資源簡介

3　探索與表達規律
　　　　　　 　　　　　 　　　　　
1.能運用代數式表示具體問題中簡單的數量關系,體驗用數學符號表達數量關系的過程,會選擇適當的方法求代數式的值.
2.初步學會通過具體的實例,運用歸納和類比發現數學關系與規律,提出數學命題與猜想,并加以驗證.
1.經歷由特殊到一般和由一般到特殊的過程,體會代數推理的特點和作用.
2.能用代數式表示并借助代數式運算驗證所探索規律的一般性.
3.能用代數式表示并借助代數式運算解釋具體問題中蘊涵的一般規律或現象.
重點:探索數量關系,運用代數式表示規律.
難點:代數式表示規律的應用.
在本節課的教學中,要鼓勵學生先在獨立思考的基礎上探索出規律,然后再進行合作交流,從不同角度思考,尋求不同的規律,感受規律的多樣性,提升思維能力,而對于給定規律或現象,讓學生用字母表示并借助運算解釋規律或現象的問題,則可遵循“發現規律——表示規律——揭示規律”的方式展開教學.
(一)情境導入
如圖所示是按照一定的規律擺放的桌子和椅子:
(1)1張桌子的周圍擺放6把椅子,2張桌子的周圍擺放　　　　把椅子;
(2)按照圖中的規律繼續擺放桌子和椅子,完成下表:
桌子/張 3 4 5 6 … n
椅子/把 …
解:(1)10
(2)14　18　22　26　4n+2
(二)新知初探
探究一　圖形規律探索
嘗試·交流
如圖所示也是按照一定的規律擺放的桌子和椅子.
(1)2張桌子拼在一起,周圍可擺放多少把椅子 3張桌子呢 n張桌子呢
解:8,10,2n+4.
(2)一個大廳里有40張這樣的長方形桌子,按照圖中的規律每8張拼成1張大桌子,則40張桌子可拼成5張大桌子,桌子的周圍共可擺放多少把椅子 如果有8n張桌子,仍按上面規律每8張拼成1張,此時桌子的周圍共可擺放多少把椅子
解:5×(2×8+4)=100,(2×8+4)n=20n.
(3)一天中午餐廳要接待98位顧客共同就餐(即桌子要擺在一起),但餐廳只有25張這樣的桌子,若你是這個餐廳的經理,你打算選擇哪種方式(含情境導入中的方式)來擺放餐桌 為什么
解:打算用第一種擺放方式來擺放餐桌.
因為當n=25時,4n+2=4×25+2=102>98,
2n+4=2×25+4=54<98,
所以選用第一種擺放方式.
嘗試·思考
(1)小明也用上面的8張桌子拼成1張大桌子,但8n張桌子的周圍只能擺放16n把椅子,你能說出他的桌子是怎么擺放的嗎
(2)若仍用上面的桌子,每8張桌子拼成1張大桌子,你還有其他擺放桌子的方法嗎 按照你的擺放方法,8n張桌子的周圍共可擺放多少把椅子
(3)在食堂就餐的高峰時段,需要同時能坐下300人,選擇上面哪種方式需要的餐桌數較少
解:(1)如圖①所示;(2)如圖②所示,20n;
(3)第(2)種方式.
圖①　　圖②
[方法歸納]
1.探索規律是從具體的、特殊的、簡單的問題出發,觀察各個數量的特點以及相互之間的變化規律.
2.探索規律一般要經歷以下的一些過程:
(1)觀察它前后幾項的和、差、積、商和乘方等特點,注意數的大小、結構的變化、圖形位置的變換,進行多角度的觀察與調整;
(2)從已知的有限個數據或圖形中去尋找數量關系和圖形之間的關系,并進行歸納;
(3)從歸納出的數量關系或圖形關系進行大膽的猜測,得出他們共同的規律;
(4)列舉符合條件的數據和圖形,驗證猜想的規律的正確性,得出結論.
任務一　意圖說明
問題設置于生活背景中,讓學生在此背景下尋找不同的規律(可把圖形規律轉化為數字規律探索),感受規律的多樣性,進而用字母表示并借助運算驗證一般規律.
探究二　日歷中的規律與數字規律探索
觀察·交流
觀察如圖所示的日歷圖,回答下列問題:
(1)日歷圖中的數有什么規律
解:答案不唯一,如都是連續的正整數,上下兩個數相差7(因為一周有7天)等.
