行程問題中的等量關系:
①相遇問題:
甲走的路程+乙走的路程=甲、乙出發點之間的路程;
若甲、乙同時出發,則甲用的時間=乙用的時間.
②追及問題:
快者走的路程-慢者走的路程=追及路程;
若同時出發,快者追上慢者時,快者用的時間=慢者用的時間.
③航行問題:
順水(風)速度=靜水(無風)速度+水(風)速;逆水(風)速度=靜水(無風)速度-水(風)速.
(二)新知初探
探究一　相遇問題
1.甲乙兩站相距408千米,一列慢車從甲站開出,每小時行駛72千米,一列快車從乙站開出,每小時行駛96千米.
(1)兩車同時背向而行,幾小時后相距660千米
(2)兩車相向而行,慢車比快車先開出1小時,那么快車開出后幾小時兩車相遇
解:(1)設x小時后,兩車相距660千米.
根據題意,得72x+408+96x=660.
移項,得72x+96x=660-408.
化簡,得168x=252.解方程,得x=1.5.
答:1.5小時后兩車相距660千米.
(2)設快車開出后y小時兩車相遇.
根據題意,得72+72y+96y=408.
移項,得72y+96y=408-72.
化簡,得168y=336.解方程,得y=20.
答:快車開出2小時后兩車相遇.
在上面的兩個問題中,能不能畫出示意圖找出等量關系呢 試一試!
小結:
甲、乙背向行駛,甲、乙的距離=甲乙兩地的距離+甲行駛的距離+乙行駛的距離;
甲、乙相向行駛,相遇時:甲行駛的距離+乙行駛的距離=甲乙兩地距離.
任務一　意圖說明
通過設計行程問題中較為典型的相向行駛,背向行駛問題,讓學生在具體情境中區分兩者的不同,等量關系的不同,讓學生體會行程問題中不能一概而論,具體情況具體分析,便于學生加深對本節課知識的理解.
探究二　航行問題
2.一艘船從甲碼頭到乙碼頭順流行駛,用了10小時,從乙碼頭返回甲碼頭逆流行駛,用了15小時.已知水流的速度是5千米/時.
(1)求船在靜水中的平均速度
(2)兩碼頭之間的距離是多少千米
解:(1)設船在靜水中的平均速度為x千米/時,
根據題意,得10×(x+5)=15×(x-5),
整理,得10x+50=15x-75,
解得x=25,
答:船在靜水中的平均速度25千米/時.
(2)由(1)知船在靜水中的平均速度25千米/時,
則兩碼頭之間的距離為:10×(25+5)=300(千米),
答:兩碼頭之間的距離是300千米.
在上面的兩個問題中,涉及的等量關系是什么 能不能簡單說一下與行程問題的不同之處
小結:航行問題中:順水(風)速度=靜水(無風)速度+水(風)速;
逆水(風)速度=靜水(無風)速度-水(風)速.
任務二　意圖說明
通過輪船的航行問題,讓學生體會航行問題與行程問題的不同點,讓學生及時總結歸納不同類型問題中需要注意的事項,培養學生思考歸納問題的能力.
探究三　例題講解
例題.小亮和小瑩去青少年素質教育實踐基地參加活動,小亮從學校出發,步行去基地,速度為5 km/h,16 min后,小瑩從學校出發,騎自行車沿相同路線騎行,速度為15 km/h,結果兩人同時到達實踐基地,學校到實踐基地的路程是多少
(學生根據題意自主列出表格,再根據表格列方程解答,最后與課本進行對比)改錯
問題　如果設騎自行車從學校到實踐基地需要y h,可以用圖來分析本題中的數量關系:
根據等量關系:騎自行車的路程=步行的路程
可列出方程:15y=5×+5y,
解方程得到y=,
所以,騎自行車從學校到實踐基地需要 h,
15×=2(km)
所以學校到實踐基地的路程為2 km.
小結:
列表或畫示意圖都是分析數量關系的常用方法,設未知數的方法有兩種:直接設法和間接設法.
任務三　意圖說明
通過提問和學生回答,了解學生對問題中信息的理解能力,引導學生對問題中信息通過畫示意圖做初步梳理和簡單加工;通過對表格填空,檢驗學生是否能夠理解問題中信息的含義,并滲透如何尋求相等關系.最終通過列方程解決實際問題.
(三)當堂達標(要求:限時5分鐘,獨立完成)
1.甲、乙兩人在一條筆直的跑道上練習跑步,已知甲跑完全程需要4分鐘,乙跑完全程需要6分鐘,如果兩人分別從跑道的兩端同時出發,相向而行,求兩人相遇所需的時間.設兩人相遇所需的時間是x分鐘,根據題意,可列方程為　x+x=1　,兩人相遇所需的時間x=　2.4　.
2.某中學組織學生到校外參加義務植樹活動.一部分學生騎自行車先走,速度為9千米/時;40分鐘后其余學生乘汽車出發,速度為45千米/時,結果他們同時到達目的地.則目的地距學校 　7.5　千米.
3.在全民健身運動中,騎行運動頗受市民青睞,甲、乙兩騎行愛好者約定從A地沿相同路線騎行去距A地30千米的B地.已知甲騎行的速度是乙的1.2倍.若乙先騎行2千米,甲才開始從A地出發,則甲出發半小時恰好追上乙,求甲騎行的速度.
解:設乙騎行的速度是x千米/時,則甲騎行的速度是1.2x千米/時.
根據題意,得0.5×1.2x=0.5x+2,
解得x=20,
則1.2x=24.
答:甲騎行的速度是24千米/時.
(四)課堂小結
用一元一次方程解決行程問題的基本過程如下:
(1)列表或者畫圖分析題目中的數量關系,找到等量關系;
(2)設未知數,根據已經找到的等量關系列方程;
(3)解方程并檢驗;
(4)作答.
(五)板書設計
追及相遇問題是行程問題中比較常見且常考的題型,學生剛開始比較難于找到其中的等量關系,在講授過程中,多讓學生畫示意圖,自主探究,讓學生感受數形結合在解決實際問題中的作用.
第3課時　一元一次方程與實際問題(3)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
能根據具體問題列出方程.能根據具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.
1.掌握工程問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程求解.
2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯系,加強數學建模思想的應用意識.
重點:正確列出一元一次方程解決實際問題.
難點:能夠準確找出實際問題中的等量關系,并建立模型解決問題.
1.通過提問工程問題中涉及的基本關系,引起學生的上課興趣,讓學生們認識到數學知識與我們的實際生活息息相關.然后通過例題教學,為學生提供探索空間,通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動,充分調動學生學習的積極性.讓學生在實踐中獲得解決問題的方法.
2.引導學生用不同的方式設未知數,用不同的相等關系列方程,并加以比較研究,同時讓學生注意到檢驗方程解的合理性,切實提高學生分析問題和解決問題的能力.
(一)復習導入
工程問題中的等量關系有什么
(1)基本關系式:工作量=工作效率×工作時間;
工作時間=工作量÷工作效率;
工作效率=工作量÷工作時間.
(2)常用等量關系:總工作量=各部分工作量之和.
(二)新知初探
探究一　工程問題
某建筑工地計劃租用甲、乙兩輛車清理建筑垃圾,已知甲車單獨運完需要15天,乙車單獨運完需要30天.甲車先運了3天,然后甲、乙兩車合作運完剩下的垃圾.甲、乙兩車合作還需要多少天運完垃圾
解:設甲、乙兩車合作還需要x天運完垃圾,
依題意,得+=1,
解得x=8.
答:甲、乙兩車合作還需要8天運完垃圾.
上述問題中,涉及的等量關系是什么
小結:在工程問題中,工作總量未知的情況下,通常將工作總量看作“1”,再結合總工作量=各部分工作量之和,工作量=工作效率×工作時間求解.本題中,將工作總量看作“1”,乙的工作效率為1/30,甲的工作效率為1/15.
探究二　例題講解
例題.用兩臺水泵從同一池塘向外抽水,單獨用甲水泵5 h可以把水抽完,單獨用乙水泵2.5 h可以把水抽完.
(1)如果用兩臺水泵同時抽水,多長時間能把水抽完
(2)如果先用甲水泵抽水2 h,剩下部分由兩臺水泵同時抽,還需要多長時間才能把水抽完
分析:題目中的等量關系是:
第(1)問:甲水泵的抽水量+乙水泵的抽水量=1.
第(2)問:甲水泵的抽水量+乙水泵的抽水量=1.