(2)日歷圖的套色方框中的9個數之和與該方框正中間的數有什么關系
解:9個數之和為90,90=9×10.
(3)這個關系對其他這樣的方框成立嗎 你能用代數式表示這個關系嗎
解:成立,如果用a表示中間的數,這9個數的和等于9a.
(4)這個關系對任何一個月的日歷都成立嗎 為什么
解:都成立.因為這9個數可以表示為:
a-8 a-7 a-6
a-1 a a+1
a+6 a+7 a+8
所以這9個數之和為9a.
(5)你還能發現這樣的方框中9個數之間的其他關系嗎 請用代數式表示.
解:答案不唯一,如中間的豎列與橫行、斜對角線每三個數的和都為3a等.
嘗試·思考
(1)上面的日歷圖中,能否使框中9個數的和為144 180呢
解:144÷9=16,所以上面日歷圖中能使框中9個數的和為144,中間的數為16;
180÷9=20,但上面日歷圖中20在最左邊,所以不能使框中9個數的和為180.
(2)在某個月的日歷中,恰好有五個星期日位于同一列且日期數的和為80,這個月的第一個星期日是幾號
解:設中間一個星期日為a號,
則a-14+a-7+a+a+7+a+14=5a=80,
所以a=16,16-14=2,
即這個月的第一個星期日是2號.
思考·交流
如圖所示,如果將方框改為十字形框,你能發現哪些規律 如果改為“H”形框呢 它們有什么共同規律 你還能設計出其他形狀的包含數字規律的數框嗎 與同伴交流.
解:規律略.可設計成“M”“W”形等(答案不唯一).
[方法歸納]
在日歷圖中,每一行上相鄰兩個數字間相差1,每一列上相鄰兩個數字間相差7,解答該類問題一般設中間的數字是a,然后列代數式表示其他數字,解決問題時,注意所求中間的數字不能在上下左右四條邊上.
合作·交流
小亮和小麗在玩一個數字游戲.
你知道小亮是怎樣算出來的嗎
方式:教學中教師可扮演小亮,讓學生報結果,教師猜數,激發學生的探究欲望,讓學生在解決問題的過程中感受數學的價值.
解:設小麗想好的兩位數的個位數字和十位數字分別是a和b,按照運算步驟,最后結果為10b+15+a,因此只要把計算結果減去15,得到的數就是小麗想好的兩位數.
嘗試·交流
設計類似上面的數字游戲,解釋其中的道理,并與同伴進行交流.
嘗試·思考
(1)一個三位數能否被3整除,只要看這個數的各數位上的數字之和能否被3整除.試說明其中的道理.
解:設這個三位數為100a+10b+c,則100a+10b+c=99a+9b+(a+b+c),因為99a和9b都能被3整除,若a+b+c也能被3整除,則100a+10b+c就是3的倍數,即該三位數可以被3整除,所以一個三位數能否被3整除,只要看這個數的各數位上的數字之和能否被3整除即可.
(2)一個四位數能否被3整除是否也有這樣的規律 請說明理由.
解:設這個四位數為1 000a+100b+10c+d,則1 000a+100b+10c+d=999a+99b+9c+(a+b+c+d),因為999a,99b和9c都能被3整除,若a+b+c+d也能被3整除,則1 000a+100b+10c+d就是3的倍數,即該四位數可以被3整除,所以一個四位數能否被3整除,只要看這個數的各數位上的數字之和能否被3整除即可.
任務二　意圖說明
給定規律或現象,讓學生用字母表示并借助運算解釋規律或現象,從數學的角度分析規律.其中猜數游戲遵循了“發現規律——表示規律——揭示規律”的過程.
(三)當堂達標(要求:限時5分鐘,獨立完成)
見課件
(四)課堂小結
見課件
(五)板書設計
探索與表達規律
1.圖形規律探索　　　　　　例題與練習
2.日歷中數字規律探索
學生通過獨立思考、小組討論、共同探究,揭示日歷中數與數之間的變化規律,并將知識應用于實踐.學生能比較輕松、自如地在有趣的、富有挑戰性的活動中將問題一步一步地分解,這樣既能提高學生發現問題、解決問題的能力,又能激發學生探索創新的精神.有的學生放不開、教師對每個學生關注度不夠、給學生留的獨立思考的時間太少,易造成有個別學生隨大流的現象.

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