解:設用兩臺水泵同時抽水,xh能把水抽完,
根據題意,得x+x=1,
解方程,得x=.
所以, 用兩臺水泵同時抽水, h能把水抽完.
(2)設先用甲水泵抽水2h,剩下部分由兩臺水泵同時抽,還需要y h才能把水抽完,
根據題意,得(2+y)+y=1,
解方程,得y=1.
所以, 兩臺水泵同時再抽1 h才能把水抽完.
小結:
這個問題中的等量關系是:工作量=工作效率×工作時間.“抽完一池水”沒有具體工作量,通常把這種工作量(總工作量)看作整體“1” .
任務一　意圖說明
通過提問和學生回答,了解學生對問題中信息的理解能力,引導學生對工程問題中的等量關系做初步梳理和簡單加工;通過對例題的解答,檢驗學生是否能夠理解問題中信息的含義,并滲透如何尋求相等關系.最終通過列方程解決實際問題.
(三)當堂達標(要求:限時5分鐘,獨立完成)
1.一項工程,甲單獨做需12天完成,乙單獨做需8天完成,現由甲先做2天,乙再加入合作,完成這項工程共需多少天 若設完成這項工程共需x天,依題意可列方程(D)
A.+=1 B.+=1
C.++=1 D.+=1
2.被譽為“天下第一塘”的水門塘是我縣的一張文化名片,為打造水門塘風光帶,現有一段長為280米的堤岸維修任務由A、B兩個工程隊先后接力完成.A工程隊每天維修12米,B工程隊每天維修10米,兩個工程隊共用時25天.則A工程隊維修堤岸多少米 (C)
A.160 B.170 C.180 D.190
3.廣州市政府為了打造綠化帶,將一段長為360米的綠化規劃道路承包給了甲、乙兩個工程隊.兩隊先后接力完成,共用時20天.已知甲工程隊每天可以完成24米,乙工程隊每天可以完成16米.求甲、乙兩個工程隊分別完成了多長的綠化帶 若設甲完成了x米,則下列式子正確的是(B)
A.+=20
B.+=20
C.24x+16(20-x)=360
D.16x+24(20-x)=360
4.王芳和李麗同時采摘櫻桃,王芳平均每小時采摘8 kg,李麗平均每小時采摘7 kg,采摘結束后王芳從她采摘的櫻桃中取出0.25 kg給了李麗,這時兩人櫻桃一樣多,她們采摘用了多少時間
解:設她們采摘用了x小時,
根據題意,得8x-0.25=7x+0.25,
解得x=0.5.
答:她們采摘用了0.5小時.
5.一項工程,甲單獨做8天完成,乙單獨做12天,丙單獨做24天完成,現在甲乙合作3天,甲因事離去,剩下的工程由乙、丙合作完成,求乙共做了多少天
解:設乙、丙還要x天才能完成這項工程,
由題意,得+++=1,
解得x=3,
則3+3=6(天).
答:乙共做了6天.
(四)課堂小結
用一元一次方程解決工程問題的基本過程如下:
(1)理解題意,得到等量關系;
(2)設出未知數,根據已經找到的等量關系列方程;
(3)解方程并檢驗;
(4)作答.
(五)板書設計
工程問題中,學生比較難理解工作總量未知的題目,講授時需重點細致的講解.講解時多進行提問,及時了解學生的理解程度.同時多對學生的回答進行肯定,從而激發他們學習數學的興趣.審清題意,找出等量關系是解決問題的關鍵.
第4課時　一元一次方程與實際問題(4)
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
能根據具體問題列出方程.能根據具體問題的實際意義,檢驗方程解的合理性.
1.掌握銷售問題中有關量的基本關系式,并會尋求相等關系列方程求解.
2.通過列方程解決實際問題的過程,體會一元一次方程與實際生活的密切聯系,加強數學建模思想的應用意識.
重點:掌握利潤問題,儲蓄問題中的等量關系.
難點:分析尋找利潤問題,儲蓄問題的等量關系列方程.
1.以生活中一個常見的問題引入新課,激發學生的學習興趣,讓學生們認識到數學知識與我們的實際生活息息相關.然后通過例題教學,為學生提供探索空間,通過猜測、驗證、質疑、討論、解疑等一系列活動,充分調動學生學習的積極性.讓學生在實踐中獲得解決問題的方法.
2.引導學生在解決問題中歸納總結利潤,儲蓄問題中涉及的數量關系,能結合實際去牢記關系式,而不是死記硬背.
(一)問題導入
某超市把一種羊毛衫按進價提高50%后標價,再按8折(標價的80%)出售,這樣該超市每賣出一件羊毛衫就可盈利80元,這種羊毛衫的進價是多少元
(二)新知初探
探究一　利潤問題
例題.商店將某種商品按標價的九折出售,該商品的利潤率是15%,已知這種商品每件的進價為1 800元,求每件商品的標價.
解:設每件商品的標價為x元,
根據題意,得90%x-1 800=1 800×15%.
解方程,得x=2 300.
所以, 每件商品的標價為2 300元.
該問題中,涉及的關系式有哪些
小結:在銷售問題中,一般涉及進價,售價和利潤,它們之間的數量關系有:售價-進價=利潤.售價=標價×折扣 .×100%=利潤率.
任務一　意圖說明
讓學生結合生活中經常遇到的銷售折扣問題總結其中的關系式,培養學生理論聯系實際,總結歸納能力.
探究二　儲蓄問題
李大爺到銀行去存儲一筆現金,計劃存儲兩年,經過咨詢,李大爺用兩種方式存儲這筆現金;第一種是先存年利率為1.75%的一年定期,到期后連本帶利再轉存一年;第二種是直接存年利率為2.25%的二年定期,已知第二種方式比第一種可以多得利息775.5元,李大爺準備存儲的這筆現金是多少元
解:設這筆現金為x元,則按照第一種方式存儲,第一年所得利息為1.75%x元,第2年所得利息為1.75%×(1+1.75%)x元;按照第二種方式存儲所得利息為2×2.25%x元,根據題意,得
2×2.25%x-[1.75%x+1.75%×(1+1.75%)x]=775.5.
解方程,得x=80 000.
所以,李大爺準備存儲的這筆現金是80 000元.
能不能結合實際,總結出本題涉及的數量關系
小結:儲蓄問題中的等量關系有:
利息=本金×年利率×期數;本息和=本金+利息.
任務二　意圖說明
銷售與儲蓄問題是一元一次方程應用的重點也是難點,通過與生活相關的實際問題,引導學生自主總結其中的等量關系,并進行整理歸納,培養學生分析、解決問題的能力,滲透建模思想,方程思想,培養學生運用數學知識解決問題的能力.
(三)當堂達標(要求:限時5分鐘,獨立完成)
1.某商場促銷,把原價2 500元的空調以八折出售,仍可獲利400元,則這款空調進價為(C)
A.1 375元 B.1 500元
C.1 600元 D.2 000元
2.某種羽絨服的進價為800元,出售時標價為1 760元,后來由于該羽絨服積壓,商店準備打折銷售,但保證利潤率為10%,則可打(B)
A.4折 B.5折 C.6折 D.7折
3.某種商品的進價為18元,標價為x元,由于該商品積壓,商店準備按標準價的8折銷售,可保證利潤達到20%,則標價為(B)
A.26元 B.27元 C.28元 D.29元
4.馮老師利用手機銀行將儲蓄卡中的16 000元轉存為三年定期存款,預計到期收益為1 320元,則此時三年定期存款的年利率是　2.75%　.
5.某社區超市按每千克8元的進價購進臍橙500千克,然后按標價的八折全部售出,獲得利潤800元,求該超市臍橙每千克的標價是多少元
解:設該超市臍橙每千克的標價是x元,
據題意,得(0.8x-8)×500=800,
解方程x=12,
答:該超市臍橙每千克的標價是12元.
(四)課堂小結
銷售問題與儲蓄問題一般涉及到的等量關系:
利潤=售價-進價;售價=標價×折扣;利潤率=×100%.
利息=本金×年利率×期數;本息和=本金+利息.
(五)板書設計
利潤儲蓄問題是一元一次方程的應用中比較難的課程,根據教學的需要,在實際教學中要靈活變通,教學內容要層次遞進,發揮學生的主體地位,引導學生學會分析尋找問題中的等量關系是教課的重點,尤其在解答儲蓄問題時,要強調不要忘記乘以期數.

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